重庆市第一中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

秘密★启用前 2022~2023 学年重庆一中上期学情调研 高二数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．下列四个数中，哪一个是数列{ }中的一项 （ ） A．380 B．39 C．35 D．23 2．若椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为 A． B． C． D． 3．若圆的方程为x2+y2 2 ﹣x+4y+1＝0，则该圆的圆心和半径r 分别为（ ） A．（1，﹣2）；r＝2 B．（1，-2）；r＝4 C．（-1，2）；r＝2 D．（-1，2）；r＝4 4．如图是抛物线形拱桥，当水面在n 时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米．水位下降1 米后，水面宽为（ ） A． B． C． D． 5．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 =（ ） A．21 B．15 C．13 D．11 6．已知椭圆 的右焦点为F，过点F 的直线与椭圆交于点A，B，若AB 中点为 ， 且直线AB 的倾斜角为 ，则椭圆方程为 A． B． C． D． 7．等差数列 中，若 ，则 （ ） A．42 B．45 C．48 D．51 8．如图,已知双曲线 的右顶点为 为坐标原点,以点 为圆心的圆与双曲线 的一条渐近线交于 两点,若 且 ,则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置可能的是（ ） A． B． C． D． 10．已知a，b，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程 有实根， 则椭圆E 的离心率e 可能是（ ） A． B． C． D． 11．设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线 ： 和点 ， ， 分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线上在第一 象限内的点，点 为 的内心，则下列说法正确的是（ ） A． 的最小值为25 B． C． D．若 ， ，则 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．已知直线 与 垂直，则m 的值为______． 14．某高中共有1800 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽 取60 人，那么高二年级被抽取的人数为________． 15．已知抛物线 的焦点为F，O 为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点， ， 直线AF 与抛物线的另一个交点为B，则 _________． 16．若椭圆 的焦点在 轴上，过点（1， ）作圆 的切线，切点分别为A,B，直线 恰 好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________ 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 如图，圆 与圆 (点 在点 的右侧)与 轴分别相切于 ， 两点，另两圆外切且与直线 分别 相切于 ， 两点，若 . （1）求圆 与圆 的标准方程； （2）过B 作直线EF 的垂线L，求直线L 被圆E 截得的弦的长度. 18．（本小题满分12 分） 已知数列 中， ， ， ， . （1）求 的通项公式； （2）设 ， ，求证： . 19．（本小题满分12 分） 已知向量 ，动点 到定直线 的距离等于 ，并且满足 ，其中 是坐标原点， 是参数. （1）求动点 的轨迹方程，并判断曲线类型； （2）如果动点 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率满足 ，求 的取值范围. 20．（本小题满分12 分） 如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 底面 ，且 ，点 分别在侧棱 上，且 （I）求证： 平面 ； （II）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 21．（本小题满分12 分） 已知点 及圆 . (1)若直线过点 且与圆心 的距离为1，求直线的方程； (2)设过点 的直线与圆 交于 两点，当 时，求以线段 为直径的圆 的方程； (3)设直线 与圆 交于 两点，是否存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 ？ 若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分12 分） 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为A，上顶点为B，O 为坐标原点， ． (1)若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程； (2)如图，过点 作斜率 的直线l 交椭圆 于不同两点M，N，点M 关于x 轴对称的点为S，直 线 交x 轴于点T，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使 ，记四边形 的面积 为 ，求 的最大值． 参考答案 1．A 因为数列{ }，那么将四个选项代入,可知 ,其他选项中的数值都 不能用相邻两个整数的积表示，选A. 2．A 椭圆的离心率 ， 即 ， ， 所以双曲线 的渐近线为 ．故选A． 考点：椭圆与双曲线的几何性质． 3．A 将圆的方程化为标准形式: , 则该圆的圆心为 ,半径为2, 故选:A. 4．D 建立如图所示的直角坐标系： 设抛物线方程为 ， 由题意知： 在抛物线上， 即 ， 解得： ， ， 当水位下降1 米后，即将 代入 ， 即 ，解得： ， ∴水面宽为 米. 故选：D. 5．