吉林省长春外国语学校2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题

长春外国语学校2021-2022 学年第一学期第二次月考高二年级 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4 页。考试结束后，将答题卡交 回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知直线的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ）. A． B． C． D． 2.已知向量 ，若向量 与向量 平行，则实数m=（ ）. A．2 B． C．10 D． 3.抛物线y2＝4x 的一条焦点弦为AB，若|AB|＝8，则AB 的中点到直线x＝﹣2 的距离是（ ）. A．4 B．5 C．6 D．7 4．双曲线 的渐近线方程是（ ）. A． B． C． D． 5. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆 有相同的焦距，且一条渐近 线方程为x﹣2y＝0，则双曲线C 的方程可能为（ ）. A． B． C． D． 6.已知圆 ： 与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切， 则双曲线 的离心率为（ ）. A． 或4 B． 或2 C． D．2 7.已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点且线段 AB 的中点为M（3，2），则直线l 的斜率为（ ）. A． B． C． D．1 8.已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）. A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 9.已知命题p：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题 成立的充分不必要条 件是（ ）. A． B． C． D． 10.关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）. A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 、 、 、 四点共面 C．已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底 D．若 ，则 是锐角 11.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，椭圆 的上顶点 为 ，且 ,曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，若 ，则（ ）. A． B． C． D． 12.设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上任意一点，过 作 平分 线的垂线，垂足为 ，则点 到直线 的距离的最大值是（ ）. A．4 B．5 C．6 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分) 13. 抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（4，4），则点P 到抛物线准线的距离为 __________． 14. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率是__________． 15.过圆 内的点 作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则 直线的方程是___________． 16．椭圆的对称轴是坐标轴，中心是坐标原点O，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长 轴长为6，且 ，则椭圆的标准方程为______________________________. 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分) 17.（10 分）已知椭圆C 的一个焦点F2（1，0），且短轴长为 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若点P 在C 上，且∠PF1F2＝90°，求△PF1F2的面积． 18．(12 分）如图，在棱长为的正方体 中，点 是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 到平面 的距离； 19. (12 分) 己知过点 的抛物线方程为 ，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 ， 两点，且 . （1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； （2）求 所在的直线方程. 20. (12 分) 已知动圆过定点 ，且在 轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为 ，过 点 的直线与轨迹 只有一个公共点，求此直线方程. 21. (12 分) 已知抛物线y2＝x 与直线y＝k（x﹣1）相交于A、B 两点，O 为坐标原点． （1）求证：OA⊥OB； （2）当 时，求k 的值． 22．(12 分) 已知点A(－1,0)，点P 是⊙B：(x－1)2＋y2＝16 上的动点．线段AP 的垂直平分线与 BP 交于点Q． （1）设点Q 的轨迹为曲线C，求C 的方程； （2）过x 轴上一动点R 作两条关于x 轴对称的直线与 ，设M，N 分别是， 与曲线C 的 交点且M，N 不关于x 轴对称，MN 与x 轴交于点S， 是否为定值？若是定值，请求出 定值，若不是定值，请说明理由． 长春外国语学校2020-2021 学年第一学期期末考试高二年级 数学试题答案 一、选择题 1. C2. A 3. B 4. C 5. A 6. B 7. A 8. B 9. B 10.D 11. B 12.A 二、填空题 13. 5 14. 15. 16. 三、解答题 17.（1） ；（2） ． 18. 19．解：（1） ,焦点 ，准线 （2） 20.解：如图设圆心 ， ，圆 与 轴交于 、 两点，过点 作 轴，垂足 为 ，则 ， ， ，化为 ； 即动圆圆心的轨迹 的方程为 ， 显然 过点 且与抛物线 只有一个交点，满足条件； 设过点 的直线方程为 ，联立方程得 ，消去 得 ，所 以 ，解得 ，所以直线方程为 或 ，即 或 ， 综上可得直线方程为： 或 或 ； 21. （1） （2） 22．（1） ∵MQ 为AP 垂直平分线， ，又点P 是⊙B：(x－1)2＋y2＝16 上的动点． ∴ ， ，则点Q 的轨迹为以A、B 为焦点的椭圆， 设椭圆方程 ，∴ ∴ ， ∴曲线C 的方程为 . （2） 设R(m,0)，设直线的方程为 ，设 ，则 ， ∴MN： ，令y＝0 得 ， 又N 关于x 轴对称点 在上， ， ， 由 得 ， ， ∴ ， 又 ， ， , 即 为定值 `