吉林省长春外国语学校2021-2022学年高一下学期阶段测试（第一次月考）数学试题

长春外国语学校2021-2022 学年第二学期第一次月考高一年级 数学试卷 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. sin 72 cos42 cos108 cos48       （） A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 2 2. 在ABC  中， 60 , 6, 5 B AB BC      ，则AB BC   � （） A. 30 B. 30  C. 15  D. 15 3. 已知平面直角坐标系中两个点坐标 (2,5) , (4,9) M N ，点P 是 , M N 中点，则MP  � （） A. 3 B. 5 C. 7 D. 3 4. 一只鹰正以与水平方向成30 角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰 在地面上影子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（） A. 50 m / s 3 B. 50 3 m / s 3 C. 100 3 m / s 3 D. 100 m / s 3 5. 已知 tan 3 4           ，则cos 2（） A. 4 5  B. 0 C. 4 5 D. 3 5 6. 如图，在△ABC 中， 1 3 AN NC  � ，P 是BN 上的一点，若 1 1 2 5 5 AP m BC AB          � ，则实数 m 的值为（） A. 1 10 B. 3 10 C. 1 D. 3 7. 在△ABC 中，O 是三角形内一点，如果满足 AB AC AO AB AC            � � � ， 0  ，则点O 的 轨迹 一定经过△ABC 的（） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 8. 如图是第24 届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中 正方形ABCD 的边长为2， ADH    ，则小正方形EFGH 的面积为（） A. 1 sin 2  B. 1 cos2  C. 4 4cos 2  D. 4 4sin 2  二、多选题：本题共2 小题，每小题5 分． 9. 下列说法正确的是（） A. 已知平面上的任意两个向量a  ，b  ，不等式a b a   + 成立 B. 若 , , , A B C D 是平面上不共线的四点，则“ AB DC  � ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要 条件 C. 若非零向量a  ，b  满足a b a b     ，则a  ，b  夹角为2  D. 已知平面向量 6 a   ，e  是单位向量，e  与a  夹角为120，则向量a  在向量e  上的投影向量为 3e  10. 在ABC  中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法错误的是（） A. 若 : : 1: 2:3 A B C  ，则 : : 1: 2:3 a b c  B. 若sin sin A B  ，则A B  C. 若 2 2 2 a b c   ，则ABC  为锐角三角形 D. 若sin 2 sin 2 sin 2 A B C   ，则ABC  为等边三角形 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分． 11. 在ABC  中， , , A B C 所对的边分别为, , a b c ，若 3, 3 2, 45 a b B    ，则角C _______ _． 12. tan15 tan 45 3 tan15 tan 45      =__________. 13. 已知平面上两个不共线向量 1 2 , e e � ，且AB  u u u r 1 2 e e   � ，BC  � 1 2 2 3 e e  � ，CD � ＝ 1 2 6 e e  � ， 若A，B，D 三点共线，则实数的值为________． 14. 在ABC  中， 45 A  o ， 3 AC ，AC 边上的高 1 BM ，则cosC =________． 四、解答题：本题共5 小题，每小题10 分． 15. 已知平面向量 ( 1,2) a   ， (1, 3) b    ，k R （1）若为2a b   与a b   的夹角，求的值； （2）若3a b   与a kb   垂直，求实数k 的值． 16. 求值 （1）已知 1 sin sin 5     ， 2 cos cos 5     ，求cos( )    的值； （2）已知 1 tan 2  ， 1 tan( ) 3     ，求tan 的值． 17. 在ABC  中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 2 2 2 a b c ab    （1）求角C ； （2）若 6 , 2 3 a b c    ，求ABC  的面积S ． 