高中物理新教材同步必修第一册 第4章 专题强化 动力学连接体问题和临界问题

[学习目标] 掌握动力学连接体问题和临界问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临 界条件． 一、动力学的连接体问题 1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体．如 几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，如图1 所示，在求 解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法． 图1 2．整体法：把整个连接体系统看作一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定 律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力． 3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分 析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力， 容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形． 4．整体法与隔离法的选用 (1)求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间 的作用力，再用隔离法． (2)求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用 其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力． 如图2 甲所示，A、B 两木块的质量分别为mA、mB，在水平推力F 作用下沿水平面 向右加速运动，重力加速度为g. (1)若地面光滑，则A、B 间的弹力为多大？ (2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ，则A、B 间的弹力为多大？ (3)如图乙所示，若把两木块放在固定斜面上，两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ，在方向 平行于斜面的推力F 作用下沿斜面向上加速，A、B 间的弹力为多大？ 图2 答案 (1)F (2)F (3)F 解析 (1)若地面光滑，以A、B 整体为研究对象，有F＝(mA＋mB)a， 然后隔离出B 为研究对象，有FN＝mBa， 联立解得FN＝F. (2)若动摩擦因数均为μ，以A、B 整体为研究对象，有F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a1，然后隔 离出B 为研究对象，有FN′－μmBg＝mBa1，联立解得FN′＝F. (3)以A、B 整体为研究对象，设斜面的倾角为θ， F－(mA＋mB)gsin θ－μ(mA＋mB)gcos θ＝(mA＋mB)a2 以B 为研究对象 FN″－mBgsin θ－μmBgcos θ＝mBa2 联立解得FN″＝F. 连接体的动力分配原理：两个物体系统的两部分在外力总动力的作用下以共同的加速度 运动时，单个物体分得的动力与自身的质量成正比，与系统的总质量成反比.相关性：两物 体间的内力与接触面是否光滑无关，与物体所在接触面倾角无关. 针对训练 (多选)如图3 所示，质量分别为mA、mB的A、B 两物块用轻绳连接放在倾角为θ 的固定斜面上，用平行于斜面向上的恒力F 拉A，使它们沿斜面匀加速上升，A、B 与斜面 间的动摩擦因数均为μ，轻绳与斜面平行，为了增大轻绳上的张力，可行的办法是( ) 图3 A．减小A 物块的质量 B．增大B 物块的质量 C．增大倾角θ D．增大动摩擦因数μ 答案 AB 解析 当用沿斜面向上的恒力拉A，两物块沿斜面向上匀加速运动时，对整体运用牛顿第二 定律， 有F－(mA＋mB)gsin θ－μ(mA＋mB)gcos θ ＝(mA＋mB)a， 得a＝－gsin θ－μgcos θ. 隔离B 研究，根据牛顿第二定律有 FT－mBgsin θ－μmBgcos θ＝mBa， 则FT＝mBgsin θ＋μmBgcos θ＋mBa＝， 要增大FT，可减小A 物块的质量或增大B 物块的质量，故A、B 正确． (多选)(2019·济南一中高一期末)如图4 所示，质量为m2的物体2 放在车厢的水平底 板上，用竖直细绳通过光滑定滑轮与质量为m1的物体1 相连，车厢沿水平直轨道向右行驶， 某一段时间内与物体1 相连的细绳与竖直方向成θ 角，重力加速度为g.由此可知( ) 图4 A．车厢的加速度大小为gtan θ B．细绳对m1的拉力大小为 C．底板对物体2 的支持力为(m2－m1)g D．底板对物体2 的摩擦力大小为 答案 AB 解析 以物体1 为研究对象，受力分析如图甲所示， 由牛顿第二定律得：m1gtan θ＝m1a， 解得a＝gtan θ， 则车厢的加速度也为gtan θ，故A 正确． 如图甲所示，细绳的拉力FT＝，故B 正确． 以物体2 为研究对象，受力分析如图乙所示，在竖直方向上，由平衡条件得FN＝m2g－FT＝ m2g－，故C 错误． 