第06讲 分式方程（练习）（解析版）

第06 讲 分式方程 目 录 题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 错看或错解分式方程问题 题型04 解分式方程的运用（新定义运算） 题型05 根据分式方程解的情况求值 题型06 根据分式方程有解或无解求参数 题型07 已知分式方程有增根求参数 题型08 列方式方程 题型09 利用分式方程解决实际问题 题型01 判断分式方程 1．关于x 的方程①x 2−2 x= 1 x ；②3 x+5 4 x −1=2 x−1 3 ；③x 4−2 x 2=0；④1 2 x 2−1=0．其中是分式方程 是（ ） ．①②③ B．①② ．①③ D．①②④ 【答】B 【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：方程①是分式方程，符合题意； 方程②分母中含有未知数，符合题意； 方程③是整式方程，不符合题意； 方程④是整式方程，不符合题意； 故其中是分式方程的有：①②， 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 2．给出以下方程：x−3 4 =1，3 x =2，x+3 x+5=1 2，x 3 −x 2=1，其中分式方程的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可． 【详解】解：x−3 4 =1中分母不含未知数，不是分式方程； 3 x =2中分母含有未知数，是分式方程； x+3 x+5=1 2中分母含有未知数，是分式方程； x 3 −x 2=1中分母不含未知数，不是分式方程， 共有两个是分式方程，故B 正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键． 题型02 分式方程的一般解法 1．（2022·广东广州·统考中考真题）分式方程3 2 x = 2 x+1的解是 【答】x=3 【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解； 【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得 3(x+1)=4x 3x+3=4x x=3， 检验：把x=3 代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0， ∴原分式方程的解为：x=3． 故答为：x=3． 【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式 方程一定要验根． 2．（2023 广州市一模）分式3−x 2−x 的值比分式 1 x−2的值大3，则x 为 ． 【答】1 【分析】先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答即可． 【详解】根据题意得：3−x 2−x - 1 x−2=3， 方程两边都乘以x-2 得：-（3-x）-1=3（x-2）， 解得：x=1， 检验：把x=1 代入x-2≠0， 所以x=1 是所列方程的解， 所以当x=1 时，3−x 2−x 的值比分式1 x−2的值大3． 【点睛】本题考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此题的关键． 3．（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：1− 2 3−x = 4 x−3 【答】x=5 【分析】先方程两边同时乘以( x−3)，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0 即可． 【详解】解：方程两边同时乘以( x−3)得到：x−3+2=4， 解出：x=5， 当x=5时分式方程的分母不为0， ∴分式方程的解为：x=5． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可． 4．（2011·河北·统考中考模拟）解分式方程： 3 2 x−4 − x x−2=1 2． 【答】x=5 3 【分析】根据解分式方程的步骤，因式分解、去分母、移项、合并同类项、系数化“1”、验根、下结论即 可． 【详解】解： 3 2 x−4 − x x−2=1 2 整理得 3 2 (x−2)− x x−2=1 2， 方程两边同乘最简公分母2 (x−2)得3−2 x=x−2， 移项得3+2=x+2 x， 合并同类项得3 x=5， 系数化“1”得x=5 3， 检验：当x=5 3时，2 (x−2)=2×( 5 3−2)≠0， ∴ x=5 3是原分式方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，不要忘记验根是解决问题的关键． 5．（2023 渭南市一模）解分式方程： x x−2−1= 4 x 2−4 x+4 ． 【答】x=4 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x 的值，经检验即可得到分式方 程的解． 【详解】解： x x−2−1= 4 x 2−4 x+4 ， 方程两边乘( x−2) 2得：x( x−2)−( x−2) 2=4， 解得：x=4， 检验：当x=4 时，（x﹣2） 2≠0． 所以原方程的解为x=4． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 题型03 错看或错解分式方程问题 1．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程m x+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法： 甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ） ．只有甲对 B．只有乙对 ．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答】B 【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可． 【详解】m x+6=1 去分母得，m=x+6， 解得x=m−6， 要使分式方程有解，x+6≠0， ∴m−6+6≠0， ∴m≠0， ∴当m<4时，m−6<4−6， ∴x←2， ∴当m<4，且m≠0时，方程的解是负数，故甲说法错误； 当m>6时，m−6>6−6， ∴x>0， ∴乙说法正确． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最 简公分母等于0 的根叫做分式方程的增根． 2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程 ax 3 x−9= 12 3 x−9 +1无解，求a的值．”