湖北省重点高中智学联盟2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题（详解版）

湖北省重点高中智学联盟2022 年春季高二年级5 月联考 数学试题 命题学校：鄂州高中 命题人：胡黎刚 审题人：肖安平 考试时间：2022 年5 月19 日下午3：00-5：00 试卷满分：150 分 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当 时， ，即 ，故充分； 当 时， ，即 ，解得 或 ，故不必要， 故选：A 2. 7 个相同的小球放入 ， ， 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法． A. 60 种 B. 36 种 C. 30 种 D. 15 种 【答案】D 【解析】 【分析】7 个小球有6 个空，采用插空法可求. 【详解】将7 个小球分成三组即可，可采用插空法，7 个小球有6 个空，则有 种不同的方法. 故选：D. 3. 已知 表示变量 与 之间的线性相关系数， 表示变量 与 之间的线性相关系数，且 ， ，则（ ） A. 变量 与 之间呈正相关关系，且 与 之间的相关性强于 与 之间的相关性 B. 变量 与 之间呈负相关关系，且 与 之间的相关性强于 与 之间的相关性 C. 变量 与 之间呈负相关关系，且 与 之间的相关性弱于 与 之间的相关性 D. 变量 与 之间呈正相关关系，且 与 之间的相关性弱于 与 之间的相关性 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的定义判断． 【详解】因为 ， ，所以变量 与 之间呈正相关关系，变量 与 之间呈负相关 关系，且 与 之间的相关性弱于 与 之间的相关性. 故选：C． 4. 已知 为等差数列， 的前 项和为 ，则使得 达到最 大值时 是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】用 减去 即可得公差 ，再求得 的通项公式,再分析 的 最值即可. 【详解】设公差为 ,则 减去 可得 , 又 ,故 , 当 达到最大值时有{ an≥0 an+1≤0)⇒{ 61−3n≥0 61−3(n+1)≤0)⇒58 3 ≤n≤61 3 ,故 . 故选：B 5. 函数 在 内存在极值点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】转化为导数在 内存在变号零点，参变分离，转化为函数值域问题求解即可. 【详解】由题意知： 在 内存在变号零点，即 在 内 有解，则 ， 易得 在 内单调递减，值域为 ，故 . 故选：A. 6. 如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平 面与PRQ 所在平面平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 延拓过点 三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容易判断选择. 【详解】由题意可知经过P、Q、R 三点的平面即为平面 ，如下图所示： 对 选项：可知N 在经过P、Q、R 三点的平面上，所以B、C 错误； 对 ：MC1与 是相交直线，所以A 不正确； 对 ：因为 // ，， // ， 又容易知 也相交， 平面 ； 平面 ， 故平面 //平面 故选： . 【点睛】本题考查面面平行的判定，属基础题. 7. 一批产品共10 件，次品率为20%，从中任取2 件，则恰好取到1 件次品的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率计算公式结合组合数计算即可求解． 【详解】由题意知10 件产品中有2 件次品，故所求概率为 P(X＝1)＝ ＝ ． 故选：B 8. 已知函数 ， .若存在 ， 使得 成 立，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知， ，由 可得出 ， ，利用导数可得出 函数 在区间 上单调递增，函数 在区间 上单调递增，进而可得出 ， 由此可得出 ，可得出 ，构造函数 ，利用导数求出函数 在 上的最大值即可得解. 【详解】 ， ， 由于 ，则 ，同理可知， ， 函数 的定义域为 ， 对 恒成立，所以，函数 在 区间 上单调递增，同理可知，函数 在区间 上单调递增， ，则 ， ，则 ， 构造函数 ，其中 ，则 . 当 时， ，此时函数 单调递增；当 时， ，此时函数 单调递减. 所以， . 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的 难度. 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨 询、交通宣传这四个项目，每人限报其中一项，记事件 为“四名同学所报项目各不相同”，事件 为 “只有甲同学一人报关怀老人项目”，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. P ( A|B))= 1 16 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件概率与独立事件可得： ， ，所以 ， 即可得出答案. 【详解】由已知有： ， ， 所以 . 故选：AC． 10. 设等比数列 的公比为q，其前n 项和为 ，前n 项积为 ，并且满足条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意 ， ，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为 ， ， ， 所以 ， ，所以 ，故A 正确. ，故B 错误； 因为 ， ，所以数列 为递减数列，所以 无最大值，故C 错误； 又 ， ，所以 的最大值为 ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 11. 在 中，D，E，F 分别是边 ， ， 中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若 ，则 是 在 的投影向量 D. 