在水平方向上，由牛顿第二定律得：Ff＝m2a＝m2gtan θ，故D 错误． 在采用隔离法时，优先对受力已知且受力个数较少的物体进行隔离后受力分析，可较为简便 地解决问题. 二、动力学的临界问题 1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态． 2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰好”等词语，一般都 暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件． 3．临界问题的常见类型及临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零． (2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力． (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实 际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零． (4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力 最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大 值或最小值． 4．解答临界问题的三种方法 (1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件． (2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界 状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理． (3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据 数学中求极值的方法，求出临界条件． (多选)如图5 所示，A、B 两物块叠在一起静止在光滑水平地面上，A 物块的质量mA ＝2 kg，B 物块的质量mB＝3 kg，A 与B 接触面间的动摩擦因数μ＝0.3，现对A 或对B 施加 一水平外力F，使A、B 相对静止一起沿水平地面运动，重力加速度g 取10 m/s2，物块受到 的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是( ) 图5 A．若外力F 作用到物块A 时，则其最小值为8 N B．若外力F 作用到物块A 时，则其最大值为10 N C．若外力F 作用到物块B 时，则其最小值为13 N D．若外力F 作用到物块B 时，则其最大值为15 N 答案 BD 解析 A 物块与B 物块之间的最大静摩擦力为Ff＝μmAg＝6 N F 作用在A 上时，物块A、B 一起沿水平地面运动且相对静止时，最大加速度的大小为am＝ ＝2 m/s2 则水平外力的最大值为Fm＝(mA＋mB)am＝10 N，故B 正确； F 作用在B 上时，物块A、B 一起沿水平地面运动且相对静止时，最大加速度的大小为am′＝ ＝3 m/s2 则水平外力的最大值为Fm′＝(mA＋mB)am′＝15 N，故D 正确． 如图6 所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另 一端拴一质量为m 的小球(重力加速度为g)． 图6 (1)当滑块以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？ (2)当滑块以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？ (3)当滑块以2g 的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？(不计空气阻力) 答案 (1)g (2)g (3)mg 解析 (1)当FT＝0 时，小球受重力mg 和斜面支持力FN作用，如图甲所示．由牛顿第二定律 得 FNcos 45°＝mg，FNsin 45°＝ma1，解得a1＝g.故当向右运动的加速度至少为g 时线上的拉力 为0. (2)假设小球恰好对A 没有压力，此时小球受重力和拉力， F 合＝， 由牛顿第二定律F 合＝ma2， 则a2＝＝g. (3)当滑块加速度大于g 时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和球的重力的作用，如图 乙所示，此时对小球由牛顿第二定律得FT′cos α＝ma′，FT′sin α＝mg，解得FT′＝m＝mg. 1．(连接体问题)(多选)(2019·滨州市高一上学期期末)如图7 所示，在光滑的水平面上有A、 B 两木块，质量分别为m 和2m，中间用原长为l0、劲度系数为k 的水平轻质弹簧连接起来， 现用一水平恒力F 向右拉木块B，当两木块一起向右做匀加速直线运动时( ) 图7 A．两木块的加速度a 的大小为 B．弹簧的形变量为 C．两木块之间弹簧的弹力的大小为F D．A、B 两木块之间的距离为l0＋ 答案 AB 解析 对A、B 整体：F＝3ma 得a＝，A 正确； 对A：F 弹＝kx＝ma＝得x＝，A、B 两木块之间的距离为l0＋，B 正确，C、D 错误． 