尖尖和丹丹 的做法如下（如图1 和图2）： 下列说法正确的是（ ） ．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 ．两人都错 D．两人的答合起来才对 【答】D 【分析】根据分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根，两类讨论即可得到答； 【详解】解：由题意可得， 去分母可得，ax=12+3 x−9， 移项合并同类项得， (a−3)x=3， 当a−3=0时，即a=3时方程无解， 当a−3≠0时，即a≠3时，x= 3 a−3， ∵方程 ax 3 x−9= 12 3 x−9 +1无解， 即x= 3 a−3是方程的增根，可得：3 x−9=0，解得：x=3， ∴3= 3 a−3，解得：a=4， 故选D； 【点睛】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式方程无解情况①去分母后方程无解， ②解出的解是增根． 3．（2023 上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）已知关于x的分式方程x−2 x+2 −mx x 2−4 =1无解，求m的值． 甲同学的结果：m=0． 乙同学的结果：m=−8． 关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（ ） ．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确 ．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确 【答】D 【分析】解分式方程，用含m 的代数式表示出x，当分式方程无解时，求出的x 的值无意义或为增根，由 此可解． 【详解】解：x−2 x+2 −mx x 2−4 =1， 去分母，得(x−2) 2−mx=x 2−4， 解得x= 8 m+4 ， ∵关于x的分式方程x−2 x+2 −mx x 2−4 =1无解， ∴ x= 8 m+4 无意义或使x= 8 m+4 为增根， 当x= 8 m+4 无意义时，m+4=0， 解得m=−4， 当x= 8 m+4 为增根时，x 2−4=(x+2) (x−2)=0 ∴ 8 m+4 =2或 8 m+4 =−2 解得m=0或m=−8， 综上可知，m=−4或m=0或m=−8， 因此甲、乙同学的结果合在一起也不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件． 4．已知分式方程2 x−1 + x 1−x =¿■有解，其中“■”表示一个数． (1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或 0，试确定“■”表示的数． 【答】(1)x=6 5 (2)0 【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可； （2）把−1和0 分别代入方程，求出解判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：2 x−1 + x 1−x =4， 去分母得：2−x=4 x−4， 解得：x=6 5， 检验：把x=6 5代入得：x−1≠0， ∴分式方程的解为x=6 5； （2）解：当“■”是−1时，2 x−1 + x 1−x =−1，解得0 x=−1，此时方程无解； 当“■”是0 时，2 x−1 + x 1−x =0，解得x=2，经检验：x=2是分式方程的解，符合题意， “■” ∴ 表示的数是0 ． 【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 5．（1）以下是小明同学解方程1−x x−3= 1 3−x −2的过程． 【解析】方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2．第一步 解得x=4．第二步 检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．第三步 所以，原分式方程的解为x=4．第四步 ①小明的解法从第___________步开始出现错误；出错的原因是___________． ②解分式方程的思想是利用___________的数学思想，把分式方程化为整式方程． ．数形结合 B．特殊到一般 ．转化 D．类比 ③写出解方程1−x x−3= 1 3−x −2的正确过程． （2）化简：a 2−6a+9 a 2−2a ÷(1− 1 a−2)． 【答】（1）①一；去分母时整数漏乘；②；③见解析；（2）a−3 a 【分析】（1）①第一步去分母时整数漏乘；②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化 为整式方程；③根据解分式方程的步骤，先确定最简公分母，然后去分母，解整式方程，检验，得出解． （2）先将括号内的进行通分后，把除法转换为乘法，再进行约分即可得到答． 【详解】（1）①小明的解法从第一步开始出现错误．错误的原因是去分母时整数项漏乘； 故答为：一，去分母时整数项漏乘； ②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程， 故选：； ③方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2 (x−3)． 解得，x=4． 检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0． 所以，原分式方程的解为x=4； （2）a 2−6a+9 a 2−2a ÷(1− 1 a−2) =a 2−6a+9 a 2−2a ÷ a−3 a−2 = (a−3) 2 a (a−2) ⋅a−2 a−3 =a−3 a ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算以及解分式方程的问题，解分式方程时确定最简公分母，然后去分母 是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意解分式方程要检验． 6．在解分式方程1−x x−2= 1 2−x −2时，小亮的解法如下： 解：方程两边同时乘x−2，得1−x=−1−2 （第一步） 解这个整式方程得：x=4 （第二步） …… 任务一：填空 在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ． 任务二：请写出解这个方程的正确过程． 任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议． 