，D 为BC ∴ 中点，AD⊥BC ∠ ， BAD=∠CAD=45°。 ∠BAC=90° ∵ ∴∠ ， B=∠C=45°。 DM⊥DN ∵ ∴∠ ， MDN=90°。 ∠BDM+∠MDN+∠CDN=180° ∴ ∠ ，即 BDM+∠CDN=90°。 ∠BDM+∠BMD=90° ∵ ∴∠ ， CDN=∠BMD。 △ 在BDM △ 和CDN

BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=❑ √3CD； (3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、分别是射线BA、BC上的动点，且始终 满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=❑ √2，请直接写出△MDN的面积最小值． 【答】(1)3+❑ √3； (2)见解析； (3)❑ √3 【分析】（1）过点M 作MN ⊥AD交AD于点，设DN=a，则MN=AN=❑ √3a， ⊥DM交BC延 长线于点K， ∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DH ⊥AB，DG⊥BC， ∴四边形DHBG是正方形， ∴∠HDG=90°， ∵∠MDN=60°， ∴∠HDM +∠NDG=30°， ∵DK ⊥DM，∠MDN=60°， ∴∠GDK +∠NDG=30°， ∴∠HDM=∠GDK， 在△HDM与△GDK中， ∵¿， ∴△HDM ≌△GDK (ASA )， ∴DM=DK． ❑ √2 2 BD= ❑ √2(❑ √3+1) 2 ． 对于△DNK，DG= ❑ √2(❑ √3+1) 2 ， ∵∠MDN=60°， ∵S△MDN=1 2 DM ·sin∠MDN · DN= ❑ √3 4 DN · DM， ∴当S△MDN= ❑ √3 4 DN · DM有最小值时，即DN ⋅DM最小， ∵DM=DK， ∴DN ⋅DM最小，也即DN ⋅DK最小．

BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=❑ √3CD； (3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、分别是射线BA、BC上的动点，且始终 满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=❑ √2，请直接写出△MDN的面积最小值． 49．（2016 上·江苏无锡·九年级阶段练习）若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此 三角形为该图形的内接三角形． （1）在图①中画出△B BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=❑ √3CD； (3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、分别是射线BA、BC上的动点，且始终 满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=❑ √2，请直接写出△MDN的面积最小值． 49．（2016 上·江苏无锡·九年级阶段练习）若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此 三角形为该图形的内接三角形． （1）在图①中画出△B

∴△DM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MD，DM＝DE， ∵∠MD＝∠D＝60°， ∴∠DM＝∠D， ∴∠BDE＝∠D， ∴∠MD＝∠DE， 在△MD 和△ED 中 { DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN ， ∴△MD≌△ED， ∴M＝E， ∵E＝BE+B＝M+B， ∴M+B＝M． （2）M+B＝M， 证明：延长B 到E，使BE＝M，连接DE， ∵∠＝∠BD＝90°， ∵∠MD+∠D＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠DM＝∠D＝∠DB， ∴∠DM＝∠D＝∠BDE， ∵∠DM＝∠DB ∴∠MD＝∠DE， 在△MD 和△ED 中 { DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN ， ∴△MD≌△ED， ∴M＝E， ∵E＝BE+B＝M+B， ∴M+B＝M． （3）B﹣M＝M， 证明：在B 截取BE＝M，连接DE， ∵∠D+∠D＝90°，∠MD+∠D＝90°， ∠DAM=∠DBE AD=BD ， ∴△DM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠DM＝∠D，DM＝DE， ∵∠D＝∠BD＝∠MD， ∴∠MD＝∠ED， 在△MD 和△ED 中 1 { DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN ， ∴△MD≌△ED， ∴M＝E， ∵E＝B﹣BE＝B﹣M， ∴B﹣M＝M． 【题型8 全等三角形的应用】 【例8】（2022 春•二七区期末）为了测量一池塘的两端，B

