吉林省长春外国语学校2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题

2 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 长春外国语学校2022—2023 学年第一学期高二年级期中测试 数学试卷 出题人：尹璐 审题人：于海君 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.直线 的倾斜角是 A．30° B．45° C．60° D．75° 2.已知 ， ，则 等于 A.（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23 3.直线 是圆 的一条对称轴，则 = A. -1 B． 1 C. - 3 D. 3 4.已知椭圆＋y2＝1 的一个焦点是 ，那么实数 ＝ A． B． C．3 D．5 5.以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程为 A． B． C． D． 6.如图，在正方体 中， ， ， ， 若 为 的中点， 在 上，且 ，则 等于 A． B． C． D． 7.若直线 与曲线 恰有一个公共点，则 的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知直线 恒过点 ，过点 作直线与圆 ： 相交于 ， 两点，则 的最小值为 A． B．2 C．4 D． 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分.） 9.若直线 在 轴和 轴上的截距相等,则直线的斜率为 A．-1 B． 1 C. - 2 D. 2 10.已知点 ，点 在直线 上，且直线 与直线 垂直， 则 A. 直线 的斜率是2 B. 直线 的方程是 C. 点 的坐标是 D. 11.已知圆 与圆 ，则下列说法 3 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 正确的是 A．若圆 与X 轴相切，则 B．若 ，则圆 与圆 相离C．若圆 与圆 有公共弦，则公共弦所在的直线方程 为 D．直线 与圆 始终有两个交点 12.设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 两点，现给出下 述结论，其中所有正确结论的是 A． B． 的周长的取值范围是（6，12） C．当 时， 的面积为 D．当 时， 为直角三角形． 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．直线过 且与圆 交于 两点，当弦 最长时，直线的方程 为________. 14．在直三棱柱 中， ， ， ，则直线 和直线 所成的角为________. 15．求过两条直线 的交点，且与 平行的直线方程 ________. 16．已知点 ， ，直线 上存在点 ，满足 ，则 实数 的取值是________. 四、解答题（本题共6 小题，满分70 分，要求写出必要的解题过程）. 17. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 轴上，且经过两个点 和 ； (2)焦点在 轴上，短轴长为 ，离心率 . 18. 已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上． （1）求圆心为 的圆的一般方程； （2）已知 ， 为圆 上的点，求 的最大值和最小值． 19. 将一张纸沿直线对折一次后，点 与点 重叠，点 与点 重叠. (1)求直线的方程； (2)求 的值. 20.已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，且 ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点. (1)证明： ； (2)当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？ 4 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 21. 已知点 关于直线 的对称点为 ，以 为圆心的圆与直线 相交于 两点，且 ． (1)求圆 的方程； (2)过坐标原点 任作一直线交圆 于 两点，求证： 为定值． 22.设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 3 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 A，B 两点， |. (1)若 ， 的周长为16，求 ； (2)若 ，求椭圆 的离心率． 参考答案 一、单项选择题 1. B 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.A 8.A 二、多项选择题 9. AC 10.ABC 11.BD 12.ABD 三、填空题 13. 14. 15. 16. 四、解答题 17. （1） （2） 18. （1） （2） 19. （1）因为 ， ，所以线段中点坐标为 ；又因为 ，所以 由对折可得 ，所以直线的方程为 即 . （2）由（1）得设直线 的方程为 ， 因为 在直线 上，代入解得 ，即直线 的方程为 ， 设直线 与直线的交点坐标为 ，由 解得 , 所以 ，解得 ，所以 . 20. （1）略 （2）当 时，正弦值最小值是 21.（1） （2）5 22..解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝ 2a＝8. 故|AF2|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则k＞0 且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 4 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 在△ABF2 中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2| ·cos∠AF2B， 数学试题 第511 页 （共612 页） 数学试题 第512 页 （共612 页） 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)． 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a， 所以椭圆E 的离心率e＝＝