【答】任务一：一，在去分母时整数项没有乘x−2；任务二：过程见解析，原方程无解；任务三：解分式 方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号 【分析】任务一：根据解分式方程的步骤即可得出答； 任务二：根据解分式方程的步骤即可得出答； 任务三：根据解分式方程的步骤即可得出答． 【详解】任务一：第一步有错，错误的原因是：在去分母时整数项没有乘x−2， 任务二：去分母得：1−x=−1−2 (x−2)， 解得x=2， 经检验x=2是原方程的增根， 所以原方程无解； 任务三：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键． 题型04 解分式方程的运用（新定义运算） 1．（2023 西安铁一中一模）定义一种新运算：∫ b a n⋅x n−1dx=a n−b n，例如：∫ h k 2⋅xdx=k 2−h 2，若 ∫ 5m m −x −2dx=−2，则m=¿（ ） ．-2 B．−2 5 ．2 D．2 5 【答】B 【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可 【详解】根据题意得， ∫ 5m m ❑−x −2dx=m −1−(5m) −1= 1 m−1 5m=−2， 则m=−2 5 ， 经检验，m=−2 5 是方程的解， 故选B 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= 1 1−b 2，这里等式右 边是实数运算．例如：5⊗3= 1 1−3 2=−1 8 ．则方程x⊗2= 2 x−4 −1的解是（ ） ．x=4 B．x=5 ．x=7 D．x=6 【答】 【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可． 【详解】由题意化简：x⊗2= 1 1−2 2=−1 3 ， ∴ 2 x−4 −1=−1 3 ，解得：x=7， 经检验：x=7是原分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 3．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为： aθb= 1 a+b 2， 例如： 1θ2= 1 1+2 2，则xθ (−2)= 2 x+4 −2的解是 ． 【答】x=−7 2 /x=−3.5 【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：∵aθb= 1 a+b 2， ∴xθ (−2)= 2 x+4 −2，即1 x+4 = 2 x+4 −2， 去分母得：1=2−2 (x+4 )， 解得：x=−7 2 ， 检验：当x=−7 2 时，x+4≠0， ∴分式方程的解是x=−7 2 ， 故答为：x=−7 2 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）定义运算“※”：a※b=¿．若5※ x=2，则x的值可能为 （ ） ．5 2 B．5 ．15 2 D．10 或5 2 【答】D 【分析】根据公式分两种情况列方程解答． 【详解】解：当5>x时，得5 5−x =2，解得x=5 2， 经检验x=5 2是方程的解； 当5<x时，得 x x−5=2，解得x=10， 经检验，x=10是分式方程的解； 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，正确理解题意得到分式方程并掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 题型05 根据分式方程解的情况求值 1．（2021·四川雅安·统考中考真题）若关于x 的分式方程2−1−k x−2= 1 2−x 的解是正数，则k 的取值范围是 ． 【答】k<4且k ≠0 【分析】根据题意，将分式方程的解x用含k的表达式进行表示，进而令x>0，再因分式方程要有意义则 x≠2，进而计算出k的取值范围即可． 【详解】解： 2(2−x)+1−k=1 4−2 x−k=0 x= 4−k 2 根据题意x>0且x≠2 ∴¿ ∴¿ ∴k 的取值范围是k<4且k ≠0． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相 关计算方法是解决本题的关键． 2．（2023 慈溪市二模）如果方程1-k x -1 -1=2 1- x 的解是正数，那么k的取值范围为 ． 【答】k <4且k ≠3 【分析】先将分式方程的解用关于k 的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：1-k x -1 -1=2 1- x 1-k - (x -1)=-2 x =4-k， ∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件， ∴4-k >0且4-k ≠1， ∴k <4且k ≠3． 故答为：k <4且k ≠3． 【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件． 3．（2023 齐齐哈尔市模拟）若关于x 的方程x+m x−3 + 3m 3−x ＝3 的解为正数，则m 的取值范围是 ． 【答】m＜9 2且m≠3 2 【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x 的方程x+m x−3 + 3m 3−x =3的解为 正数和x 3≠0 ﹣ 可以求得m 的取值范围． 【详解】解：x+m x−3 + 3m 3−x =3 ， 方程两边同乘以x 3 ﹣，得 x+m 3 ﹣m＝3（x 3 ﹣） 去括号，得 x+m 3 ﹣m＝3x 9 ﹣ 移项及合并同类项，得 2x＝﹣2m+9 系数化为1，得 x＝−2m+9 2 ， ∵关于x 的方程x+m x−3 + 3m 3−x =3的解为正数且x 3≠0 ﹣ ， ∴{ −2m+9 2 >0 −2m+9 2 −3≠0 ， 解得，m＜9 2且m≠3 2． 【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x 的方程1 x + 1 x+1= x+a x( x+1)的解为负数，则的取值范围是 ． 【答】a<1且a≠0 【分析】把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0 列不等式并求解即可． 【详解】解：由1 x + 1 x+1= x+a x( x+1)得x=a−1， ∵关于x 的方程1 x + 1 x+1= x+a x( x+1)的解为负数， ∴ ¿，即¿，解得¿，即a<1且a≠0， 故答为：a<1且a≠0． 【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键． 5．（2022·山东日照·日照市新营中学校考