知识必备06 三角形（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 知识必备06 三角形（公式、定理、结论图表） 考点一、三角形的边角关系 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边的之差小于第三边 三角形的内角和为180°． 典例1:如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是（ ） ．3 B．4 ．7 D．10 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10， 所以符合条件的整数为7， 故选：． 【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题， 中考常考题型． 典例2：下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△B，求证：∠+∠B+∠＝180°． 方法一 证明：如图，过点作DE∥B． 方法二 证明：如图，过点作D∥B． 【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BD，∠＝∠E，再由平角的定义可得∠BD+∠B+∠E＝ 180°，从而可求解； 方法二：由平行线的性质得：∠＝∠D，∠B+∠BD＝180°，从而可求解． 【解答】证明：方法一：∵DE∥B， ∴∠B＝∠BD，∠＝∠E， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∵∠BD+∠B+∠E＝180°， ∴∠B+∠B+∠＝180°； 方法二：∵D∥B， ∴∠＝∠D，∠B+∠BD＝180°， ∴∠B+∠B+∠＝180°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 考点二、等腰三角形 1 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2 性质： (1)具有三角形的一切性质 (2)两底角相等(等边对等角) (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60° 3 判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形 典例3：定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△B 是“倍长三角形”，底边B 的长为3，则腰B 的长为 6 ． 【分析】由等腰△B 是“倍长三角形”，可知B＝2B 或B＝2B，若B＝2B＝6，可得B 的长为6；若B＝3 ＝2B，因15+15＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答． 【解答】解：∵等腰△B 是“倍长三角形”， ∴B＝2B 或B＝2B， 若B＝2B＝6，则△B 三边分别是6，6，3，符合题意， ∴腰B 的长为6； 若B＝3＝2B，则B＝15，△B 三边分别是15，15，3， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 15+15 ∵ ＝3， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； 综上所述，腰B 的长是6， 故答为：6． 【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边 的和大于第三边． 典例4：如图，BD 是△B 的角平分线，DE∥B，交B 于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB． （2）当B＝时，请判断D 与ED 的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得∠DE＝∠ED，则D＝E，从而有D＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知 BE＝DE，等量代换即可． 【解答】（1）证明：∵BD 是△B 的角平分线， ∴∠BD＝∠EBD， ∵DE∥B， ∴∠BD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB． （2）解：D＝ED，理由如下： ∵B＝， ∴∠＝∠B， ∵DE∥B， ∴∠DE＝∠，∠ED＝∠B， ∴∠DE＝∠ED， ∴D＝E， ∴D＝BE， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 由（1）得，∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴D＝ED． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握 平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 典例5：如图，在边长为6 的等边△B 中，D、E 分别为边B、上的点，D 与BE 相交于点P，若BD＝E＝2， 则△BP 的周长为 ． 【分析】根据SS 证△BD≌△BE，得出∠PB＝120°，在B 上取一点F 使F＝E＝2，则BF＝B﹣F＝4，证 △PB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则P＝2x，作B⊥D 延长线于，利用勾股定理列方程求解即可得 出BP 和P 的长． 【解答】解：∵△B 是等边三角形， ∴B＝B，∠BD＝∠＝60°， 在△BD 和△BE 中， ∴△BD≌△BE（SS）， ∴∠BD＝∠BE， ∴∠PE＝∠BP+∠BD＝∠BP+∠BE＝∠BD＝60°， ∴∠PB＝120°， 在B 上取一点F 使F＝E＝2，则BF＝B﹣F＝4， ∴∠＝60°， ∴△EF 是等边三角形， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴∠BFE＝120°， 即∠PB＝∠BFE， ∴△PB∽△BFE， ∴ ＝ ＝2， 设BP＝x，则P＝2x， 作B⊥D 延长线于， ∵∠BPD＝∠PE＝60°， ∴∠PB＝30°， ∴P＝ ，B＝ ， ∴＝P+P＝2x+ ＝ x， 在Rt△B 中，2+B2＝B2， 即（ x）2+（ x）2＝62， 解得x＝ 或﹣ （舍去）， ∴P＝ ，BP＝ ， ∴△BP 的周长为B+P+BP＝6+ + ＝6+ ＝ ， 故答为： ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形 等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 考点三、直角三角形 1 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2 性质： (1)直角三角形中两锐角互余 (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半 (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，b，满足2+b2=2，那么这个三角形是直角三角形 (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 3．