第06讲 分式方程（讲义）（解析版）

第06 讲 分式方程 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 解分式方程 题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法 题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算） 题型06 根据分式方程解的情况求值 题型07 根据分式方程有解或无解求参数 题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数 考点二 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题 考点要求 新课标要求 命题预测 解分式方程  能解可化为一元一次方程 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含 的分式方程 参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和 一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10 分左 右，预计2024 年各地中考还将继续考查分式方程解法、分 式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢 分，学生应扎实掌握． 分式方程的 应用  能根据具体问题的实际意 义，检验方程解的合理性 考点一 解分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根 题型01 判断分式方程 【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①1 x +1=x；②x+1 2 −3=0； ③2 x−1 + 3 1−x =3；④x a + x b =1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ） ．1个 B．2个 ．3个 D．4个 【答】B 1 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据 2 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项 3 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0 的根，它不是原分式方 程的根． 5 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤 6 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能 是去分母后的整式方程无解 【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程； 【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知 数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键． 【变式1-1】（2022 南明区 二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ） ．x 2−3= x 5 B．1 2 x−1 3 y=5 ．x π = x 3 + x 2 D．1 2+x =1−2 x 【答】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程，不符合题意； D．方程分母中含未知数x，故是分式方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据 分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 题型02 分式方程的一般解法 【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程1 x−1 +3= 3 x 1−x 去分母，两边同乘(x−1)后的式子为 （ ） ．1+3=3 x (1−x ) B．1+3 (x−1)=−3 x ．x−1+3=−3 x D．1+3 (x−1)=3 x 【答】B 【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得． 【详解】解：1 x−1 +3= 3 x 1−x ， 两边同乘(x−1)去分母，得1+3 (x−1)=−3 x， 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键． 【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程1 x+2 + x+6 x 2−4 =1的解为 ． 【答】x=4 【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x的值． 【详解】解：∵ 1 x+2 + x+6 x 2−4 =1， 方程两边同时乘以(x+2) (x−2)得，x−2+x+6=(x+2) (x−2)， ∴2 x+4=x 2−4， ∴x 2−2 x−8=0， ∴(x−4 ) (x+2)=0， ∴x=4或x=−2． 经检验x=−2时，x 2−4=0，故舍去． ∴原方程的解为：x=4． 故答为：x=4． 【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况． 【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程： 4 x 2+x − 3 x 2−x =0． 【答】x=7 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘x (x+1) (x−1)，得4 (x−1)−3 (x+1)=0， 解得x=7， 检验：当x=7时，x (x+1) (x−1)≠0， 所以，原分式方程的解为x=7． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根． 【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式3 x+2与代数式2 x−1的值相等，则x＝ ． 【答】7 【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x 的值即可． 