模型45 折叠变换模型（解析版）

翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找 到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要 求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择 适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答．我们运用方程解决时，应认真审题， 设出正确的未知数． 考点一：三角形中的折叠问题 【例1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝3，点D 是B 边上的一动点（不与 点B、重合），过点D 作DE⊥B 交B 于点E，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线B 上的点F 处．当△EF 为直角三角形时，则折叠后所得到的四边形EDF 的周长为 +3 或 +4 ． 模型介绍 例题精讲 解：∵Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝3， ∴B＝ ＝2 ，＝ B＝ ． ∵∠B＝30°，DE⊥B， ∴∠BED＝60°． 由翻折的性质可知：∠BED＝∠FED＝60°， ∴∠EF＝60°． ∵△EF 为直角三角形， ∴∠FE＝90°或∠EF＝90°． ①∠FE＝90°时，点F 在边B 上． ∴∠EF＝30°， ∴E＝2EF． 由翻折的性质可知：BE＝EF， ∴B＝3BE， ∴EB＝ B＝ ，E＝2EB＝ ， ∴ED＝ EB＝ ，BD＝ ED＝1＝DF， ∴F＝ EF＝ EB＝2， ∴四边形EDF 的周长＝E+ED+DF+F＝ + +1+2＝ +3； ②∠EF＝90°时，点F 在B 的延长线上． ∴∠EF＝30°． ∴∠EFD＝∠EF． 又∵ED⊥BF，E⊥F， ∴E＝DE． 设DE＝x，BE＝B﹣E＝B﹣DE＝2 ﹣x． ∵DE∥， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，x＝ ， 则E＝DE＝ ，BD＝ ＝ ＝2＝DF，F＝ E＝2， ∴四边形EDF 的周长＝E+ED+DF+F＝ + +2+2＝ +4． 综上所述，折叠后所得到的四边形EDF 的周长为 +3 或 +4． 故答为 +3 或 +4． 变式训练 【变式1-1】．如图，等边△B 中，D 是B 边上的一点，把△B 折叠，使点落在B 边上的点D 处，折痕与边B、分别交于点M、，若M＝2，＝3，那么边B 长为 ． 解：设BD＝x，D＝y， ∵△B 是等边三角形， ∴B＝B＝＝x+y，∠B＝∠B＝∠B＝60°， 由折叠的性质可知：M 是线段D 的垂直平分线， ∴M＝DM＝2，＝D＝3， ∴BM+MD+BD＝2x+y，D++D＝x+2y， ∵∠MD＝∠B＝∠B＝60°， ∴∠D+∠MDB＝∠BMD+∠MBD＝120°， ∴∠D＝∠BMD， ∵∠B＝∠B＝60°， ∴△BMD∽△D， ∴（BM+MD+BD）：（D++D）＝DM：D＝2：3， ∴（2x+y）：（x+2y）＝2：3， ∴y＝4x， ∴B＝B＝＝5x，MB＝5x 2 ﹣，＝5x 3 ﹣， ∵ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴x＝ ， ∴B＝5x＝ ， 故答为 ． 【变式1-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠＝90°，D 为B 的中点，将△B 折叠，使点 与点D 重合，EF 为折痕，则F：F＝（ ） ．2：1 B．3：2 ．5：3 D．