A 因为数列 是等差数列， 所以 成等差数列， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 解得 ， 故选：A 6．C ∵ ，∴c＝ ， 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＋ ＝1， ＋ ＝1， ∴ ， ，∴a2＝ ，b2＝ . 故选C 7．C 依题意 是等差数列， ， . 故选：C 8．C 因为 ， ， 所以 ， 设 ，则 ， 又因为 ， 所以 ， 双曲线的渐近线方程为 ， ， 取PQ 的中点M，则 ， 由勾股定理可得 ， 即 ①， 在 中， ， 所以 ②， 联立①②： ，即 ， ， 结合 可得 . 故选：B. 9．AC 直线 与x 轴交于点 ，而圆 的圆心为 ， 因此，直线 过圆 的圆心，排除选项D； 当 时，圆心在x 轴负半轴上，选项A 满足；当 时，圆心在x 轴正半轴上，选项C 满足. 故选：AC 10．AB 由题意有 ， 由 可得 ， 故 ，解得 ， 而 ， ∴ . 故选：AB 11．CD 等差数列 的前 项和为 ，由 得： ， 由 得， ， 因此，等差数列 的公差 ，即数列 是递增等差数列，则有 ， ， 所以选项A，B 都不正确；选项C，D 都正确. 故选：CD 12．BC 设 的内切圆的半径为，则 ， 故B 正确； 设 在 上的垂足为 ，根据双曲线的定义及切线长定理可得 ，又 ，所以 ，所以 ，记 渐近线 的倾斜角为 ，则 ，记 ，则 ，当 ，即 ，解得 ，所以 ，则 ，所以 ，故C 正确； 延长 交 于点 ，由 解得 ，由角平分线定理可知 ，所以 ，又由角平分线定理知 ，过点 作 交 、 分别于点 、 点，则 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 又 ，解得 ，所以 ，故D 错误； 故选：BC 13．0 或-9 14． 设高一、高二、高三人数分别为 ，则 且 ， 解得： ， 用分层抽样的方法抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为 人． 故答案为： . 15．40 ∵ ，则 ∴抛物线方程为 把A(t，1)代入抛物线方程得： 且 ，则 ∵ ,则直线AF 的斜率 ∴直线AF 的方程： 即 联立方程 ，解得 或 即 ，则 O 到直线 的距离 ∴ 故答案为：40． 16． ∵点(1， )在圆外，过点(1， )与圆相切的一条直线为x＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的 右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1，设点P(1， )，连接OP，则 OP AB ⊥ ，∵kOP＝ ，∴kAB＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x＋y－2＝ 0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b＝2，又c＝1，∴a2＝5，故椭圆方程是 ＋ ＝1． 17．（1） ， ；（2） . （2）先由题意，联立直线 与圆 的方程求出 ，以及直线L 的方程，根 据几何法，即可求出圆的弦长. （1）因为点 ，圆 与 轴分别相切于 ，所以 ，即圆 的半径为， 所以圆 ； 因为圆 与圆 (点 在点 的右侧)与 轴分别相切于 ， 两点，与直线 分别相 切于 ， 两点，且两圆外切，所以 、 、 三点共线， 设圆 的半径为 ， 则有 ，即 ，解得 ，即 ，则 又 在直线 上，所以 ，即 ， 因此，圆 ； (2).联立 ，解得 ，所以 ， 又 ； 所以过点 且与 垂直的直线L 为: ， 即 ， 因为点E 到直线L 的距离 所以直线L 被圆截得弦长 . 18．（1） ；（2）证明见解析. （1）因为 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， . （2） ， 故得证 19． （1）令 ，则 ， ∴ ， 代入 ， 得 ， 即为动点 的轨迹方程. 当 时，表示直线 ； 当 时，表示圆； 当 时，表示双曲线； 当 或 时，表示椭圆. （2）由 点的轨迹为椭圆 ， 1° 时， ， 所以 . 2° 时， . 结合 ， 所以 ， 综上所述： . 20． （I） 底面 ， 底面 四边形 为正方形 平面 平面 ， 平面 ， 平面 （II）以 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则有 ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 又 ，则 ，又 ，即 又 平面 ， 平面 平面 为平面 的一个法向量 又 平面 为平面 的一个法向量 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为： 21． (1)直线斜率存在时，设直线的斜率为 ，则方程为 ，即 .又 圆 的圆心为 ，半径 ，由 ，解得 . 所以直线方程为 ，即 . 当的斜率不存在时，的方程为 ，经验证 也满足条件． 即直线的方程为 或 . (2)由于 ，而弦心距 ， 所以 . 所以 恰为 的中点． 故以 为直径的圆 的方程为 . (3)把直线 代入圆 的方程，消去 ，整理得 . 由于直线 交圆 于 两点， 故 ， 即 ，解得 . 则实数 的取值范围是 ． 设符合条件的实数 存在， 由于 垂直平分弦 ，故圆心 必在 上．所以 的斜率 ， 而 ， 所以 .由于 ， 故不存在实数 ，使得过点 的直线 垂直平分弦 . 22． （1） ，∴ ， ， ，又 ， 解得 ，所以椭圆 的标准方程为： . （2） ，∴ ，椭圆 ， 令 ，直线l 的方程为： ， 联立方程组： ，消去y 得 ， 由韦达定理得 ， ， 有 ， 因为： ，所以 ， ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . 令 ，所以直线 ， 令 得 ， 由韦达定理化简得 ， ，而 ， O 点到 直线l 的距离 ， 所以： ， ， ， 因为点P 在椭圆内部，所以 ，得 ，即 令 ，求导得 ， 当 ，即 时， ， 单调递增； 当 ，即 时， ， 单调递减. 所以： ，即 .