【详解】解：∵代数式3 x+2与代数式 2 x−1的值相等， ∴3 x+2= 2 x−1， 去分母 3 (x−1)=2 (x+2)， 去括号号 3 x−3=2 x+4， 解得x=7， 检验：当x=7时，(x+2) (x−1)≠0， ∴分式方程的解为x=7． 故答为：7． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程2 x + 1 x (x−2)= 5 2 x 的解为 ． 【答】x=4 【分析】根据方程两边同时乘以2 x (x−2)，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验． 【详解】解：方程两边同时乘以2 x (x−2)， 2×2 (x−2)+2=5× (x−2) 4 x−8+2=5 x−10 解得x=4 经检验，x=4是原方程的解 故答为：x=4 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验． 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解 【例3】解方程：3 x−2− 4 x−1= 1 x−4 − 2 x−3 【详解】解:原方程可变形为， 5−x （x−2）（x−1）= 5−x （x−4 ）（x−3） 当5-x≠0 时，（x−2）（x−1）=（x−4 ）（x−3）解得x1=5 2 当5-x=0 时，解得x2=5 经检验，x1=5 2 ，x2=5都是原方程得解 类型二 分离分式法 方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解 【例4】解方程：x+5 x+4 + x+2 x+1= x+3 x+2 + x+4 x+3 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最 后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解 【答】x=−5 2 【分析】先将原方程变形1+ 1 x+4 +1+ 1 x+1=1+ 1 x+2 +1+ 1 x+3，再进一步化简转化为整式方程求解即可 【详解】解:原方程可变形为， 1+ 1 x+4 +1+ 1 x+1=1+ 1 x+2 +1+ 1 x+3， 化简得，1 x+4 + 1 x+1= 1 x+2 + 1 x+3， 即 2 x+5 ( x+4)( x+1)= 2 x+5 ( x+2)( x+3)， 2x+5=0 ∴ ， 解得，x=−5 2 , 检验，把x=−5 2 代入( x+4)( x+1) ( x+2)( x+3)≠0， ∴原方程的解为x=−5 2 【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键 类型三 列项相消法 方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“ 1 n (n+1)=1 n−1 n+1”化积为差，裂项相消，简化难度 【例5】我们把分子是1 的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如1 6=1 2−1 3， 1 12=1 3−1 4 ；1 20= 1 4 −1 5，1 6=1 2−1 3， ，请用观察到的规律解方程 … … 2 x (x+1) + 2 (x+1) (x+2) +⋅⋅⋅+ 2 (x+9) (x+10)= 5 x+10，该方程解是多少？ 【答】x=4 【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可． 【详解】解： 2 x (x+1) + 2 (x+1) (x+2) +⋅⋅⋅+ 2 (x+9) (x+10)= 5 x+10 原方程化简为：2 x −2 x+1 + 2 x+1−2 x+2 +…+ 2 x+9− 2 x+10= 5 x+10， 即2 x − 2 x+10= 5 x+10 ， 方程两边同乘x( x+10)， 得：5 x=20， 解得x=4． 经检验x=4是原方程的解， ∴原方程的解为x=4． 【变式5-1】因为1 1×2=1−1 2 , 1 2×3=1 2−1 3 ,…, 1 19×20= 1 19−1 20， 所以1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 19×20=1−1 2 + 1 2−1 3 +…+ 1 19−1 20=1−1 20=19 20．解答下列问题： (1)在和式1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…中，第九项是______________；第n项是______________． (2)解方程： 1 (x+1) (x+2) + 1 (x+2) (x+3) +…+ 1 (x+2001) (x+2002)= 1 x+2002． 【答】(1) 1 9×10， 1 n (n+1) (2)x=2000 【分析】（1）根据已知式子的规律，即可求解； （2）根据（1）的规律化简方程为1 x+1− 1 x+2002= 1 x+2002，解分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，在和式1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…中，第九项是 1 9×10；第n项是 1 n (n+1)； 故答为 1 9×10 ; 1 n (n+1)． （2）原方程可化简为：1 x+1− 1 x+2002= 1 x+2002 方程两边同时乘(x+1) (x+2002)，得：x+2002−(x+1)=x+1， 解得：x=2000， 经检验，x=2000是原方程的解． 【点睛】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键． 【变式5-2】探索研究： 请观察： ① 1 x 2+3 x+2 = 1 (x+1) (x+2)= 1 x+1−1 x+2； ② 1 x 2+5 x+6 = 1 (x+2) (x+3)= 1 x+2−1 x+3； ③ 1 x 2+7 x+12 = 1 (x+3) (x+4 )= 1 x+3−1 x+4 ； ④ 1 x 2+9 x+20 = 1 (x+4 ) (x+5)= 1 x+4 −1 x+5； …… (1)请写出第个等式； (2)解方程： 1 x 2+x + 1 x 2+3 x+2 + 1 x 2+5 x+6 + 1 x 2+7 x+12 +⋯+ 1 x 2+15 x+56 = 1 x+8； (3)当m 为正整数时，1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 +⋯+ 1 m 2+17m+72 =¿ ． 