2.(连接体问题)(多选)如图8 所示，在光滑的水平地面上，水平外力F 拉动小车和木块一起做 无相对滑动的加速运动．小车的质量为M，木块的质量为m，加速度大小为a，木块和小车 之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则在这个过程中，木块受到的摩擦力大小为( ) 图8 A．μmg B. C．μ(M＋m)g D．ma 答案 BD 解析 木块和小车无相对滑动，加速度a 相同，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得F ＝(M＋m)a，则加速度a＝；以木块为研究对象，根据牛顿第二定律得，木块受到的摩擦力 Ff＝ma＝，选项B、D 正确． 3．(临界问题)如图9 所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m＝1.0 kg 的均匀小球，a 线与水平方向成53°角，b 线水平．两根细线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N．(cos 53°＝ 0.6，sin 53°＝0.8，g 取10 m/s2)求： 图9 (1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值； (2)当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值． 答案 (1)2 m/s2 (2)7.5 m/s2 解析 (1)竖直向上匀加速运动时，小球受力如图所示，当a 线拉力为15 N 时，由牛顿第二 定律得： y 轴方向有：Fmsin 53°－mg＝ma x 轴方向有：Fmcos 53°＝Fb 解得Fb＝9 N，此时加速度最大值a＝2 m/s2 (2)水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得： 竖直方向有：Fa′sin 53°＝mg 水平方向有：Fb′－Fa′cos 53°＝ma′ 解得Fa′＝12.5 N 当Fb′＝15 N 时，加速度最大，此时a′＝7.5 m/s2. 4.(临界问题)(2019·冀州中学高一测试)如图10 所示，小车在水平路面上加速向右运动，小球 质量为m，用一条水平绳OA 和一条斜绳OB(与竖直方向成θ＝30°角)把小球系于车上，求： 图10 (1)若加速度a1＝，那么此时OB、OA 两绳的拉力大小分别为多少？ (2)若加速度a2＝，那么此时OB、OA 两绳的拉力大小分别为多少？ 答案 (1)mg mg (2)mg 0 解析 设OB、OA 绳的张力分别为FT1、FT2，对小球受力分析如图所示， 当小球向右加速至FT2刚好为0 时，设此时加速度为a0，则ma0＝mgtan θ，a0＝gtan θ＝g. (1)当a1＝<a0时，FT2≠0，有FT1sin θ－FT2＝ma1 FT1cos θ＝mg 解得FT1＝mg，FT2＝mg. (2)当a2＝>a0时，FT2′＝0，有FT1′sin α＝ma2 FT1′cos α＝mg tan α＝ 解得FT1′＝mg. 训练1 连接体问题 1.(2019·吉林省实验中学高一上期末)五个质量相等的物体置于光滑水平面上，如图1 所示， 现对左侧第1 个物体施加大小为F、方向水平向右的恒力，则第2 个物体对第3 个物体的作 用力等于( ) 图1 A.F B.F C.F D.F 答案 C 解析 设各物体的质量均为m，对整体运用牛顿第二定律得a＝，对3、4、5 应用牛顿第二 定律得FN＝3ma，解得FN＝F.故选C. 2．(多选)(2019·长安一中高一第一学期期末)如图2 所示，a、b 两物体的质量分别为m1、 m2，由轻质弹簧相连．当用恒力F 竖直向上拉着a，使a、b 一起向上做匀加速直线运动时， 弹簧伸长量为x1，物体的加速度大小为a1；当用大小仍为F 的恒力沿斜面向上拉着a，使 a、b 一起沿光滑斜面向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2，物体的加速度大小为a2. 已知斜面的倾角为θ，则有( ) 图2 A．x1＝x2 B．x1>x2 C．a1＝a2 D．a1<a2 答案 AD 3.(多选)(2019·黄山市高一第一学期期末)如图3 所示，材料相同、质量分别为M 和m 的两物 体A 和B 靠在一起放在光滑水平面上．用水平推力F 向右推A 使两物体一起向右加速运动 时(图甲)，A 和B 之间的作用力大小为F1，加速度大小为a1.用同样大小的水平推力F 向左推 B 加速运动时(图乙)，A 和B 之间的作用力大小为F2，加速度大小为a2，则( ) 图3 A．F1∶F2＝1∶1 B．F1∶F2＝m∶M C．a1∶a2＝M∶m D．a1∶a2＝1∶1 答案 BD 解析 由整体法知a＝，则a1∶a2＝1∶1， 在甲图中隔离B 物体有：F1＝ma， 在乙图中隔离A 物体有：F2＝Ma， 所以F1∶F2＝m∶M. 4．如图4 所示，质量分别为m1＝3 kg，m2＝2 kg 的A、B 物体置于光滑的水平面上，中间用 水平轻质弹簧测力计连接．两个大小分别为F1＝30 N，F2＝20 N 的水平拉力分别作用在A、 B 上，则( ) 图4 A．