福建省厦门外国语学校2021-2022学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题

厦门外国语学校2021-2022 学年高一上学期（10 月）第一次 月考 数学试卷 考试时间：2 小时，满分150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单选题(共55 分) 1．(本题5 分)设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 =（ ） A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8} 2．(本题5 分)已知函数 且 的图像恒过定点 ，点 在幂函数 的图像上，则 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．(本题5 分)若函数 的定义域为 ，则 为偶函数的一个充要条件是 （ ） A．对任意 ，都有 成立； B．函数 的图像关于原点成中心对称； C．存在某个 ，使得 ； D．对任意给定的 ，都有 . 4．(本题5 分)下列区间中，包含函数 的零点的是（ ） A． B． C． D． 5．(本题5 分)定义在R 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周 期.若将方程 在闭区间 上的根的个数记为n，则n 可能为（ ） A．0 B．1 C．3 D．5 6．(本题5 分)已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c 的大小关系为（ ） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 7．(本题5 分)设函数 在 上可导，其导函数为 ，若函数 在 处取 得极大值，则函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．(本题5 分)已知函数 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 9．(本题5 分)方程 的两根一个根大于2，另一个根小于2，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．(本题5 分)若函数 的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga 的图象是 （ ） A． B． C． D． 11．(本题5 分)设函数 满足 ，且对任意 、 都有 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、多选题(共5 分) 12．(本题5 分)已知 ，若函数 有两个零点 ， 有 两个零点 ，则下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 第II 卷（非选择题） 三、填空题(共20 分) 13．(本题5 分)已知函数 ，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f(x)|≥1}， 若集合A∩B 只含有一个元素，则实数t 的取值范围是____． 14．(本题5 分)已知 则 的值为__________． 15．(本题5 分)已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ， 则 的值为___________. 16．(本题5 分)设函数 ， ，若当 时， 都有意 义，则 的取值范围是________． 四、解答题(共70 分) 17．(本题10 分)已知全集 ，集合 ，集合 . （1）求 ； （2）若  ，求实数 的取值范围. 18．(本题10 分)已知函数 . （1）在给定直角坐标系内直接画出f(x)的草图(不用列表描点)，并由图象写出函数f(x) 的单调减区间； （2）当m 为何值时f(x)-m=0 有两个不同的零点. 19．(本题12 分)已知函数f（x） lg ．判断并证明函数f（x）的单调性； 20．(本题12 分)如图，O，P，Q 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5 千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为 8 千米/小时.乙到达Q 地后原地等待.设 时乙到达P 地. 时乙到达Q 地. （1）求与 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米.当 时，求 的表达式，并 判断 在 上得最大值是否超过3 千米？说明理由. 21．(本题12 分)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众 的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20 万元，其中甲大棚 种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜 的年收入 Q 与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4 ，Q＝ a＋120．