知识必备02 方程与不等式（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 知识必备02 方程与不等式（公式、定理、结论图表） 考点一、一元一次方程 1 方程 含有未知数的等式叫做方程 2 方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 3 等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式 4 一元一次方程 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程，其中 方程ax+b=0（x 为未知数，a≠0）叫做一元一次方程的标准形式，是未知数x 的系 数，b 是常数项 5 一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检 验方程的解) 6 列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为， 完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数， 最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 (2)画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关 图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得 布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数 式是获得方程的基础 列方程解应用题的常用公式： (1)行程问题： 距离=速度×时间 速度= 距离 时间 时间= 距离 速度； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工效= 工作量 工时 工时= 工作量 工效 ； (3)比率问题： 部分=全体×比率 比率= 部分 全体 全体= 部分 比率； (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5) 商品价格问题： 售价= 定价· 折· 1 10 ，利润= 售价- 成本， 利润率= 售价−成本 成本 ×100%； (6)周长、面积、体积问题：圆=2πR，S 圆=πR2，长方形=2(+b)，S 长方形=b， 正方形=4， S 正方形=2，S 环形=π(R2-r2)，V 长方体=b ，V 正方体=3，V 圆柱=πR2 ，V 圆锥=1 3πR2 考点二、一元二次方程 1 一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm a x 2+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式， 等式右边是零，其中a x 2叫做二次项，叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；叫做常数项 3 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法直接开平 方法适用于解形如( x+a) 2=b的一元二次方程根据平方根的定义可知，x+a是b 的平方根， 当b≥0时，x+a=± ❑ √b，x=−a± ❑ √b，当b<0 时，方程没有实数根 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的 其他领域也有着广泛的应用配方法的理论根据是完全平方公式a 2±2ab+b 2=(a±b) 2，把 公式中的看做未知数x，并用x 代替，则有x 2±2bx+b 2=( x ±b) 2 （3）公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法 一 元 二 次 方 程 a x 2+bx+c=0(a≠0)的 求 根 公 式 ： x1,2=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a (b 2−4 ac≥0) （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是 解一元二次方程最常用的方法 4 一元二次方程根的判别式 一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0)中，b 2−4 ac叫做一元二次方程 a x 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b 2−4 ac 5 一元二次方程根与系数的关系 如果方程a x 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=−b a ，x1 x2= c a 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以 二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商 要点诠释： 一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的 一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以 用这两种方法去解 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 判断，注意一元二 次方程一般形式中a≠0 （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式 （3）用配方法时二次项系数要化1 （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负 典例1：已知关于x的一元二次方程x 2−(m−1) x+m−3=0． （1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）若直线y=(m−1) x+3与函数y=x 2+m的图象的一个交点的横坐标为2，求关 于x的一元二 次方程x 2−(m−1) x+m−3=0的解． 【答】（1）证明：Δ=[−(m−1)] 2−4 (m−3) ¿m 2−2m+1−4 m+12=m 2−6m+13 ¿ (m−3) 2+4 ∵不论m取何值时，(m−3) 2≥0 ∴(m−3) 2+4>0，即Δ>0 ∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）将x=2代入方程x 2−(m−1) x+m−3=0，得m=3 再将m=3代入，原方程化为x 2−2 x=0，解得x1=0, x2=2． 考点三、分式方程 1 分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2 解分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程； ③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就 是原方程的根 口诀：“一化二解三检验” 3 分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊 形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法 要点诠释： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根 不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数 取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件当把分式方程转 化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化 后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根 典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息， 帮小明计算今年5 月份汽油的价格．