若点P 是线段 上的动点，且满足 ，则 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C，首先根据已知得到 为 的平分线，即 ，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D，首先根据 三点共线，设 ， ，再根据已知得到 ，从而得到 ，即可判断选项D 正确. 【详解】如图所示： 对选项A， ，故A 错误. 对选项B， ，故B 正确. 对选项C， ， ， 分别表示平行于 ， ， 的单位向量， 由平面向量加法可知： 为 的平分线表示的向量. 因为 ，所以 为 的平分线， 又因为 为 的中线，所以 ，如图所示： 在 的投影为 ， 所以 是 在 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D，如图所示： 因为 在 上，即 三点共线， 设 ， . 又因为 ，所以 . 因为 ，则 ， . 令 ， 当 时， 取得最大值为 .故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题. 12. 若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数 ，利用导数可确定 的单调性，根据单调性可依次判断出ABC 的正误；构造函数 ，利用导数可确定 单调性，根据单调性可确定D 正确. 【详解】对于A，设 ，则 ， 当 时， 恒成立， 在 上单调递减， ， ， ，即 ， ，A 正确； 对于B，由A 知， 在 上恒成立， 在 上单调递减， ， ， ，即 ， ，即 ， ，B 正确； 对于C，若 ，则 ，即 ； 由A 知，当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， ，若 ，此时 与 大小关系不确定，即 与 大小关系不确定，C 错误； 对于D，设 ，则 ； 令 ，则 ， 当 时， ，即 在 上单调递增， 当 时， ，此时 ， 在 上单调递减， ， ， ，即 ， ，D 正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 某校1200 名高二学生参加一次数学考试，考生分数 服从正态分布 ，若分数在 内的概率为0.7，估计这次考试中分数不超过70 分的有___________人． 【答案】180 【解析】 【分析】由题意结合正态分布的对称性可得考试分数不超过70 的人数. 【详解】由题意可知正态分布 的对称轴为 ， 据此可估计这次考试分数不超过70 的人数为： . 故答案为：180. 14. 已知某离散型随机变量 服从的分布列如表，则随机变量 的方差 等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出 的值，求出 、 的值，再利用方差的性质可求得结果. 【详解】由已知可得 ，所以， ，则 ， 所以， ，因此， . 故答案为： . 15. 下列关于回归分析的说法中错误的序号为_______ （1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高． （2）回归直线一定过样本中心点 ． （3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好． （4）甲、乙两个模型的 分别约为0.88 和0.80，则模型乙的拟合效果更好． 【答案】（1）（4） 【解析】 【分析】根据“线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好；相关指 数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强”，对选项中的命题逐一判断真假即可. 【详解】解：对于（1），残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，∴ （1）错误； 对于（2），回归直线一定过样本中心点 ，正确； 对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，正确； 对于（4），甲、乙两个模型的 分别约为0.88 和0.80，则模型甲的拟合效果更好，∴（4）错误； 综上，错误的命题是（1）、（4）共2 个. 故答案为：（1）（4）. 【点睛】本题考查了回归分析知识的应用问题，是基础题. 16. 已知 ，则 ___________． 【答案】 【解析】 【 分析】两边求导数得到 ，分别令 和 ，两式相加，即可求解. 【详解】由 ， 两边求导可得： ， 令 ，可得 ， 令 ，可得 ， 两式相加得 . 故答案为： . 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设数列 的前 项和为 ，已知 ， . （1）设 ， ，证明：数列 为等差数列； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）把条件 转化为数列 的递推关系，由等差数列定义去证明即可； （2）以错位相减法去求数列 的前 项和 . 【小问1 详解】 由 ，得 ，两式相减得： 两边同除以 ，得 ，即 ， 当 时，由 ，可得 ，则 所以数列 是以2 为首项、1 为公差的等差数列. 【小问2 详解】 由数列 是以2 为首项、1 为公差的 等差数列可得， 所以 ， 则 则 . 18. 如图,在四棱锥 中, 平面 , 为线段 上一点不在端点. (1)当 为中点时， ，求证： 面 (2)当 为 中点时，是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在求出M 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在， 【解析】 【分析】 （1）法一：建立空间直角坐标系，找坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，证明即可.法二： 取BP 的中点E，连接 ， ，则 ，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）假设存在点M，根据 ，求点M 的坐标 ，求平面 的法向量 为 ，根据 ，求解 ，即可. 【详解】(1)方法一：证明：因为 平面 ， ， 平面 . 所以 . 又 ，所以 ， ， 两两垂直. 