设甲大棚的投入为x(单位： 万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)． （1）求f(50)的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？ 22．(本题14 分)已知函数 的定义域为集合 ，函数 的值域为集合 . （1）求 ； （2） 若集合 ，且 ，求实数 的取值范围. 外国语学校第一次月考参考答案及解析 1．C 【分析】 根据集合交集的运算可直接求出结果. 【详解】 因为A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}， 所以 . 故选：C 2．B 【分析】 先求得函数 且 的定点，再根据点 在幂函数的图象上， 求得幂函数的解析式即可. 【详解】 令 ，得 ， 所以函数 且 的图像恒过定点 ， 设幂函数为 ， 因为点 在幂函数 的图象上， 所以 ，解得 ， 所以 ， 故选：B 3．D 【分析】 利用偶函数的定义进行判断即可 【详解】 对于A，对任意 ，都有 成立，可得 为偶函数且 为奇函数，而当 为偶函数时，不一定有对任意 ， ，所以A 错误， 对于B，当函数 的图像关于原点成中心对称，可知 ，函数 为奇 函数，所以B 错误， 对于CD，由偶函数的定义可知，对于任意 ，都有 ，即 ， 所以当 为偶函数时，任意 ， ，反之，当任意 ， ，则 为偶函数，所以C 错误，D 正确， 故选：D 4．C 【分析】 利用零点存在性定理，即可求解. 【详解】 解: 函数 在 上单调递减，且 ， 的零点在 内. 故选：C 5．D 【分析】 利用 是奇函数，又是周期函数，计算出方程 在闭区间 上必有的几个根 即可作答. 【详解】 定义在R 上的函数 是奇函数，则 ，又 是 的一个正周期，则 ， 又 ，于是得 ， 因此， 都是方程 在闭区间 上的根， 所以n 可能为5. 故选：D 6．A 【分析】 利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】 解：∵log0.53＜log0.51＝0，∴a＜0， 2 ∵ 0.3＞20＝1，∴b＞1， 0 ∵＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1， ∴a＜c＜b， 故选：A． 7．B 【分析】 根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案. 【详解】 由函数 在 上可导，其导函数为 ，若函数 在 处取得极大值， 所以当 时， ； 时， ； 时， ； 所以当 时， ，当 时， ， 当 或 时， ，当 时， ， 可得选项B 符合题意. 故选：B． 8．D 【分析】 分别讨论 和 时，利用对数函数的单调性以及解分式不等式，即可求解. 【详解】 当 时，不等式 即 ，可得 ，解得： ； 当 时，不等式 即 ，即 ，所以 ， 解得： 或 （舍），所以 ， 综上所述：不等式 的解集为 ， 故选：D. 9．A 【分析】 令 ，由题意得 ，从而即可解得 的取值范围． 【详解】 解：令 ， 因为方程 的两根一个根大于2，另一个根小于2， 所以 ， 即 ，解得 ， 所以 的取值范围是 ， 故选：A． 10．D 【分析】 根据函数 的图象经过点(4，2)可求出 的值，把 的值代入函数 的解析式， 从而根据函数 的定义域及单调性排除选项. 【详解】 由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝ . 所以 ， 因为函数 的定义域为 ，且函数 在定义域内单调递减，所以排除选项A， B，C. 故选：D. 11．A 【分析】 令 得出 ，再令 可得出 ，即可求出 的值. 【详解】 对任意 、 都有 ，且 ， 令 ，得 ， 令 ，可得 ， ， 因此， . 故选：A. 【点睛】 本题考查利用赋值法求抽象函数值，解题的关键就是利用赋值法求出函数 的解析 式，考查运算求解能力，属于中等题. 12．AB 【分析】 由已知分析得选项A 正确，利用基本不等式证明选项B 正确；利用不等式性质得到选项C 错误，利用作差法得到选出D 错误. 【详解】 因为函数 有两个零点 ， 所以 ，所以 ， 令 =0，所 有两个零点 ， 所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以选项A 正确； 因为 ， 所以 因为 ， 所以 ，所以选项B 正确； 因为 ，所以选项C 错误； ， 所以 ，所以选项D 错误. 故选：AB 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键在于证明 . 13．0＜t＜1 【分析】 首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元 二次不等式，求出不等式的解集，进一步求出集合B 的范围，根据两个集合只有一个公共 元素，得到t 的值． 【详解】 要解|f(x)|≥1，需要分类来看， 当x≥0 时，|2x2 4 ﹣x+1|≥1 2 ∴x2 4 ﹣x+1≥1 或2x2 4 ﹣x+1≤-1 ∴x≥2 或x≤0 或x＝1，又x≥0 ∴x≥2 或x＝1 或x＝0． 