判定： (1)有两内角互余的三角形是直角三角形 (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形 (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边 典例6:如图，把一块三角板B 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠＝30°，∥EF，则∠1＝（ ） ．30° B．45° ．60° D．75° 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠BF 的度数，再根据∠B＝90°，可以得到∠1 的度数． 【解答】解：∵∥EF，∠＝30°， ∴∠＝∠BF＝30°， ∵∠B＝90°， 1 ∴∠＝180°﹣∠B﹣∠BF＝180° 90° 30° ﹣ ﹣ ＝60°， 故选：． 【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质 解答． 典例7：【阅读材料】如图①，四边形BD 中，B＝D，∠B+∠D＝180°，点E，F 分别在B，D 上，若∠BD ＝2∠EF，则EF＝BE+DF． 【解决问题】如图②，在某公的同一水平面上，四条道路围成四边形BD．已知D＝B＝100m，∠D＝ 60°，∠B＝120°，∠BD＝150°，道路D，B 上分别有景点M，，且DM＝100m，B＝50（ ﹣1）m，若 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 在M，之间修一条直路，则路线M→的长比路线M→→的长少 370 m（结果取整数，参考数据： ≈17）． 【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°，分别 计算D，G，G，BG 的长，由线段的和与差可得M 和的长，最后由勾股定理可得M 的长，计算M+﹣M 可得答． 解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得M 的长，从而得结论． 【解答】解：解法一：如图，延长D，B 交于点G，过点作⊥D 于， ∵∠D＝60°，∠B＝120°，∠BD＝150°， ∴∠＝360° 60° 120° 150° ﹣ ﹣ ﹣ ＝30°， ∴∠G＝90°， ∴D＝2DG， Rt△GB 中，∠BG＝180° 150° ﹣ ＝30°， ∴BG＝ B＝50，G＝50 ， ∴DG＝D+G＝100+50 ， ∴D＝2DG＝200+100 ，G＝ DG＝150+100 ， ∵DM＝100， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴M＝D﹣DM＝200+100 100 ﹣ ＝100+100 ， ∵BG＝50，B＝50（ ﹣1）， ∴＝G﹣BG﹣B＝150+100 50 50 ﹣ ﹣ （ ﹣1）＝150+50 ， Rt△中，∵∠＝30°， ∴＝ ＝75+25 ，＝ ＝75 +75， 由勾股定理得：M＝ ＝ ＝50（ +1）， ∴M+﹣M＝100+100 +150+50 50 ﹣ （ +1）＝200+100 ≈370（m）． 答：路线M→的长比路线M→→的长少370m． 解法二：如图，延长D，B 交于点G，连接，M，则∠G＝90°， ∵D＝DM，∠D＝60°， ∴△BM 是等边三角形， ∴∠DM＝60°， 由解法一可知：G＝50 ，G＝BG+B＝50+50（ ﹣1）＝50 ， ∴△G 是等腰直角三角形， ∴∠G＝45°， ∴∠B＝45° 30° ﹣ ＝15°， ∴∠M＝150° 60° 15° ﹣ ﹣ ＝75°＝ ∠BD， 由【阅读材料】的结论得：M＝DM+B＝100+50（ ﹣1）＝50 +50， ∵M+﹣M＝100+100 +150+50 50 ﹣ （ +1）＝200+100 ≈370（m）． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 答：路线M→的长比路线M→→的长少370m． 故答为：370． 【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法， 解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可． 典例8：（2022•杭州）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，点M 为边B 的中点，点E 在线段M 上，EF⊥于点 F，连接M，E．已知∠＝50°，∠E＝30°． （1）求证：E＝M． （2）若B＝4，求线段F 的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得M＝M＝MB，根据外角的性质可得∠ME＝∠+∠E，∠EM＝ ∠B+∠MB，根据等角对等边即可得证； （2）根据E＝M 先求出E 的长，再解直角三角形即可求出F 的长． 【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，点M 为边B 的中点， ∴M＝M＝MB， ∴∠M＝∠，∠MB＝∠B， ∵∠＝50°， ∴∠M＝50°，∠MB＝∠B＝40°， ∴∠EM＝∠MB+∠B＝80°， ∵∠E＝30°， ∴∠ME＝∠+∠E＝80°， ∴∠ME＝∠EM， ∴E＝M； （2）解：∵B＝4， ∴E＝M＝ B＝2， ∵EF⊥，∠E＝30°， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴F＝E•s30°＝ ． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运 用直角三角形的性质是解题的关键． 考点四、全等三角形基本概念 1 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等 要点诠释： 全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等 3 全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（S）； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(S)； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SS)； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(L) 典例9:（2022•铜仁市）如图，点在BD 上，B⊥BD，ED⊥BD，⊥E，B＝D．