模型45 折叠变换模型（原卷版）(1)

翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找 到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要 求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择 适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答．我们运用方程解决时，应认真审题， 设出正确的未知数． 考点一：三角形中的折叠问题 【例1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝3，点D 是B 边上的一动点（不与 点B、重合），过点D 作DE⊥B 交B 于点E，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线B 上的点F 处．当△EF 为直角三角形时，则折叠后所得到的四边形EDF 的周长为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，等边△B 中，D 是B 边上的一点，把△B 折叠，使点落在B 边上的点D 模型介绍 例题精讲 处，折痕与边B、分别交于点M、，若M＝2，＝3，那么边B 长为 ． 【变式1-2】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠＝90°，D 为B 的中点，将△B 折叠，使点 与点D 重合，EF 为折痕，则F：F＝（ ） ．2：1 B．3：2 ．5：3 D．7：5 【变式1-3】．如图，在△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于点D，BD＝6，D＝4，求D 的长．小明 同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题： （1）分别以B，所在直线为对称轴，画出△BD 和△D 的对称图形，点D 的对称点分别为 点E，F，延长EB 和F 相交于点G，求证：四边形EGF 是正方形； （2）设D＝x，建立关于x 的方程模型，求出D 的长． 考点二：矩形中的折叠问题 【例2】．如图，平面直角坐标系中，已知矩形B，为原点，点、分别在x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（1，2），连接B，将△B 沿直线B 翻折，点落在点D 的位置，则s∠D 的值 是______ 变式训练 【变式2-1】．如图（1）是一段长方形纸带，∠DEF＝，将纸带沿EF 折叠成图（2），再 沿BF 折叠成图（3），则图（3）中的∠FE 的度数为（ ） ．180° 3 ﹣ B．180° 2 ﹣ ．90°﹣ D．90°+ 【变式2-2】．如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝12，点E 为B 的中点，将△BE 沿E 折叠， 使点B 落在矩形内点F 处，连接F，则F 的长为（ ） ． B．6 ． D． 【变式2-3】．如图，折叠矩形纸片BD，使B 点落在D 上一点E 处，折痕FG 的两端点分 别在B、B 上（含端点），且B＝6，B＝10．则E 的最大值是 ，最小值是 ． 考点三：菱形中的折叠问题 【例3】．如图，将菱形纸片BD 折叠，使点恰好落在菱形的对角线交点处，折痕为EF， 若菱形BD 的边长为2m，∠B＝60°，那么EF＝ m． 变式训练 【变式3-1】．如图，在菱形BD 中，∠B＝60°，E 为B 的中点，将△ED 沿DE 翻折得到 △GED，射线DG 交B 于点F，若D＝2，则BF＝ ． 【变式3-2】．如图，在菱形BD 中，∠B＝60°，D＝6，点E 在边D 上，且DE＝4，F 是边 D 上一动点，将△DEF 沿直线EF 折叠，点D 落在点处，当点在四边形BD 内部（含边 界）时，DF 的长度的取值范围是 ． 考点四：正方形中的折叠问题 【例4】．如图，正方形BD 的边长是2，点E 是D 边的中点，点F 是边B 上不与点B，重 合的一个动点，把∠沿直线EF 折叠，使点落在点′处．当△D′为等腰三角形时，F 的长为 ． 变式训练 【变式4-1】．如图，正方形BD 中，B＝6，点E 在边D 上，且D＝3DE，将△DE 沿E 对 折至△FE，延长EF 交边B 于点G，连接G、F，则下列结论：①△BG≌△FG；②BG＝ G；③G∥F；④S△EG＝S△FE，其中正确的是__________ 1．如图，将平行四边形纸片BD 沿对角线折叠，点D 落在点E 处，E 恰好过B 边中点，若 B＝3，B＝6，则∠B 的大小为（ ） ．30° B．45° ．60° D．90° 2．如图，在矩形BD 中，B＝4， ，E 为D 边上一点，将△BE 沿BE 折叠，使得落到 矩形内点F 的位置，连接F，若 ，则E＝（ ） ． B． ． D． 3．如图，矩形纸片BD 中，B＝4，B＝8，现将、重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF， 则图形中重叠部分△EF 的面积为 ． 4．如图，矩形BD 中，B＝4，D＝6，点E 为B 上一点，将△BE 沿E 折叠得到△EF，点为D 上一点，将△E 沿E 折叠得到△EG，且F 落在线段EG 上，当GF＝G 时，则BE 的长为 ． 5．将矩形BD 按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG 为折痕，若顶点、、D 都落在点处， 且点B、、G 在同一条直线上，同时点E、、F 在另一条直线上，则 的值为 ． 6．如图，在边长为8 的菱形BD 中，∠＝60°，M 是边D 的中点，是B 上一点，将△M 沿M 所在的直线翻折得到△'M，连接'B，则'B 的取值范围 ． 7．如图，将矩形BD（B＜D）沿BD 折叠后，点落在点E 处，且BE 交D 于点F，若B＝ 5，B＝10． （1）求DF 的长； （2）求△DBF 和△DEF 的面积； （3）求△DBF 中F 点到BD 边上的距离． 8．如图，将矩形BD 沿F 折叠，使点D 落在B 边的点E 处，过点E 作EG∥D 交F 于点G， 连接DG． （1）求证：四边形EFDG 是菱形； （2）求证：EG2＝ F•GF； （3）若G＝6，EG＝2 ，求BE 的长． 