∴△DM≌△DBE， 1 ∴∠BDE＝∠MD，DM＝DE， ∵∠MD＝∠D＝60°， ∴∠DM＝∠D， ∴∠BDE＝∠D， ∴∠MD＝∠DE， 在△MD 和△ED 中 { DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN ， ∴△MD≌△ED， ∴M＝E， ∵E＝BE+B＝M+B， ∴M+B＝M． （2）M+B＝M， 证明：延长B 到E，使BE＝M，连接DE， ∵∠＝∠BD＝90°， ∵∠MD+∠D＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠DM＝∠D＝∠DB， ∴∠DM＝∠D＝∠BDE， ∵∠DM＝∠DB ∴∠MD＝∠DE， 在△MD 和△ED 中 1 { DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN ， ∴△MD≌△ED， ∴M＝E， ∵E＝BE+B＝M+B， ∴M+B＝M． （3）B﹣M＝M， 证明：在B 截取BE＝M，连接DE， ∵∠D+∠D＝90°，∠MD+∠D＝90°， ∠DAM=∠DBE AD=BD ， ∴△DM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠DM＝∠D，DM＝DE， ∵∠D＝∠BD＝∠MD， ∴∠MD＝∠ED， 在△MD 和△ED 中 { DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN ， ∴△MD≌△ED， ∴M＝E， ∵E＝B﹣BE＝B﹣M， ∴B﹣M＝M． 26．（2022 春•城关区校级期末）如图1，P 是∠M 的平分线，请你利用该图形画一对以P

⊥BA交BA于点M，过D 作DN ⊥BC交BC的延长线于点， ∵ DM ⊥BA，DN ⊥BC，∠ABC=90°， ∴ ∠DMB=∠DNB=∠ABC=90°， ∴四边形DMBN是矩形， ∴ ∠MDN=90°，即∠MDC+∠CDN=90°， ∵ ∠ADC=90°， ∴ ∠MDC+∠ADM=90°， ∴ ∠ADM=∠CDN， 在△AMD和△CND中， ¿， ∴ △AMD≌△CND (AAS)， 理等知识；熟练掌握翻折变换和相似三角形的性质与判定是解题的关键． 48．（2020·全国·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为2 的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等 腰三角形，以点D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上． （1）如图①，当MN // BC时，则△AMN的周长为______； （2）如图②，求证：BM +NC=MN． 【答】（1）4；（2）见解析 【分析】（1）首先证明△BDM ≌△，进而得出△DM 是等边三角形，∠BDM= D=30° ∠ ，=BM=1 2DM=1 2 M，即可解决问题； （2）延长AC至点E，使得CE=BM，连接DE，首先证明△BDM ≌△CDE，再证明 △MDN ≌△EDN，得出MN=NE，进而得出结果即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，MN // BC， ∴∠AMN=∠ABC=60°，∠ANM=∠ACB=60° ∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN，则BM=NC，

(0MDN=∠A=60°，从而得出 ∠BDM +∠CDN=120°，进而可得∠BMD=∠CDN，即可得证；②由相似三角形的性质可得 BM BD =CD CN ，从而即可得出y=−1 2 x 2+3 答． 【详解】（1）①证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠BMD+∠BDM=180°−∠B=120°， 由折叠的性质可得：∠MDN=∠A=60°， ∴∠BDM +∠CDN=180°−∠MDN=120°， ∴∠BMD=∠CDN， ∴△MBD∽△DCN； ②解：∵△MBD∽△DCN， ∴BM BD =CD CN ， ∵BC=6，CN=2，BM= 由作图可得：AD=AN， ∵△ABC是等边三角形，∠B=60°， ∴AB=AC， ∴AB−AD=AC−AN，即BD=CN， ∴DN ∥BC， ∴∠MDN=∠B=60°， 由圆周角定理可得：∠M P1 N=∠M P2 N=∠MDN=60°； （3）解：如图， ， ∵∠M P1 N=60°， ∴∠M P1B+∠C P1 N=120°， ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=AB=9，

DA ，即可求得． 【详解】解：过点作CE⊥MN于点E，则CE=AN，EN=AC=1， 1 ∵∠MCE=45°， ∴ME=CE． ∴ME=CE=AN=MN−1， ∠MND=∠BAD，∠MDN=∠BDA， ∴Δ MND∼Δ BAD， ∴MN AB = DN DA ，即MN 4 = MN−1+4.3 4.3 ， ∴MN=44 ∴延安宝塔的高M 为44m． 【点睛】本题主要

①已知D=2，求E 的值； ②证明：D-DE=❑ √2D； 48．（2020·全国·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为2 的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等 腰三角形，以点D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上． （1）如图①，当MN // BC时，则△AMN的周长为______； （2）如图②，求证：BM +NC=MN． 题型15 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题