专题4.1 立体图形的初步认识【九大题型】（解析版）

专题41 立体图形的初步认识【九大题型】 【人版】 【题型1 几何体的认识及分类】.............................................................................................................................1 【题型2 棱柱的概念及特征】.................................................................................................................................3 【题型3 点、线、面、体的关系】.........................................................................................................................5 【题型4 立体图形的计算】.....................................................................................................................................7 【题型5 正方体的平面展开图 】............................................................................................................................9 【题型6 立体图形的展开与折叠】.......................................................................................................................10 【题型7 立体图形的截面形状及面积】............................................................................................................... 12 【题型8 从不同方向看几何体的形状】............................................................................................................... 14 【题型9 由形状图判断几何体】...........................................................................................................................16 【知识点1 立体图形的认识】 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同 一个平面内，这就是立体图形． 【知识点2 常见的几何体分类】 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：① 有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等 【题型1 几何体的认识及分类】 【例1】（2022 秋•市南区期中）下面七个几何体中，是棱柱的有（ ）个． ．4 B．3 ．2 D．1 【分析】根据直棱柱的特征进行判断即可． 【解答】解：如图，根据棱柱的特征可得， ①是三棱柱，②是球，③圆锥，④三棱锥，⑤正方体，⑥圆柱体，⑦六棱柱， 1 因此棱柱有：①⑤⑦， 故选：B． 【变式1-1】（2022•怀化期末）与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （ ） ．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 ．棱柱、球、正方体、棱柱 D．棱柱、圆锥、棱柱、长方体 【分析】根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【解答】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是圆柱、球、正方 体、长方体． 故选：B． 【变式1-2】（2022•定西期末）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据每个几何体的面是否是平面进行判断即可． 【解答】解：三棱柱的两个底面是三角形，三个侧面是长方形，它们都是平面， 因此三棱柱符合题意， 故选：． 【变式1-3】（2022•海阳市期末）如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定 量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子 里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是（ ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 1 ．①②④ B．②③④ ．①③④ D．①④⑤ 【分析】根据正方体的特征即可求解 【解答】解：根据题意可知，盒子里的水能形成的几何体是长方体，三棱柱，三棱锥； 不可能是正方体． 故选：D． 【知识点3 棱柱的有关概念及其特征】 ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长 都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行 四边形 ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数确定该棱柱是棱柱，它有2 个顶点，3 条棱，条侧棱，有+2 个面，个侧面 【题型2 棱柱的概念及特征】 【例2】（2022•金台区校级月考）下列说法不正确的是（ ） ．四棱柱是长方体 B．八棱柱有10 个面 ．六棱柱有12 个顶点 D．经过棱柱的每个顶点有3 条棱 【分析】从棱柱的底面的形状可以对选项做出判断；从八棱柱有8 个侧面，2 个底面， 对选项B 做出判断，从顶点数，以及棱与棱的交点情况对选项、D 做出判断． 【解答】解：四棱柱的底面若是一般的四边形，不是长方形，就不是长方体，因此选项 是不正确的，符合题意， 八棱柱有8 个侧面，2 个底面，共有10 个面，因此B 选项不符合题意， 六棱柱上底面有六个顶点，下底面也有6 个顶点，共有12 个顶点，因此选项不符合题 意， 面与面相交成线，线与线相交于点，因此经过棱柱的每个顶点有3 条棱，不符合题意， 故选：． 【变式2-1】（2022•成都月考）如图形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个直 三棱柱的是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】根据直三棱柱的特点作答． 