知识必备05 图形及其变换（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 知识必备05 图形及其变换（公式、定理、结论图表） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 考点一、平移变换 1 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图 形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【要点诠释】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形 在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离， 这两个要素是图形平移的依据； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比， 只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的 依据． 2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同 一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列 性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等． 【要点诠释】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特 征； （2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形 之间的性质，又可作为平移作图的依据． 典例1:如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（1，2），将线段向右平移4 个单位长度， 得到线段B，点的对应点的坐标是 （ 5 ， 2 ） ． 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可． 【解答】解：将线段向右平移4 个单位长度，得到线段B，点的对应点的坐标是（1+4， 2），即（5，2）， 故答为：（5，2）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律： 横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 典例2：（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1 个 单位，再向右平移1 个单位，得到点1（1，1）；把点1向上平移2 个单位，再向左平移 2 个单位，得到点2（﹣1，3）；把点2向下平移3 个单位，再向左平移3 个单位，得到 点3（﹣4，0）；把点3 向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，得到点4（0，﹣ 4），…；按此做法进行下去，则点10的坐标为 （﹣ 1 ， 11 ） ． 【分析】根据题目规律，依次求出5、6……10的坐标即可． 【解答】解：由图象可知，5（5，1）， 将点5向左平移6 个单位、再向上平移6 个单位，可得6（﹣1，7）， 将点6向左平移7 个单位，再向下平移7 个单位，可得7（﹣8，0）， 将点7向右平移8 个单位，再向下平移8 个单位，可得8（0，﹣8）， 将点8向右平移9 个单位，再向上平移9 个单位，可得9（9，1）， 将点9向左平移10 个单位，再向上平移10 个单位，可得10（﹣1，11）， 故答为：（﹣1，11）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究 规律，属于中考常考题型． 考点二、轴对称变换 1．轴对称与轴对称图形 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重 合的对应点，叫做对称点 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形叫做轴对称图形 2．轴对称变换的性质 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ①关于直线对称的两个图形是全等图形 ②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线 ③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对 称 3．轴对称作图步骤 ①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2 倍，得到各点的对 称点． ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形 ４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合 部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线 必被折痕垂直平分 【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全 等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理 典例3：（2022•资阳）如图，正方形BD 的对角线交于点，点E 是直线B 上一动点．若B＝ 4，则E+E 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点关于直线B 的对称点'， 再连接'，运用两点之间线段最短得到'为所求最小值，再运用勾股定理求线段'的长度即 可． 【解答】解：如图所示，作点关于直线B 的对称点'，连接'，其与B 的交点即为点E，再 作F⊥B 交B 于点F， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∵与'关于B 对称， ∴E＝'E，E+E＝'E+E，当且仅当'，，E 在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时 E+E＝'E+E＝'， ∵正方形BD，点为对角线的交点， ∴ ， ∵与'关于B 对称， ∴B＝B'＝4， ∴F'＝FB+B'＝2+4＝6， 在Rt△F'中， ， 故选：D． 【点评】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段 长度是解题关键． 典例4：（2023·四川广安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，且 ．将正方形 绕原点 顺时针旋转 ，并放大为 原来的 倍，使 ，得到正方形 ，再将正方形 绕原点 顺时针旋转 ，并放大为原来的 倍，使 ，得到正方形 ，以此规律继续进行下 去，得到正方形 ，则点 的坐标为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【答】 【分析】先求出 ，再按规律进行求解，找出 次循环一周坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得：每4 次循环一周， ， 点 与 在同一个象限内， 点 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，点的坐标循环规律探究问题，找出循环规律是解题的 关键． 考点三、旋转变换 1．旋转概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转点叫做旋转中 心，转动的角叫做旋转角 ２．旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度， 任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线 段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化 ３．旋转作图步骤 ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角 ②分析所作图形，找出构成图形的关键点 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中 各关键点的对应点 ④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点 【要点诠释】 １．图形变换与图设计的基本步骤 ①确定图的设计主题及要求； ②分析设计图所给定的基本图； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图进行变换，实现由基本图到各部分图的有机组合； ④对图进行修饰，完成图 2．平移、旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线 翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2 倍 典例5：如图，将△B 先向右平移1 个单位，再绕点P 按顺时针方向旋转90°，得到△′B′′，则 点B 的对应点B′的坐标是（ ） ．（4，0） B．（2，﹣2） ．（4，﹣1） D．（2，﹣3） 【分析】作出旋转后的图形即可得出结论． 【解答】解：作出旋转后的图形如下： ∴B'点的坐标为（4，﹣1）， 故选：． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【点评】本题主要考查图形的平移和旋转，熟练掌握图形的平移和旋转是解题的关键． 典例6：如图，在△B 中，B＝，∠B＝120°，点D 在直线上，连接BD，将DB 绕点D 逆时针 旋转120°，得到线段DE，连接BE，E． （1）求证：B＝ B； （2）当点D 在线段上（点D 不与点，重合）时，求 的值； （3）过点作∥DE 交BD 于点，若D＝2D，请直接写出 的值． 【分析】（1）作⊥B 于，可得B＝ B，B＝2B，进而得出结论； （2）证明△BD∽△BE，进而得出结果； （3）当点D 在线段上时，作BF⊥，交的延长线于F，作G⊥BD 于G，设B＝＝3，则 D＝2，解直角三角形BDF，求得BD 的长，根据△DG∽△DBF 求得Q，进而求得，进一 步得出结果；当点D 在的延长线上时，设B＝＝2，则D＝4，同样方法求得结果． 【解答】（1）证明：如图1， 作⊥B 于， ∵B＝， ∴∠B＝∠＝ ＝60°，B＝2B， s60° ∴ ＝ ， ∴B＝ ， ∴B＝2B＝ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （2）解：∵B＝， ∴∠B＝∠B＝ ＝30°， 由（1）得， ， 同理可得， ∠DBE＝30°， ， ∴∠B＝∠DBE， ＝ ， ∴∠B﹣∠DB＝∠DBE﹣∠DB， ∴∠BD＝∠BE， ∴△BD∽△BE， ∴ ； （3）解：如图2， 当点D 在线段上时， 作BF⊥，交的延长线于F，作G⊥BD 于G， 设B＝＝3，则D＝2， 由（1）得，E＝ ， 在Rt△BF 中，∠BF＝180°﹣∠B＝60°，B＝3， ∴F＝3•s60°＝ ，BF＝3．s60°＝ ， 在Rt△BDF 中，DF＝D+F＝2+ ＝ ， BD＝ ＝ ＝ ， ∵∠GD＝∠F＝90°，∠DG＝∠BDF， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴△DG∽△DBF， ∴ ， ∴ ＝ ， ∴G＝ ， ∵∥DE， ∴∠D＝∠BDE＝120°， ∴∠G＝60°， ∴＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 如图3， 当点D 在的延长线上时， 设B＝＝2，则D＝4， 由（1）得， E＝ ＝4 ， 作BR⊥，交的延长线于R，作Q⊥BD 于Q， 同理可得， R＝，BR＝ ， ∴BD＝ ＝2 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴ ， ∴Q＝ ， ∴＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， 综上所述： 或 ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知 识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力． 1