7：5 解：设D＝，F＝x， ∵D 为B 的中点， ∴＝B＝2， ∴DF＝F＝2﹣x， ∴在Rt△DF 中，由勾股定理得，F2+D2＝DF2，即x2+2＝（2﹣x）2， 解得x＝ ， 即F＝ ，F＝2﹣ ＝ ， ∴F：F＝5：3．故选：． 【变式1-3】．如图，在△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于点D，BD＝6，D＝4，求D 的长．小明 同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题： （1）分别以B，所在直线为对称轴，画出△BD 和△D 的对称图形，点D 的对称点分别为 点E，F，延长EB 和F 相交于点G，求证：四边形EGF 是正方形； （2）设D＝x，建立关于x 的方程模型，求出D 的长． （1）证明：由题意可得：△BD≌△BE，△D≌△F． ∴∠DB＝∠EB，∠D＝∠F，又∠B＝45°， ∴∠EF＝90°． 又∵D⊥B ∴∠E＝∠DB＝90°，∠F＝∠D＝90°． ∴四边形EGF 是矩形， 又∵E＝D，F＝D ∴E＝F． ∴矩形EGF 是正方形； （2）解：设D＝x，则E＝EG＝GF＝x． ∵BD＝6，D＝4， ∴BE＝6，F＝4， ∴BG＝x 6 ﹣，G＝x 4 ﹣， 在Rt△BG 中，BG2+G2＝B2， ∴（x 6 ﹣）2+（x 4 ﹣）2＝102． 化简得，x2 10 ﹣ x 24 ﹣ ＝0 解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去） 所以D＝x＝12． 考点二：矩形中的折叠问题 【例2】．如图，平面直角坐标系中，已知矩形B，为原点，点、分别在x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（1，2），连接B，将△B 沿直线B 翻折，点落在点D 的位置，则s∠D 的值 是______ 解：作DF⊥y 轴于F，DE⊥x 轴于E，BD 交于G． ∵在△BG 与△DG 中， ， ∴△BG≌△DG， ∴G＝GB， ∴设G＝GB＝x， 则G＝GD＝2﹣x， 于是在Rt△GB中，（2﹣x）2+12＝x2； 解得x＝ ． GD＝2﹣x＝2﹣ ＝ ； ∵B⊥y 轴，DF⊥y 轴， ∴∠BG＝∠DFG， ∵∠BG＝∠DGF， ∴△BG∽△FDG， ∴ ＝ ， ∴DF＝ ； 又∵D＝1， ∴F＝ ＝ ． s ∴∠D＝ ＝ ． 变式训练 【变式2-1】．如图（1）是一段长方形纸带，∠DEF＝，将纸带沿EF 折叠成图（2），再 沿BF 折叠成图（3），则图（3）中的∠FE 的度数为（ ） ．180° 3 ﹣ B．180° 2 ﹣ ．90°﹣ D．90°+ 解：∵四边形BD 为长方形， ∴D∥B， ∴∠BFE＝∠DEF＝α， 由翻折的性质可知：图（2）中，∠EF＝180°﹣∠BFE＝180°﹣α，∠BF＝∠EF﹣∠BFE＝ 180° 2 ﹣α， ∴图（3）中，∠FE＝∠BF﹣∠BFE＝180° 3 ﹣α，故选：． 【变式2-2】．如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝12，点E 为B 的中点，将△BE 沿E 折叠， 使点B 落在矩形内点F 处，连接F，则F 的长为（ ） ． B．6 ． D． 解：连接BF，交E 于， ∵B＝12，点E 为B 的中点， ∴BE＝6， 又∵B＝8， ∴E＝ ＝ ＝10， 由折叠知，BF⊥E（对应点的连线必垂直于对称轴） ∴B＝ ＝ ， 则BF＝ ， ∵FE＝BE＝E， ∴∠BF＝90°， ∴F＝ ＝ ＝ ， 故选：D． 【变式2-3】．如图，折叠矩形纸片BD，使B 点落在D 上一点E 处，折痕FG 的两端点分 别在B、B 上（含端点），且B＝6，B＝10．则E 的最大值是 6 ，最小值是 2 ． 