当x＜0 时，| 2 ﹣x2 4 ﹣x+1|≥1 2 ∴﹣x2 4 ﹣x+1≥1 或﹣2x2 4 ﹣x+1≤ 1 ﹣ 2≤ ∴﹣ x≤0 或 或 ，又x＜0 2≤ ∴﹣ x＜0 或 综上可知B＝{x|-2≤x≤0 或 或x≥2 或x＝1} ∵集合A∩B 只含有一个元素， ∴t＞0 且t+1＜2 0 ∴＜t＜1 故答案为：0＜t＜1 14． 【分析】 根据指数的幂运算，先求出 ，再由立方和公式，将所求式子因式分解，进而可得出 结果. 【详解】 因为 所以 ，∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 15． 【分析】 利用奇函数求 及化简 ，再利用分段函数代入即可计算得解. 【详解】 因为 是定义在 上的奇函数，则 ， 又 ， 所以 . 故答案为：6 16． 【分析】 ，则原题等价于 在 上恒成立， 分离 ，计算 的最大值可求出 的范围. 【详解】 解： ， 则原题等价于 在 上恒成立， 变形为 ，对任意 成立， 即 ， 令 ， ，则有 ，在 上单调递减； 所以 . 故答案为： ． 【点睛】 本题考查与二次函数相关的复合函数问题以及恒成立问题的解法，属于中档题. 方法点睛：（1）恒成立有解问题，首选变量分离； （2）求最值时要检验端点值是否成立. 17．（1） ;（2） . 【分析】 （1）解分式不等式求得集合 . （2）根据  列不等式，由此求得 的取值范围. 【详解】 （1） ， 所以 . （2）由于  ，所以 ，即 的取值范围是 . 18．(1)图象答案见解析，单调减区间是 ；(2) . 【分析】 (1)根据给定分段函数，分段画出函数的图象，写出单调区间即可； (2)结合函数的图象，判断函数的最值，然后求解m 的范围即可. 【详解】 (1)函数 的图象如图： 函数f(x)在 上是减函数，在 是增函数， 所以函数f(x)的单调减区间是 ； (2)由(1)知， 在 的值域是 ， 在 的值域是 ， x=3 时，函数取得最小值-2，由函数f(x)的图象可得：f(x)-m=0 有两个不同的零点时， m>-2， 所以当m∈ 时，f(x)-m=0 有两个不同的零点. 19．f（x）在（0，4）上单调递减，证明见解析 【分析】 可得出f（x）的定义域为（0，4），由复合函数单调性和函数加减的单调性可判断f（x） 在（0，4）上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的x1，x2∈（0，4），并且x1＜ x2，然后作差，通分，得出f（x1）﹣f（x2） ，然后说明f（x1）＞f （x2）即可； 【详解】 由题意， ，解得 故f（x）的定义域为（0，4） 令 ， ，由于 在（0，4）单调递减， 在 单调 递增，因此 在（0，4）单调递减，又 在（0，4）单调递减，故f（x） 在（0，4）上单调递减，证明如下： 设0＜x1＜x2＜4，则： ， 0 ∵＜x1＜x2＜4， ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0， ， ∴ ， ∴f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，4）上单调递减 20．（1） ， 千米；（2） ，没有超过，理由见 解析. 【分析】 （1）根据题意，易得 ，假设此时甲运动到点R，再根据余弦定理求解即可； （2）根据题意，分当 时，乙在 上的N 点，设甲在M 点，进而根据余弦定理得 ，当 时， ，进而根据函数单调性求最值即可. 【详解】 解：（1）根据题意， 时，乙到达 地，由于速度为8 千米/小时， 千米， 所以 ， 设此时甲运动到点 ，则 千米，如图 所以 千米. （2）当 时，乙在 上的N 点，设甲在M 点，如图 所以 ， ， 所以 ， 当 时，乙在Q 点不动，设此时甲在M 点， 所以 . 所以 . 所以当 时， ， 当 时， 所以当 ， 的最大值为 故 的最大值没有超过了3 千米. 21．（1）277.5；（2）投入甲大棚128 万元，乙大棚72 万元时，总收入最大． 【分析】 （1）由 计算可得； （2）由已知列出函数式 ，注意定义域，然后换元 ，化为二 次函数，由二次函数知识得最大值． 【详解】 （1）若投入甲大棚50 万元，则投入乙大棚150 万元， 所以f(50)＝80＋4 ＋ ×150＋120＝277.5． （2）由题知， f(x)＝80＋4 ＋ (200－x)＋120 ＝－ x＋4 ＋250， 依题意得 解得20≤x≤180， 故f(x)＝－ x＋4 ＋250(20≤x≤180)． 令t＝ ，则t2＝x，t [2 ∈ ，6 ]， y＝－ t2＋4 t＋250＝－ (t－8 )2＋282， 当t＝8 ，即x＝128 时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128 万元，乙大棚72 万元时， 总收入最大，且最大收入为282 万元． 22．（1） ；（2） . 【分析】 （1）求函数的定义域求得集合 ，求函数的值域求得集合 ，由此求得 . （2）对 进行分类讨论，结合 求得 的取值范围. 【详解】 （1） ，得 ，解得 ， . 对于函数 ，该函数为增函数， 因为 ，则 ， 即 ， ， 因此， ； （2） ， . 当 时，即当 时， ，满足条件； 当 时，即 时，要使 ，则 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围为 .