9．如图1，四边形BD 的对角线，BD 相交于点，B＝D，＝+B，D＝m，B＝，∠BD+∠DB ＝∠B． （1）填空：∠BD 与∠B 的数量关系为 ； （2）求 的值； （3）将△D 沿D 翻折，得到△′D（如图2），连接B′，与D 相交于点P．若D＝ ，求P 的长． 10．如图，将等腰直角三角形纸片B 对折，折痕为D．展平后，再将点B 折叠在边上（不 与、重合），折痕为EF，点B 在上的对应点为M，设D 与EM 交于点P，连接PF．已 知B＝4． （1）若M 为的中点，求F 的长； （2）随着点M 在边上取不同的位置， ①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM 的周长的取值范围． 11．已知在△B 中，＝B＝m，D 是B 边上的一点，将∠B 沿着过点D 的直线折叠，使点B 落 在边的点P 处（不与点，重合），折痕交B 边于点E． （1）特例感知 如图1，若∠＝60°，D 是B 的中点，求证：P＝ ； （2）变式求异 如图2，若∠＝90°，m＝6 ，D＝7，过点D 作D⊥于点，求和P 的长； （3）化归探究 如图3，若m＝10，B＝12，且当D＝时，存在两次不同的折叠，使点B 落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围． 12．[初步尝试] （1）如图①，在三角形纸片B 中，∠B＝90°，将△B 折叠，使点B 与点重合，折痕为 M，则M 与BM 的数量关系为 ； [思考说理] （2）如图②，在三角形纸片B 中，＝B＝6，B＝10，将△B 折叠，使点B 与点重合，折 痕为M，求 的值； [拓展延伸] （3）如图③，在三角形纸片B 中，B＝9，B＝6，∠B＝2∠，将△B 沿过顶点的直线折叠， 使点B 落在边上的点B′处，折痕为M． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点P 为线段B′上的一个动点，将△PM 沿PM 折叠得到△′PM，点的 对应点为点′，′M 与P 交于点F，求 的取值范围． 13．如图，将边长为6 的正三角形纸片B 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕D、 BE（如图①），点为其交点． （1）探求与D 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，分别为BE，B 上的动点． ①当P+PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度； ②如图③，若点Q 在线段B 上，BQ＝1，则Q+P+PD 的最小值＝ ． 14．如图1，将△B 纸片沿中位线E 折叠，使点对称点D 落在B 边上，再将纸片分别沿等腰 △BED 和等腰△D 的底边上的高线EF，G 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形， 类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形， 这样的矩形称为叠合矩形． （1）将▱BD 纸片按图2 的方式折叠成一个叠合矩形EFG，则操作形成的折痕分别是线 段 ， ；S 矩形EFG：S▱BD＝ ． （2）▱BD 纸片还可以按图3 的方式折叠成一个叠合矩形EFG，若EF＝5，E＝12，求 D 的长； （3）如图4，四边形BD 纸片满足D∥B，D＜B，B⊥B，B＝8，D＝10，小明把该纸片 折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出D、B 的长． 15．如图，矩形B 的边长＝8，顶点、分别在x、y 轴的正半轴上，点D 为对角线B 的中点， 反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E、F，且t∠B＝ ． （1）求边B 的长； （2）求反比例函数的解析式及F 点坐标； （3）若反比例函数的图象与矩形的边B 交于点F，将矩形折叠，使点与点F 重合，折 叠分别与x、y 轴正半轴交于点、G，求线段G 的长． 16．已知一个矩形纸片B，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点（11，0），点B（0， 6），点P 为B 边上的动点（点P 不与点B、重合），经过点、P 折叠该纸片，得点B′和 折痕P．设BP＝t． （Ⅰ）如图①，当∠BP＝30°时，求点P 的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点落在直线PB′上，得点′和折痕PQ，若Q ＝m，试用含有t 的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点′恰好落在边上时，求点P 的坐标（直接写出结果即 可）． 17．将一个直角三角形纸片B 放置在平面直角坐标系中，点 ，点B（0，1）， 点（0，0）．P 是边B 上的一点（点P 不与点，B 重合），沿着P 折叠该纸片，得点的 对应点'． （1）如图①，当点'在第一象限，且满足'B⊥B 时，求点'的坐标； （2）如图②，当P 为B 中点时，求'B 的长； （3）当∠BP'＝30°时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）． 18．将一个直角三角形纸片B 放置在平面直角坐标系中，点（0，0），点（2，0），点B 在第一象限，∠B＝90°，∠B＝30°，点P 在边B 上（点P 不与点，B 重合）． （Ⅰ）如图①，当P＝1 时，求点P 的坐标； （Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x 轴的正半轴相交于点Q，且Q ＝P，点的对应点为'，设P＝t． ①如图②，若折叠后△'PQ 与△B 重叠部分为四边形，'P，'Q 分别与边B 相交于点，D， 试用含有t 的式子表示'D 的长，并直接写出t 的取值范围； ②若折叠后△'PQ 与△B 重叠部分的面积为S，当1≤t≤3 时，求S 的取值范围（直接写出 结果即可）．