【解答】解：、围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故不能 围成直三棱柱； B、D 的两底面不是三角形，故也不能围成直三棱柱； 只有经过折叠可以围成一个直三棱柱． 故选：． 【变式2-2】．（2022•本溪期中）某棱柱共有8 个面，则它的棱数是 18 ． 【分析】根据六棱柱的形状进行填空即可． 【解答】解：某棱柱共有8 个面，则它是六棱柱，它的棱数是6×3＝18． 故答为：18． 【变式2-3】（2022•单县期末）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱， 三棱柱有5 个面，9 条棱，6 个顶点，观察图形，下列说法正确的有（ ） ①棱柱有个面； ②棱柱有3 条棱； ③棱柱有2 个顶点． ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【分析】结合已知三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，可知棱柱一定有（+2）个 面，3 条棱和2 个顶点． 【解答】解：∵是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5 个面，9 条棱，6 个顶 点， ∴棱柱一定有（+2）个面，3 条棱和2 个顶点， 故①错误，②③正确， 故选：． 【知识点4 点、线、面、体的关系】 1 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【题型3 点、线、面、体的关系】 【例3】（2022•黄山校级月考）点动成 线 ，线动成 面 ， 面 动成体．比如： （1）圆规在纸上划过会留下一个封闭的痕迹，这种现象说明 点动成线 ． （2）冬天环卫工人使用下部是长方形的木锨推雪时，木锨过处，雪就没了，这种现象 说明 线动成面 ． （3）一个人手里拿着一个绑在一根棍上的半圆面，当这个人把这个半圆面绕着这根棍 飞快地旋转起来时就会看到一个球，这种现象说明 面动成体 ． 【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可． 【解答】解：点动成线，线动成面，面动成体． （1）点动成线； （2）线动成面； （3）面动成体． 故答为：线，面，面； （1）点动成线；（2）线动成面；（3）面动成体． 【变式3-1】（2022•平阴县期末）下面的几何体，是由、B、、D 中的哪个图旋转一周形成 的（ ） ． B． ． D． 【分析】根据面动成体，可得图旋转一周形成圆台这个几何体， 【解答】解：根据面动成体，可知图旋转一周形成圆台这个几何体， 故选：． 【变式3-2】（2022•花溪区期末）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到 的是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】根据平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必须有曲面判断即可． 【解答】解：∵平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必须有曲面， 且矩形沿其一条边旋转得到圆柱体， ∴B 选项符合题意， 故选：B． 【变式3-3】（2022•宿豫区期末）如图：D 是直角三角形B 的高，将直角三角形B 按以下 方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ） ．绕着旋转 B．绕着B 旋转 ．绕着D 旋转 D．绕着B 旋转 【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进 而解答即可． 【解答】解：将直角三角形B 绕斜边B 所在直线旋转一周得到的几何体是 ， 故选：B． 【题型4 立体图形的计算】 【例4】（2022•雁塔区校级月考）如图是一个长为3m，宽为2m 的长方形纸片，若将长方 形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积为 12π m3．（结果保留π） 1 【分析】将长方形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体是底面半径为2m，高 为3m 的圆柱体，根据体积计算公式进行计算即可． 【解答】解：将长方形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体是底面半径为 2m，高为3m 的圆柱体， 所以：体积为：π×22×3＝12πm3， 故答为：12π． 【变式4-1】（2022•胶州市一模）如图所示是一种棱长分别是2m，3m，4m 的长方体积木， 现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用6 块积木来搭，那么搭成的大长方体 的表面积最小是 168 m2． 【分析】如果用6 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4m，宽3×2＝6m，高 2×3＝6m 的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解． 【解答】解：长4m，宽3×2＝6（m），高2×3＝6（m）， （4×6+4×6+6×6）×2 ＝（24+24+36）×2 ＝84×2 ＝168（m2） 答：如果用6 块积木来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是168m2． 故答为：168． 【变式4-2】（2022•市南区校级二模）如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为8，8π 的长方形，那么这个圆柱的体积等于 128 或 128π ． 【分析】分两种情况：①底面周长为8 高为8π；②底面周长为8π 高为8；先根据底面周 长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【解答】解：①底面周长为8 高为8π， π×（8 2π ）2×8π 1 ＝π× 16 π 2 ×8π ＝128； ②底面周长为8π 高为8， π×（8 π 2π ）2×8 ＝π×16×8＝128π． 答：这个圆柱的体积可以是128 或128π． 故答为：128 或128π． 【变式4-3】（2022 春•黄浦区期末）已知一个无盖的长方体容器，它的长宽高之比为2： 3：4，且棱长总和为36m．求这个长方体容器外表面积的最大值． 【分析】设长方体的长宽高分别为2x 厘米，3x 厘米，4x 厘米，根据题意列出方程可得 x 的值，进而可求这个长方体容器外表面积的最大值． 【解答】解：设长方体的长宽高分别为2x 厘米，3x 厘米，4x 厘米，根据题意得， 2x+3x+4x＝36÷4， 解得x＝1， 所以长方体的长宽高分别为2 厘米，3 厘米，4 厘米， 所以外表面积的最大值是： 2×3+3×4×2+2×4×2＝46（平方厘米）． 