解：如图，当点F 与点重合时，根据翻折对称性可得 E＝B＝10， 在Rt△DE 中，E2＝D2+ED2， 即102＝（10﹣E）2+62， 解得E＝2， 即x＝2． 如图，当点G 与点重合时，根据翻折对称性可得 E＝B＝6，即x＝6； 所以E 的最大值是6，最小值为2． 故答是：6，2． 考点三：菱形中的折叠问题 【例3】．如图，将菱形纸片BD 折叠，使点恰好落在菱形的对角线交点处，折痕为EF， 若菱形BD 的边长为2m，∠B＝60°，那么EF＝ m． 解：连接、BD，如图所示： 根据题意得：E、F 分别为B、D 的中点， ∴EF 是△BD 的中位线， ∴EF＝ BD， ∵菱形BD 的边长为2m，∠B＝60°， ∴B＝2，B＝ BD，∠B＝30°， ∴B＝B•s30°＝2× ＝ ， ∴EF＝ BD＝B＝ ； 故答为： ． 变式训练 【变式3-1】．如图，在菱形BD 中，∠B＝60°，E 为B 的中点，将△ED 沿DE 翻折得到 △GED，射线DG 交B 于点F，若D＝2，则BF＝ ． 解: DE 和B 的延长线相交于G’点，连接EF，作E⊥DF 于点，如图， ∵四边形BD 为菱形， ∴∠＝180°﹣∠B＝120°，B＝D＝2，D∥B 1 ∴∠＝∠G'， 而E 为B 的中点， ∴E＝BE＝1， ∵△ED 沿DE 翻折得到△GED， 1 ∴∠＝∠2，DG＝D＝2，EG＝E＝1，∠3＝∠＝120°， 4 ∴∠＝60°， 在Rt△EG 中，G＝ EG＝ ，E＝ E＝ ， 在Rt△DE 中，DE＝ ＝ ＝ ， ∵D∥BG'， 1 ∴∠＝∠G'， ∴∠G'＝∠2， ∴FG＝FD， 在△ED 和△BEG'中， ， ∴△ED≌△BEG'， ∴DE＝G'E， ∴FE⊥DG'， ∴∠FED＝90°， ∵∠DE＝∠EDF， Rt ∴ △DEF Rt ∽ △DE， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴DF＝ ， ∴FG＝FD﹣DG＝ ﹣2＝ ， ∴BF＝FG＝ ． 故答为 ． 【变式3-2】．如图，在菱形BD 中，∠B＝60°，D＝6，点E 在边D 上，且DE＝4，F 是边 D 上一动点，将△DEF 沿直线EF 折叠，点D 落在点处，当点在四边形BD 内部（含边 界）时，DF 的长度的取值范围是 0≤ DF ≤2 2 ﹣ ． 解：根据题意可知，点在以点E 为圆心，DE 长为半径的圆上运动，如图所示， ①当点F 和点D 重合时，DF 最短，此时DF＝0； ②当点落在边B 上时，DF 最长，过点作G⊥D 于点G，分别过点E，D 作B 的垂线，交 B 的延长线于点，M， ∴四边形MGD 是矩形， 在菱形BD 中，∠B＝60°，D＝6，点E 在边D 上，且DE＝4， ∴D＝D＝B＝6，E＝2，D∥B，B∥D， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴M＝3，＝1， ∴G＝DM＝3 ，E＝ ， 在Rt△E 中，E＝DE＝4，E＝ ， ∴＝ ， ∴＝ +2， ∴DG＝＝ +2， 设DF＝x，则G＝x，GF＝ +2﹣x， 在Rt△GF 中，由勾股定理可知，G2+GF2＝F2， 即（3 ）2+（ +2﹣x）2＝x2， 解得x＝2 2 ﹣， 0≤ ∴ DF≤2 2 ﹣． 故答为：0≤DF≤2 2 ﹣． 考点四：正方形中的折叠问题 【例4】．如图，正方形BD 的边长是2，点E 是D 边的中点，点F 是边B 上不与点B，重 合的一个动点，把∠沿直线EF 折叠，使点落在点′处．当△D′为等腰三角形时，F 的长为 或 1 ． 解：由题意DE＝E＝E′＝1， ∴D′＜1+1 ∴D′≠D，只要分两种情形讨论即可： ①如图1 中，当D＝′＝2 时，连接E． ∵E＝E，D＝′，DE＝E′， ∴△DE ′ ≌△E， ∴∠DE＝∠′E＝90°， ∵∠＝∠F′E＝90°， ′ ∴∠E+∠F′E＝180°， ∴、′、F 共线，设F＝x，则BF＝2﹣x，F＝2+x， 在Rt△BF 中，22+（2﹣x）2＝（2+x）2， 解得x＝ ． ②如图2 中，当点F 在B 中点时，易证′＝D′，满足条件，此时F＝1． 