知识必备09 锐角三角函数（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 知识必备09 锐角三角函数（公式、定理、结论图表） 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△B 中，∠＝90°，∠所对的边B 记为，叫做∠的对边，也叫做∠B 的 邻边，∠B 所对的边记为b，叫做∠B 的对边，也是∠的邻边，直角所对的边B 记为，叫做 斜边． 锐角的对边与斜边的比叫做∠的正弦，记作s，即 ； 锐角的邻边与斜边的比叫做∠的余弦，记作s，即 ； 锐角的对边与邻边的比叫做∠的正切，记作t，即 A B C a b c 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 同理 ； ； ． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系， 是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)s，s，t 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ， ，不能理解成s 与∠，s 与∠，t 与∠的乘积．书写时习惯上省略∠的角的记号“∠”， 但对三个大写字母表示成的角(如∠EF)，其正切应写成“t EF” ∠ ，不能写成“tEF”；另外， 、 、 常写成 、 、 ． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠＜90°之间变化时， ， ，t＞0． 典例1：（2023•青岛三模）如图，在正方形格中，每个小正方形的边长均是1， 的 顶点均在小正方形的顶点上，则 的值为 ． B． ． D． 【分析】过点 作 ，垂足为 ，用勾股定理得， ，再根据三角函数定义 求出 的值． 【解答】解：过点 作 ，垂足为 ， 在 中，根据勾股定理得， ， ， 故选： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理、三角函数定义的应用是解题关键． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳 如下： 要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另 一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如： 若 ，则锐角 ． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、 、 、 、 的值依次为0、 、 、 、 1，而 、 、 、 、 的值的顺序正好相反， 、 、 的值依次增大，其变化规律可以总结为： 当角度在0°＜∠＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 典例2：（2023•呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过 ， 两地，由于 ， 两地 之间有一片草坪，所以需要走路线 ， ．小明想知道 ， 两地间的距离，测得 ， ， ，请帮小明求出两地间距离 的长．（结果用含非特殊 角的三角函数和根式表示即可） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【分析】过 作 于 ，求出 ， ，在 中可得 ，即克知两 地间距离 的长为 ． 【解答】解：过 作 于 ，如图： 在 中， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ； 两地间距离 的长为 ． 考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△B 中，∠=90°． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm (1)互余关系： ， ； (2)平方关系： ； (3)倒数关系： 或 ； (4)商数关系： ． 要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数 的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 考点四、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即三条边和两个锐角 设在Rt B △中，∠=90°，∠、∠B、∠所对的边分别为、b、，则有： ①三边之间的关系：2+b2=2(勾股定理) ②锐角之间的关系：∠+ B=90° ∠ ③边角之间的关系： ， ， ， ， ， ④ ，为斜边上的高 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值 (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系) (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解 考点五、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△B 两 边 两直角边(，b) 由 求∠， ∠B=90°－∠， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 斜边，一直角边(如，) 由 求∠， ∠B=90°－∠， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠，b) ∠B=90°－∠， ， 锐角、对边 (如∠，) ∠B=90°－∠， ， 斜边、锐角(如，∠) ∠B=90°－∠， ， 要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题 意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻 边的顺序进行计算 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至 少有一个条件为边 典例3：（2023•成都）为建设美好公社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化 活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩． 如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为5 米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高 为4 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 01 米；参考数据： ， ， 【分析】过 作 于 ， 于 ，在 中， （ 米 ， （ 米 ， 可 得 米 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （米 ，而 ，知 米，故 米． 【解答】解：过 作 于 ， 于 ，如图： 在 中， （米， （米， ， 四边形 是矩形， 米， （米， 在 中， ， 米， （米， 阴影 的长约为22 米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相 关线段的长度． 13． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． 