【答】(1) 1 x 2+(2n+1)x+n(n+1) = 1 (x+n) (x+n+1)= 1 x+n− 1 x+n+1 (2)x=8 (3)m+8 m+9 【分析】（1）根据所给4 个等式总结规律写出第个等式即可； （2）由（1）所得规律解该分式方程即可，注意验算； （3）由（1）所得规律变形计算即可． 【详解】（1）解：∵① 1 x 2+(2×1+1) x+1× (1+1) = 1 (x+1) (x+1+1)= 1 x+1− 1 x+1+1； ② 1 x 2+(2×2+1) x+2× (2+1) = 1 (x+2) (x+2+1)= 1 x+2− 1 x+2+1； ③ 1 x 2+(2×3+1) x+3× (3+1) = 1 (x+3) (x+3+1)= 1 x+3− 1 x+3+1； ④ 1 x 2+(2×4+1) x+4× (4+1) = 1 (x+4 ) (x+4+1)= 1 x+4 − 1 x+4+1； …， ∴第个等式为： 1 x 2+(2n+1)x+n(n+1) = 1 (x+n) (x+n+1)= 1 x+n− 1 x+n+1； （2）解： 1 x 2+x + 1 x 2+3 x+2 + 1 x 2+5 x+6 + 1 x 2+7 x+12 +⋯+ 1 x 2+15 x+56 = 1 x+8， 1 x −1 x+1 + 1 x+1−1 x+2 + 1 x+2−1 x+3 + 1 x+3−1 x+4 +⋯+ 1 x+7 −1 x+8= 1 x+8， 1 x −1 x+8= 1 x+8， 1 x = 2 x+8， 解得：x=8， 经检验x=8是原方程的解； （3）解：1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 +⋯+ 1 m 2+17m+72 ¿ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 +⋯+ 1 (m+8) (m+9) ¿1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 + 1 4 −1 5 +⋯+ 1 m+8− 1 m+9 ¿1− 1 m+9 ¿ m+8 m+9． 故答为：m+8 m+9． 【点睛】本题考查分式运算中的规律性问题，解分式方程．理解题意，找出所给等式中的规律，并能用此 规律计算是解题关键． 【变式5-3】探索发现： 1 1×2=1−1 2 ; 1 2×3=1 2−1 3 ; 1 3×4 =1 3−1 4 …… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1） 1 4×5＝ ， 1 n×(n+1)＝ ； （2）利用你发现的规律计算：1 1×2 ⋅+ 1 2×3 + 1 3×4 +⋯⋯+ 1 n×(n+1) （3）利用规律解方程： 1 x( x+1)+ 1 ( x+1)( x+2)+ 1 ( x+2)( x+3)+ 1 ( x+3)( x+4)+ 1 ( x+4)( x+5)= 2 x−1 x( x+5) 【答】（1）1 4 −1 5 , 1 n−1 n+1；（2）n n+1 ；（3）见解析． 【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到 1 4×5和 1 n×(n+1) （2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它 们的和 （3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可 【详解】解：（1） 1 4×5= 1 4 −1 5， 1 n(n+1)=1 n−1 n+1 ； 故答为1 4 −1 5 , 1 n−1 n+1 （2）原式＝1−1 2 + 1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 n−1 n+1=1−1 n+1= n n+1 ; （3）已知等式整理得： 1 x −1 x+1 + 1 x+1−1 x+2 +⋯+ 1 x+4 −1 x+5= 2 x−1 x( x+5) 所以，原方程即： 1 x −1 x+5= 2 x−1 x( x+5) ， 方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣ x＝2x 1 ﹣， 解得：x＝3， 检验：把x＝3 代入x（x+5）＝24≠0， ∴原方程的解为：x＝3． 【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点 类型四 消元法 方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一 次项分别相同时,可考虑用换元法 【例6】用换元法解分式方程 x x 2−1 + 2 x 2−2 x =3 5时，若设 x x 2−1 = y，则原方程可以化为整式方程 【答】5 y 2−3 y+10=0 【分析】将 x x 2−1 = y代入到原方程中，再进行整理即可． 【详解】解：设 x x 2−1 = y， 则方程 x x 2−1 + 2 x 2−2 x =3 5可以化为y+ 2 y =3 5， 整理得：5 y 2−3 y+10=0， 故答为：5 y 2−3 y+10=0． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化． 【变式6-1】阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：x−1 x −4 x x−1=0． 解：设y= x−1 x ，则原方程可化为y−4 y =0，方程两边同时乘y 得y 2−4=0， 解得y=±2， 经检验：y=±2都是方程y−4 y =0的解，∴当y=2时，x−1 x =2，解得x =−1， 当y =−2时，x−1 x =−2，解得x=1 3，经检验：x =−1或x=1 3都是原分式方程的 解， ∴原分式方程的解为x =−1或x=1 3．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 问题： (1)若在方程中x−1 2 x − x x−1=0，设y= x−1 x ，则原方程可化为________________． (2)模仿上述换元法解方程：x−1 x+2 −27 x−1−9=0． 【答】(1)1 2 y−