综上所述，满足条件的F 的长为 或1． 故答为 或1． 变式训练 【变式4-1】．如图，正方形BD 中，B＝6，点E 在边D 上，且D＝3DE，将△DE 沿E 对 折至△FE，延长EF 交边B 于点G，连接G、F，则下列结论：①△BG≌△FG；②BG＝ G；③G∥F；④S△EG＝S△FE，其中正确的是__________ 解：①正确． 理由：∵B＝D＝F，G＝G，∠B＝∠FG＝90°， Rt ∴ △BG Rt ≌ △FG（L）； ②正确． 理由：EF＝DE＝ D＝2，设BG＝FG＝x，则G＝6﹣x． 在直角△EG 中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得x＝3． ∴BG＝3＝6 3 ﹣＝G； ③正确． 理由：∵G＝BG，BG＝GF， ∴G＝GF， ∴△FG 是等腰三角形，∠GF＝∠GF． 又∵Rt△BG Rt ≌ △FG； ∴∠GB＝∠GF，∠GB+∠GF＝2∠GB＝180°﹣∠FG＝∠GF+∠GF＝2∠GF＝2∠GF， ∴∠GB＝∠GF＝∠GF＝∠GF， ∴G∥F； ④正确． 理由：∵S△GE＝ G•E＝ ×3×4＝6， ∵S△FE＝ F•EF＝ ×6×2＝6， ∴S△EG＝S△FE， ∴其中正确的是①②③④． 1．如图，将平行四边形纸片BD 沿对角线折叠，点D 落在点E 处，E 恰好过B 边中点，若 B＝3，B＝6，则∠B 的大小为（ ） ．30° B．45° ．60° D．90° 解：E 与B 相交于F 点，如图， ∵四边形BD 为平行四边形， ∴D∥B， 1 ∴∠＝∠3， ∵平行四边形纸片BD 沿对角线折叠，点D 落在点E 处， 2 ∴∠＝∠3， 1 ∴∠＝∠2， ∴F＝F， ∵F 为B 边中点，B＝6， ∴F＝F＝BF＝ ×6＝3， 而B＝3， ∴△BF 为等边三角形， ∴∠B＝60°． 故选：． 2．如图，在矩形BD 中，B＝4， ，E 为D 边上一点，将△BE 沿BE 折叠，使得落到 矩形内点F 的位置，连接F，若 ，则E＝（ ） ． B． ． D． 解：过点F 作M∥D，交B 于点M，交D 于点， 则M⊥B，M⊥D， 由折叠可得，E＝EF，B＝BF＝ ，∠＝∠BFE＝90°， 在Rt△MF 中，t∠BF＝ ， 设FM＝x，则M＝2x，BM＝4 2 ﹣x， 在Rt△BFM 中，由勾股定理可得， ， 解得x＝1 或x＝ （舍去）， ∴FM＝1，M＝BM＝2，F＝M﹣FM＝B﹣FM＝ ﹣1， ∵∠EF+∠FE＝∠EF+∠BFM＝90°， ∴∠FE＝∠BFM， 又∵∠FE＝∠BMF， ∴△EF∽△FBM， ∴ ， 即 ， 解得EF＝ ． ∴E＝ ． 故选：． 3．如图，矩形纸片BD 中，B＝4，B＝8，现将、重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF， 则图形中重叠部分△EF 的面积为 10 ． 解：设E＝x，由折叠可知，E＝x，BE＝8﹣x， 在Rt△BE 中，B2+BE2＝E2，即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 由折叠可知∠EF＝∠EF， ∵D∥B， ∴∠EF＝∠FE， ∴∠EF＝∠FE，即E＝F＝5， ∴S△EF＝ ×F×B＝ ×5×4＝10． 故答为：10． 4．如图，矩形BD 中，B＝4，D＝6，点E 为B 上一点，将△BE 沿E 折叠得到△EF，点为D 上一点，将△E 沿E 折叠得到△EG，且F 落在线段EG 上，当GF＝G 时，则BE 的长为 2 ． 