求证：△B≌△DE． 【分析】根据一线三垂直模型利用S 证明△B≌△DE 即可． 【解答】证明：∵B⊥BD，ED⊥BD，⊥E， ∴∠B＝∠D＝∠E＝90°， ∴∠DE+∠DE＝90°，∠B+∠DE＝90°， ∴∠B＝∠DE， 在△B 和△DE 中， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ， ∴△B≌△DE（S）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 考点五、灵活运用三角形全等定理 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的 角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来． 应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1 条件充足时直接应用判定定理 要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等这种情 况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条 件即可证明两个三角形全等． 2 条件不足，会增加条件用判定定理 要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三 角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论 成立的条件，从而得出答． 3 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理 要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或 角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等． 常见的几种辅助线添加： ①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变 换中的“旋转”； ③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的 “对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理； ④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转 折叠”； ⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之 与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 分之类的题目． 典例10：（2022•黄石）如图，在△B 和△DE 中，B＝，D＝E，∠B＝∠DE＝90°，且点D 在线段B 上，连 E． （1）求证：△BD≌△E； （2）若∠E＝60°，求∠ED 的度数． 【分析】（1）可利用SS 证明结论； （2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠BD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠E＝∠BD＝∠ED＝45°， 再根据三角形的内角和定理可求解∠E 的度数，进而可求可求解 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠DE＝90°， ∴∠B﹣∠D＝∠DE﹣∠D，即∠BD＝∠E， 在△BD 和△E 中， ， ∴△BD≌△E（SS）； （2）解：∵△BD≌△E， ∴∠E＝∠BD， ∵△B 和△DE 都是等腰直角三角形， ∴∠E＝∠BD＝∠ED＝45°， ∵∠E＝60°， ∴∠E＝180°﹣∠E﹣∠E＝180° 45° 60° ﹣ ﹣ ＝75°， ∴∠ED＝∠E﹣∠ED＝75° 45° ﹣ ＝30°． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握 全等三角形的判定条件是解题的关键． 典例11:（2022•百色）校内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画 如图的四边形BD，其中B＝D＝2 米，D＝B＝3 米，∠B＝30°． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （1）求证：△B≌△D； （2）求草坪造型的面积． 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答； （2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30 度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得 出答． 【解答】（1）证明：在△B 和△D 中， ∵ ， ∴△B≌△D（SSS）； （2）解：过点作E⊥B 于点E， ∵B＝2 米，∠B＝30°， ∴E＝1 米， ∴S△B＝ ×3×1＝ （平方米）， 则S△D＝ （平方米）， ∴草坪造型的面积为：2× ＝3（平方米）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定 方法是解题关键． 考点六、角的平分线定理 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 要点诠释： 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若D 平分∠DB，点P 是D 上一点，且PE⊥D 于点E，PF⊥BD 于点F，则PE＝PF 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥D 于点E，PF⊥BD 于点F，PE＝PF，则PD 平分∠DB 典例12：已知，如图，E⊥B,BD⊥,∠B＝∠，BF＝F 求证：F 为∠B 的平分线 【答与解析】 证明： ∵E⊥B,BD⊥（已知） 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴∠DF＝∠BEF＝90° ∵∠DF＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF＝F(已知) ∴△DF △EFB(S) ≌ ∴DF＝EF(全等三角形