18. 如图，已知O 是平面直角坐标系的原点， 120 OAB ABC    ， 2 4 OA BC AB    � ． （1）求AB � 坐标； （2）若四边形ABCD 为平行四边形，求点D 坐标． 19. 已知平面向量 (sin ,cos ) m x x  � ， 3 ( cos ,cos ) n x x   ，函数 ( ) ( ) x m n m f    � （1）求函数  f x 的 解析式，并求函数的最小正周期； （2）当 0, 2 x       时，求函数的最大值，并求出取最大值时的x 的值． 【1 题答案】 【答案】B 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】B 【4 题答案】 【答案】C 【5 题答案】 【答案】D 【6 题答案】 【答案】A 【7 题答案】 【答案】A 【8 题答案】 【答案】D 【9 题答案】 【答案】BC 【10 题答案】 【答案】AC 【11 题答案】 【答案】105## 7 12 【12 题答案】 【答案】 3 【13 题答案】 【答案】-1 【答案】 2 5 5 ## 2 5 5 【15 题答案】 【答案】（1） 3 4 （2） 22 31 【小问1 详解】 由    2 2 1,4 3 1,1 a b       ，   0, 1 a b     得          2 2 2 2 1 0 1 1 2 cos 2 2 1 1 0 1 a b a b a b a b                 又   0,    ，所以 3 4   ； 【小问2 详解】 由   3 4,9 a b    ，   1 ,2 3 a kb k k     又3a b   与a kb   垂直，所以     4 1 9 2 3 0 k k     ，解得 22 31 k  ． 【16 题答案】 【答案】（1） 9 10  （2）1 【小问1 详解】   2 2 2 1 sin sin sin 25 2sin sin sin              2 2 2 4 cos cos cos 25 2cos cos cos            ，两式相加得， 2 2 2 2 1 sin cos 5 2sin sin sin + 2cos cos cos              ， 又 2 2 sin cos 1    ， 2 2 sin cos 1    ， 所以   1 5 2 2 cos cos sin sin        ，所以   1 5 2 2cos      ， 即   9 10 cos     . 【小问2 详解】       1 1 tan tan 3 2 tan tan 1 1 1 1 tan tan 1 3 2                            . 【17 题答案】 【答案】（1） π 3 （2）2 3 【小问1 详解】 解：因为 2 2 2 a b c ab    ， 所以 2 2 2 1 cos 2 2 2 a b c ab C ab ab      ， 因为   0, C   ， 所以 3 C   . 【小问2 详解】 解：因为 6 , 2 3 a b c    ，所以 2 2 2 36 a b ab    ， 因为 2 2 2 a b c ab    ， 所以36 2 12 ab ab    ，解得 8 ab  ， 所以ABC  的面积 1 1 sin 8 sin 2 3 2 2 3 S ab C     . 【18~题答案】 【答案】（1）  1, 3 （2）  2,2 3 【小问1 详解】 解：过点B 作BE 垂直x 轴于点E ，如下图所示： 因为 120 OAB    ，所以 60 EAB    ， 又 2 AB  � ，所以在Rt ABE △ 中， 1, 3 AE BE   ， 又 4 OA  � ，所以    4,0 , 5, 3 A B ， 所以   1, 3 AB  � 【小问2 详解】 解：过点C 作CF 垂直x 轴于点F ，过点B 作BM 垂直CF 轴于点M ，过点A 作AN 垂直 BM 轴于点N ，如下图所示： 在Rt CMB  中， 4 BC  � ， 60 CBM   ，所以 2, 2 3 BM CM   ， 在Rt ANB V 中， 2 AB  � ， 60 ABN   ， 所以 1, 3 BN AN   ，即 1, 3 MN AF MF    所以 3 3, 3 CF OF  ，即  3,3 3 C ， 设点   , D x y ， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC  � ， 又     1, 3 , 3 ,3 3 AB DC x y     � 所以 3 1 3 3 3 x y          ，解得 2 2 3 x y        ，所以点 D 坐标为  2,2 3 . 【19 题答案】 【答案】（1） 1 ( ) sin 2 6 2 f x x           ，最小正周期为 （2）当 6 x   时，函数最大值为 1 2 .