解：如图，连接， 由折叠可得，BE＝FE，E＝EG，G＝，∠EB＝∠EF，∠E＝∠GE， ∴∠E＝ ∠BE＝90°， Rt ∴ △E 中，E2+E2＝2，① 设BE＝x，则EF＝x，E＝6﹣x＝EG， ∴GF＝6 2 ﹣x＝G＝，D＝4﹣（6 2 ﹣x）＝2x 2 ﹣， ∵∠B＝∠＝∠D＝90°， Rt ∴ △BE 中，E2＝EB2+B2＝x2+42， Rt△E 中，E2＝E2+2＝（6﹣x）2+（6 2 ﹣x）2， Rt△D 中，2＝D2+D2＝（2x 2 ﹣）2+62， 代入①式，可得 x2+42+（6﹣x）2+（6 2 ﹣x）2＝（2x 2 ﹣）2+62， 解得x1＝2，x2＝12（舍去）， ∴BE 的长为2， 故答为：2． 5．将矩形BD 按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG 为折痕，若顶点、、D 都落在点处， 且点B、、G 在同一条直线上，同时点E、、F 在另一条直线上，则 的值为 ． 解：∵四边形BD 是矩形， ∴∠＝90°，B＝D，D＝B， 由折叠的性质得：E＝E＝DE，G＝G＝DG， ∴E，G 分别为D，D 的中点， 设D＝2，D＝2b，则B＝2＝B，DG＝G＝G＝，BG＝3，B＝D＝2b， 在Rt△BG 中，G2+B2＝BG2， 即2+（2b）2＝（3）2， ∴b2＝22， ∴b＝ ， ∴ ＝ ， 即 的值为 ； 故答为： ． 6．如图，在边长为8 的菱形BD 中，∠＝60°，M 是边D 的中点，是B 上一点，将△M 沿M 所在的直线翻折得到△'M，连接'B，则'B 的取值范围 4 4≤' ﹣ B ≤8 ． 解：如图所示，连接BM，BD， ∵M 是边D 的中点，△M 沿M 所在的直线翻折得到△'M， ∴点'的轨迹为以D 为直径的半圆M，'M＝M＝4， ∵∠＝60°，B＝D， ∴△BD 是等边三角形， ∴BM⊥D，∠BM＝30°， ∴BM＝ M＝4 ， ' ∵B+'M≥BM， ' ∴B≥BM ' ﹣M＝4 4 ﹣， 当点与点或点D 重合时，点'与点或点D 重合，此时'B 的最大值为8， ' ∴B 的取值范围为：4 4≤' ﹣ B≤8， 故答为：4 4≤' ﹣ B≤8． 7．如图，将矩形BD（B＜D）沿BD 折叠后，点落在点E 处，且BE 交D 于点F，若B＝ 5，B＝10． （1）求DF 的长； （2）求△DBF 和△DEF 的面积； （3）求△DBF 中F 点到BD 边上的距离． 解：（1）∵将矩形BD（B＜D）沿BD 折叠后，点落在点E 处， ∴D∥B，∠＝∠＝∠E＝90°，D∥B，∠BD＝∠DBE， ∴∠DB＝∠DB， ∴∠DBE＝∠DB， ∴BF＝DF， 设DF＝x，则F＝10﹣x， 在Rt△BF 中，由勾股定理得， x2＝52+（10﹣x）2， 解得x＝ ， ∴DF＝ ； （2）由（1）知，S△DBF＝ ＝ ＝ ， S△BD＝S△BDE＝ ＝25， ∴S△DEF＝25﹣ ＝ ； （3）在Rt△BD 中，由勾股定理得，BD＝5 ， 设F 到BD 的距离为， 则 ＝ ， 解得＝ ， ∴△DBF 中F 点到BD 边上的距离为 ． 8．如图，将矩形BD 沿F 折叠，使点D 落在B 边的点E 处，过点E 作EG∥D 交F 于点G， 连接DG． （1）求证：四边形EFDG 是菱形； （2）求证：EG2＝ F•GF； （3）若G＝6，EG＝2 ，求BE 的长． （1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF＝∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG． ∴GD＝DF． ∴DG＝GE＝DF＝EF． ∴四边形EFDG 为菱形． （2）证明：如图1 所示：连接DE，交F 于点． ∵四边形EFDG 为菱形， ∴GF⊥DE，G＝F＝ GF． ∵∠DF＝∠DF＝90°，∠FD＝∠DF， ∴△DF∽△DF． ∴ ＝ ，即