答：这个长方体容器外表面积的最大值是46 平方厘米． 【知识点5 正方体的平面展开图】 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可 以得到11 种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6 种；二三一型有3 种；三三型有 1 种；二二二型有一种 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知 【题型5 正方体的平面展开图 】 【例5】（2022•济南期末）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ） ． B． 1 ． D． 【分析】根据正方体展开图的11 种形式对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知： ，，D 选项可以拼成一个正方体， 而B 选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图． 故选：B． 【变式5-1】（2022•南开区期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数 11 重合的数是 1 和 7 ． 【分析】由正方体展开图的特征得到结论． 【解答】解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后，点11 所在的正方形分别 和点7、点1 所在的两个正方形相交， 故点1 与点7、点1 重合． 故答为1 和7 【变式5-2】（2022•商丘三模）如图1，是由五个边长都是1 的正方形纸片拼接而成的，现 将图1 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段F2重合的线段是（ ） ．B2 B．M ．B1B2 D．M2 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：将图1 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒，则2D2和2M 重合，M 和2D2重 合，B2和F2重合． 故选：． 【变式5-3】（2022•张家口一模）如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】结合正方体的展开图中圆点所在面的位置，把展开图折叠再观察其位置，即可 得到这个正方体． 【解答】解：把展开图折叠后，只有B 选项符合图形， 故选：B． 【题型6 立体图形的展开与折叠】 【例6】（2022•龙山县期末）如图、B、、D 四个图形，它们能折叠成的立体图形依次是 圆柱，五棱柱，圆锥，三棱柱 ． 【分析】依据展开图的特征进行判断，即可得到它们能折叠成的立体图形的名称． 【解答】解：由题可得，能折叠成的立体图形为圆柱，B 能折叠成的立体图形为五棱柱， 能折叠成的立体图形为圆锥，D 能折叠成的立体图形为三棱柱． 故答为：圆柱，五棱柱，圆锥，三棱柱． 【变式6-1】（2022•蒲城县一模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） ．三棱柱 B．四棱柱 ．圆柱 D．圆锥 【分析】根据三棱柱的展开图解答． 【解答】解：由图可知，该几何体的两个底面是正三角形，且有3 个侧面，侧面都是矩 形，故这个几何体是三棱柱． 故选：． 【变式6-2】（2022•市北区一模）如图，在各选项中，可以从左边的平面图形折成右边封 1 闭的立体图形的是（ ） ． B． ． D． 【分析】四棱锥有四个三角形的侧面，故选项不正确，将B 中展开图折叠为长方体，因 此B 选项正确，选项不能折叠成正方体，D 显然不正确． 【解答】解：将B 选项中的展开图经过折叠可以得到长方体， 故选：B． 【变式6-3】（2022 春•肥乡区月考）如图，经过折叠可以围成一个长方体的图形有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：第一个图形，第四个图形都能围成四棱柱；第二个图形缺少一个面，不能 围成棱柱；第三个图形折叠后底面重合，不能折成棱柱． 故选：． 【知识点6 截一个几何体】 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． 截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面 与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面 则截面最多为几边形． 【题型7 立体图形的截面形状及面积】 【例7】（2022•郓城县期中）一个圆柱的底面半径是10m，高是18m，把这个圆柱放在水 平桌面上，如图所示． （1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？ （2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？ （3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积． 1 【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的； （2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的； （3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积 【解答】解：（1）所得的截面是圆； （2）所得的截面是长方形； （3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大， 这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径， 则这个长方形的面积为：10×2×18＝360（m2）． 【变式7-1】（2022•朝阳区校级期末）如图所示，把一个高为10 厘米的圆柱切成若干等份， 拼成一个近似的长方体．如果这个长方体的底面积是50 平方厘米，那么圆柱体积是 500 立方厘米． 【分析】根据圆柱的体积公式计算即可． 【解答】解：由题意得： 50×10＝500（立方厘米）， ∴圆柱体积是500 立方厘米， 故答为：500． 【变式7-2】（2022•毕节市期中）用一个平面去截一个几何体，截面可能是长方形的几何 体是（ ） ．①③ B．②③ ．①② D．②① 【分析】截面的形状是长方形，说明从不同的方向看到的立体图形的形状必有长方形或 正方形，由此得出长方体、正方体、圆柱用一个平面去截一个几何体，可以得到截面的 形状是长方形． 【解答】解：用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，原来的几何体可 1 能是长方体、正方体、圆柱． 故选：． 【变式7-3】（2022•彭泽县期中）如图是棱长为2m 的正方体，过相邻三条棱的中点截取一 个小正方体，则剩下部分的表面积为