弹簧测力计的示数是50 N B．弹簧测力计的示数是24 N C．在突然撤去F2的瞬间，B 的加速度大小为4 m/s2 D．在突然撤去F2的瞬间，A 的加速度大小为10 m/s2 答案 B 解析 对两物体和弹簧测力计组成的系统，根据牛顿第二定律得整体加速度a＝＝2 m/s2， 隔离B，对B 进行受力分析，根据牛顿第二定律有F 弹－F2＝m2a，解得F 弹＝24 N，即弹簧 测力计的示数是24 N，选项B 正确，A 错误；在突然撤去F2的瞬间，弹簧的弹力不突变，B 的加速度大小为a′＝＝12 m/s2，A 的加速度大小为2 m/s2，所以选项C、D 错误． 5.如图5 所示，在光滑的水平桌面上有一物体A，通过绳子与物体B 相连，假设绳子的质量 以及绳子与轻质定滑轮之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长且与A 相连的绳水平， 重力加速度为 g．如果mB＝3mA，则绳子对物体A 的拉力大小为( ) 图5 A．mBg B.mAg C．3mAg D.mBg 答案 B 解析 对A、B 整体进行受力分析，根据牛顿第二定律可得mBg＝(mA＋mB)a，对物体A，设 绳的拉力为F，由牛顿第二定律得，F＝mAa，解得F＝mAg，B 正确． 6.如图6 所示，固定在水平面上的斜面的倾角θ＝37°，木块A 的MN 面上钉着一颗小钉子， 质量m＝1.5 kg 的光滑小球B 通过一细线与小钉子相连接，细线与斜面垂直．木块与斜面间 的动摩擦因数μ＝0.5.现将木块由静止释放，木块与小球将一起沿斜面下滑．求在木块下滑 的过程中：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2) 图6 (1)木块与小球的共同加速度的大小； (2)小球对木块MN 面的压力的大小和方向． 答案 (1)2 m/s2 (2)6 N 沿斜面向下 解析 (1)以小球和木块组成的整体为研究对象，设木块的质量为M，共同加速度为a，根据 牛顿第二定律有： (M＋m)gsin θ－μ(M＋m)gcos θ＝(M＋m)a 代入数据得：a＝2 m/s2 (2)以小球为研究对象，设MN 面对小球的作用力为FN， 根据牛顿第二定律有：mgsin θ－FN＝ma， 代入数据得：FN＝6 N 根据牛顿第三定律，小球对木块MN 面的压力大小为6 N，方向沿斜面向下． 7.(2019·江西上高二中高一期末)如图7 所示，质量为2 kg 的物体A 和质量为1 kg 的物体B 放 在水平地面上，A、B 与地面间的动摩擦因数均为，在与水平方向成α＝37°角、大小为20 N 斜向下推力F 的作用下，A、B 一起做匀加速直线运动(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝ 0.8)．求： 图7 (1)A、B 一起做匀加速直线运动的过程中加速度大小； (2)运动过程中A 对B 的作用力大小； (3)若3 s 后撤去推力F，求撤去推力F 后1 s 内A、B 在地面上滑行的距离． 答案 (1) m/s2 (2)4 N (3)0.6 m 解析 (1)以A、B 整体为研究对象进行受力分析，有： Fcos α－μ[(mA＋mB)g＋Fsin α]＝(mA＋mB)a， 代入数据解得a＝ m/s2. (2)以B 为研究对象，设A 对B 的作用力为F AB，根据牛顿第二定律有： F AB－μmBg＝mBa 代入数据解得F AB＝4 N. (3)若3 s 后撤去推力F，此时物体A、B 的速度：v＝at＝2 m/s 撤去推力F 后，物体A、B 的加速度为a′＝＝μg＝ m/s2 滑行的时间为t′＝＝0.6 s 则撤去推力F 后1 s 内物体A、B 在地面上滑行的距离等于0.6 s 内物体A、B 在地面上滑行 的距离，则x＝t′＝0.6 m. 训练2 临界问题 1.(2019·银川一中高一上学期期末)如图1 所示，在光滑的水平面上叠放着两木块A、B，质 量分别是m1和m2，A、B 间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动 摩擦力，要把B 从A 下面拉出来，则拉力的大小必须满足( ) 图1 A．F>μ(m1＋m2)g B．F>μ(m1－m2)g C．F>μm1g D．F>μm2g 答案 A 解析 以木块A 为研究对象，则刚要发生相对滑动时，μm1g＝m1a 以A、B 整体为研究对象，则刚要发生相对滑动时，F0＝(m1＋m2)a 解得F0＝μ(m1＋m2)g 则拉力F 必须满足F>μ(m1＋m2)g，故选A. 2.(多选)一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角θ＝53°的斜面顶端，如图2，斜面静止时， 球紧靠在斜面上，细线与斜面平行，不计摩擦及空气阻力，当斜面以10 m/s2的加速度向右 做加速运动时，则(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，取g＝10 m/s2)( ) 图2 A．细线的拉力为1.60 N B．细线的拉力为2 N C．斜面对小球的弹力为1.20 N D．斜面对小球的弹力为0 答案 BD 解析 当小球对斜面的压力恰为零时，斜面的加速度为a0，根据牛顿第二定律可知mgtan 3