分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 . 则 ， . 显然平面 的法向量为 ，则 又 不在平面 内，所以 平面 . 方法二：取 的中点 ，连接 ， 由 为 的中点，可知 在平面四边形 中， 即 ，所以 ，即 由已知得 所以 ，四边形 是平行四边形，所以 因为 平面 ， 平面 所以 平面 (2)假设存在点M 使得 与平面 所成角的正弦值为 则 ，所以 为 中点，则 ，即 设平面 的法向量为 ∴ ，不妨设 ，则 ∴ 设线面角为 ，则 解得 或1（舍去） ∴ 时，直线 与平面 所成角的 正弦值为 ． 【点睛】本题考查线面平行的证明，以及根据线面角的正弦值确定动点位置，考查了空间向量法的应用， 考查了运算能力，属于较难题. 19. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影 响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的 天数恰好多2”，求事件 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布 的期望公式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30 之前到校的概率均为 ， 故 ，从面 . 所以，随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 随机变量 的数学期望 . (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30 之前到校的天数为 ，则 . 且 . 由题意知事件 与 互斥， 且事件 与 ，事件 与 均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等 基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 20. 已知函数 . （1）当 时，求 的极值点； （2）若 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）极大值点是 ，无极小值点；（2） . 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性得极值点；（2）参数分离求函数的最值得解 【详解】解：（1）当 时， ，定义域是 ， ， 时，解得： ，函数在区间 单调递增， ，解得： ，函数在区间 单调递减， 所以函数在 时取得极大值，极大值点是 ，无极小值点； （2）若 恒成立，等价于 ，即 恒成立，即 设 ， ，当 时， ， 当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减， 所以当 时函数取得最大值 ，即 . 21. 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 是椭圆 上一点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 为椭圆 上不同于 的两点，且直线 关于直线 对称，求证：直线 的斜率 为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得方程组 ，求出 ，即可求出椭圆 的标准方程； （2）设直线 的方程是 ， ，联立椭圆方程由韦达定理可得： ，同理可求得 ，即可求出直线 的斜率. 【小问1 详解】 ∵ ∴ ，又 在椭圆上， ∴ ，解得 ，所以椭圆方程为： ． 【小问2 详解】 由（1）知， 轴，设直线 的斜率为k，因为 关于直线 对称，所以直线 的斜率为 ． 又 ，所以直线 的方程是 ．设 ， { y −3 2=k( x+1) x 2 4 + y 2 3 =1 ⇒(3+4 k 2) x 2+(12+8k )kx+4 k 2+12k −3=0 ． 将上式中的k 换成 得， ． . 22. 已知函数 ， ． （1）求 在点P(1， )处的切线方程； （2）若关于x 的不等式 有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若 存在两个正实数 ， 满足 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出P（1，0），x＞0， ，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f （x）在点P（1，f（1））处的切线方程． （2）求出 ，x＞0，则f′（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t 的取值范围． （3）h（x）=x2 2x+ ﹣ 4lnx，从而（x1+x2）2 2 ﹣（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2， =t2+2t 4lnt ﹣ ，（t＞ 0），…（11 分）则 =2t+2﹣ = ，由此利用导数性质能证明x1+x2≥3． 【详解】（1） ， ，所以 点坐标为 ； 又 ， ，则切线方程为 ， 所以函数 在点 处的切线方程为 ． （2） 正 0 负 单调增 极大值 单调减 由 ，得 ； 时， 或 ，满足条件的整数解有无数个，舍； 时， ，得 且 ，满足条件的整数解有无数个，舍； 时， 或 ，当 时，无整数解； 当 时，不等式有且仅有三个整数解，又 ， ， 因为 在 递增，在 递减；所以 ，即 ，即 ； 所以实数的取值范围为 ． （3） ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 令 ， ， 则 ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减； 当 时， ，所以函数 在 上单调递增． 所以函数 在 时，取得最小值，最小值为3． 因为存在两个正实数 ，满足 ，所以 ， 即 ，所以 或 ． 因为 为正实数，所以 ． 【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几 何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题．