山西省大同市第一中学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年第一学期高二期末考试 数学试题 一､单选题（每小题5 分，共40 分） 1.已知空间向量 ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 2.函数 在下面哪个区间内是增函数？（ ） A. B. C. D. 3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了 重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的 频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 4.已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 5.双曲线 与 的离心率之积为4，则 的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 6.若对于 ，且 ，都有 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.设函数 是定义在 上的可导函数，且满足 ，其中 为 的导函数. 则对于任意 ，必有（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. （北京）股份有限公司 8.数列 中， ，则 （ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题5 分，共20 分；漏选得2 分，错选得0 分） 9.设 是是等差数列 的前 项和，且 ，则下列结论正确的是（ ） A.公差 B. C. D. 与 均为 的最大值 10.已知函数 的最大值为3，最小值为 ，则 的值可能为（ ） A. B. C. D. 11.对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A.函数在 处取得极大值 B.函数的值域为 C. 有两个不同的零点 D. 12.以下四个命题表述正确的是（ ） A.直线 恒过定点 B.已知圆 ，若点 为直线 上一点，且过点 可向圆 作出两条切线 ，切点 分别为 ，则直线 经过定点 （北京）股份有限公司 C.曲线 与曲线 恰有三条公切线，则 （北京）股份有限公司 D.圆 上存在4 个点到直线 的距离都等于1 三､填空题（每小题5 分，共20 分） 13.等差数列 中， ，则满足不等式 的正整数 的最大值是__________. 14.等比数列 的各项均为实数，其前 项为 ，已知 ，则 __________. 15.已知 分别为椭圆 的左顶点､右焦点､上顶点､下顶点，直线 与 相 交于点 ，且 ，则 __________. 16.已知曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，则 ________ __. 四､解答题（共70 分） 17.（10 分）已知等差数列 中， ，等比数列 中 ，且 . （1）求 和 ； （2）求数列 的前 项和 . 18.（12 分）已知函数 . （1）若 ，求 在 的最值； （2）若 恒成立，求 的取值范围. 19.（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，且 ，平面 平面 ，点 为 中点， 在 上，且满足 . （北京）股份有限公司 （1）求证： 平面 ； （北京）股份有限公司 （2）求二面角 的余弦值. 20.（12 分）设数列 满足 . （1）求 ； （2）求数列 的前 项和. 21.（12 分）已知一定点 ，及一定直线 ，以动点 为圆心的圆 过点 ，且与直线相切. （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设 在直线上，直线 分别与曲线 相切于 为线段 的中点.求证： ， 且直线 恒过定点. 22.（12 分）设函数 是函数 的导函数. （1）讨论 的单调性； （2）若 ，且 ，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？ （3）利用（2）中的不等式证明： . 2022-2023 学年第一学期高二期末考试 数学参考答案 命题人：董凯 审核人：张晓敏 一､单选题（每小题5 分，共40 分） 1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.C 二､多选题（每小题5 分，共20 分；漏选得2 分，错选得0 分） 9.BD 10.AC 11.AB 12.BC 三､填空题（每小题5 分，共20 分） （北京）股份有限公司 13. 14. 15. 16. 或 四､解答题（共70 分） 17.解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 . （北京）股份有限公司 因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 即有 ，解得 ，所以 ，且 . 于是 . （2） ① ② ①-②得 ， 所以 . 18.解：（1）当 时， 由 得 ，由 得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 则函数 的最小值为 ，最大值为2. （2）由题得 ，若 恒成立，则 ， （北京）股份有限公司 即 恒成立 令 ，则 ， （北京）股份有限公司 当 时， ； 当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ，所以 ， 故 的取值范围为 . 19.（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 . 底面 为菱形，且 为 中点， 为 上一点，且满足 ， ， 又 平面 平面 ， 平面 . （2）解：取 的中点为 ，连接 底面 为菱形， 且 ，平面 平面 平面 ， 以 所在的直线分别为 轴，建立如图所示的坐标系 ， （北京）股份有限公司 则 . （北京）股份有限公司 . 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 . 取 ，则 ， 易得平面 的一个法向量为 ， 所以 所以二面角 的余弦值为 20.解：（1）数列 满足 时， 当 时， ，上式也成立 （2） 数列 的前 项和 （北京）股份有限公司 21.解：（1）动点 为圆心的圆 过点 ，且与直线相切， （北京）股份有限公司 动圆圆心到定点 与定直线 的距离相等， 动圆圆心的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线， 动圆圆心轨迹方程为 . （2）依题意可设 ， 又 故切线 的斜率为 ， 故切线 同理可得到切线 又 且 ， 故方程 有两根 ， 又 为线段 的中点， 又由 得到： 即 同理可得到 ， 故直线 方程为： ，故直线过定点 . 22.（1）解：由题意，函数 ，其中函数 的定义域为 ， （北京）股份有限公司 可得 ， （北京）股份有限公司 令 ，可得 或 ， 若 ，则当 时， ，当 时， ， 所以 上 单调递减，在 上单调递增， 若 ，则当 时， ，当 时， ， 所以 上 单调递减，在 上单调递增； （2）解：由题意，函数 且 可得 ， 因为 ，可得 ， 解得 或 （与 矛盾，舍去）， 故 由（1）知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 在 时取得最小值，最小值 ，即 ， 故对于任意 恒成立，有不等式 成立，当且仅当 时，“=”成立； （3）证明：由（2）知当 时，有 成立， 令 ，则 整理得， ， 所以 .