考点六、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问 题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然 后根据题意画出几何图形，建立数学模型 (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为 解直角三角形的问题 (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关 的直角三角形 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm (4)得出数学问题的答并检验答是否符合实际意义，得出实际问题的解 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则 ，如图，坡度通常写成= ∶的形式 (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下 方的叫做俯角，如图 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图 ①中，目标方向P，PB，P 的方位角分别为是40°，135°，245° (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角， 如图②中的目标方向线，B，，D 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西 80°，北偏西60°特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西 南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 要点诠释： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 角的大小，最好画出它的示意图 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角 三角形或矩形来解例如： 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正 确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解 典例4：小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12 的山坡上走1300 米 此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米 ．600 250 ﹣ B．600 250 ﹣ ．350+350 D．500 【分析】设EF＝5x 米，根据坡度的概念用x 表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正 切的定义列出方程，解方程得到答． 【解答】解：设EF＝5x 米， ∵斜坡BE 的坡度为5：12， ∴BF＝12x 米， 由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2， 解得：x＝100， 则EF＝500 米，BF＝1200 米， 由题意可知，四边形DFE 为矩形， ∴D＝EF＝500 米，DE＝F， 在Rt△DE 中，t∠ED＝ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 则DE＝ ＝ D， 在Rt△B 中，t∠B＝ ， ∴ ＝ ， 解得：D＝600 750 ﹣ ， ∴山高＝D+D＝600 750+500 ﹣ ＝（600 250 ﹣ ）米， 故选：B． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直 高 典例5：如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物D 点的俯角α 为45°，点 的俯角β 为58°，B 为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度D 为6m，则甲建筑 物的高度B 为 16 m． （s58°≈085，s58°≈053，t58°≈160，结果保留整数）． 【分析】过点D 作DE⊥B 于点E，则BE＝D＝6m，∠DE＝45°，∠B＝58°，在Rt△DE 中， ∠DE＝45°，设E＝xm，则DE＝xm，B＝xm，B＝E+BE＝（6+x）m，在Rt△B 中，t∠B ＝t58°＝ ≈160，解得x＝10，进而可得出答． 【解答】解：过点D 作DE⊥B 于点E，如图． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 则BE＝D＝6m，∠DE＝45°，∠B＝58°， 在Rt△DE 中，∠DE＝45°， 设E＝xm，则DE＝xm， ∴B＝xm，B＝E+BE＝（6+x）m， 在Rt△B 中， t∠B＝t58°＝ ≈160， 解得x＝10， ∴B＝16m． 故答为：16． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是 解答本题的关键 典例6：小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道B 进行实地测量．如 图所示，他在地面上点处测得隧道一端点在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100 米后到达点D，此时测得点在他的东北方向上，端点B 在他的北偏西60°方向上，（点、 B、、D 在同一平面内） （1）求点D 与点的距离； （2）求隧道B 的长度．（结果保留根号） 【分析】（1）根据方位角图，易知∠D＝60°，∠D＝90°，解Rt△D 即可求解； （2）过点D 作DE⊥B 于点E．分别解Rt△DE，Rt△BDE 求出E 和BE，即可求出隧道B 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【解答】解；（1）由题意可知：∠D＝15°+45°＝60°，∠D＝180° 45° 45° ﹣ ﹣ ＝90°， 在Rt△D 中， ∴ （米）， 答：点D 与点的距离为300 米． （2）过点D 作DE⊥B 于点E， ∵B 是东西走向， ∴∠DE＝45°，∠BDE＝60°， 在Rt△DE 中， ∴ （米）， 在Rt△BDE 中， ∴ （米）， ∴ （米）， 答：隧道B 的长为 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊 角的三角函数值是解题的关键． 考点七、解直角三角形相关的知识 如图所示，在Rt△B 中，∠＝90°， (1)三边之间的关系： ； (2)两锐角之间的关系：∠+∠B＝90°； (3)边与角之间的关系： ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ． (4) 如图，若直角三角形B 中，D⊥B 于点D，设D＝，D＝q，DB＝p，则 由△BD∽△B，得2＝p； 由△D∽△B，得b2＝q； 由△D∽△BD，得2＝pq； 由△D∽△B 或由△B 面积，得b＝． (5)如图所示，若D 是直角三角形B 中斜边上的中线，则 D ① ＝D＝BD＝ B； ②点D 是Rt△B 的外心，外接圆半径R＝ B． (6)如图所示，若r 是直角三角形B 的内切圆半径，则 ． 直角三角形的面积： ①如图所示， ．（为斜边上的高） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ②如图所示， ． 典例7：我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边 形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边 数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该 圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1 中圆内接正六边形的周长l6＝6R， 则π≈ ＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π 约为（ ） ．12s15° B．12s15° ．12s30° D．12s30° 【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出67＝26M＝2R×s15°，再根据“圆周率等于圆 周长与该圆直径的比”，即可解决问题． 【解答】解：在正十二边形中，∠6M＝360°÷24＝15°， ∴6M＝s15°×6＝R×s15°， ∵6＝7，M⊥67， ∴67＝26M＝2R×s15°， ∴π≈ ＝12s15°， 故选：． 【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算 出正十二边形的周长是解题的关键． 1