如图所示． 【思路点拨】根据“用150 元给汽车加油今年比去年少1875 升”列方程 【答与解析】解：设今年5 月份汽油价格为x 元/升，则去年5 月份的汽油价格为(x-18)元 /升． 根据题意，得150 x−1.8−150 x =18.75， 整理，得x 2−1.8 x−14.4=0． 解这个方程，得x1＝48，x2＝-3． 经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3 不符合实际意义，故舍去． 【总结升华】 解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同 学们更进一步地体会到数学就在我们身边． 考点四、二元一次方程（组） 1 二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1 的整式方程叫做二元一次方程，它的一 般形式是x+by=(≠0，b≠0) 2 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解 3 二元一次方程组 两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 4 二元一次方程组的解 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程组的解 5 二元一次方程组的解法 ①代入消元法；②加减消元法 6 三元一次方程（组） （1）三元一次方程 把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的整式方程叫三元一次方程 （2）三元一次方程组 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次 方程组 要点诠释： 二元一次方程组的解法： 消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想 （1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个 方程，实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法 （2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边 分别相加或相减， 就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法 （3） 二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．材中主要是研 究有唯一解的情 况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透． 典例3 ：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1 、y2 的图象l1、l2，设 y1=k1 x+b1，y2=k2 x+b2，则方程组{ ¿ y1=k1 x+b1, ¿ y2=k2 x+b2 的解是( ) 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ．{ ¿ x=−2, ¿ y=2 B．{ ¿ x=−2, ¿ y=3 ．{ ¿ x=−3, ¿ y=3 D．{ ¿ x=−3, ¿ y=4 【思路点拨】图象l1、l2的交点的坐标就是方程组的解 【答】B； 【解析】由图可知图象l1、l2的交点的坐标为(-2，3)， 所以方程组{ ¿ y1=k1 x+b1, ¿ y2=k2 x+b2 的解为{ ¿ x=−2, ¿ y=3. 【总结升华】 方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与 相互渗透． 考点五、不等式（组） 1 不等式的概念 （1）不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式 （2）不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个 不等式的解 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称 这个不等式的解集 求不等式的解集的过程，叫做解不等式 2 不等式基本性质 （1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3 一元一次不等式 （1）一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式， 这样的不等式叫做一元一次不等式 （2）一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1 4 一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组 当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集 （2）一元一次不等式组的解法 ①分别求出不等式组中各个不等式的解集； ②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示 要点诠释： 用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式 不等式组 （其中＞b） 图示 解集 口诀 { ¿ x>a ¿ x>b b a x>a （同大取大） { ¿ x<a ¿ x<b b a x<b （同小取小） { ¿ x<a ¿ x>b b a b<x<a （大小取中间） { ¿ x>a ¿ x<b b a 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （1）不等式的其他性质：①若＞b，则b＜；②若＞b，b＞，则＞；③若≥b，且 b≥，则=b；④若2≤0，则=0；⑤若b＞0 或a b >0，则、b 同号；⑥若b＜0 或a b <0，则、 b 异号 （2）任意两个实数、b 的大小关系：①-b＞⇔＞b；②-b=⇔=b；③-b＜⇔＜b． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但＜b 可转换为b＞，≥d 可转换为d≤ 典例4：解不等式组{ ¿3( x+1)>5 x+4 ,① ¿ x−1 2 ≤2 x−1 3 ,② 并将解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解 的四种情况，看看属于哪种情况． 【答与解析】 解不等式①得：x<−1 2 ． 解不等式②得：x≥-1． 所以不等式组的解集为-1≤x＜−1 2 ． 其解在数轴上表示为如图所示： 【总结升华】注意解不等式组的解题步骤 典例5：为了美化家，创建文明城市，林部门决定利用现有的3600 盆甲种花卉和2900 盆乙种花卉搭配、B 两种艺造型共50 个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的 情况如下表所示； 造型 甲 乙 90 盆 30 盆 B 40 盆 100 盆 综合上述信息，解答下列问题： (1)符合题意的搭配方有哪种? (2)若搭配一个种造型的成本为1000 元，搭配一个B 种选型的成本为1200 元，试说明 选用(1)中哪种方成本最低? 【思路点拨】 本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方． 【答与解析】 解：(1)设搭配x 个种造型，则需要搭配(50-x)个B 种造型，由题意，得 { ¿90 x+40(50−x)≤3600, ¿30 x+100(50−x)≤2900, 解得30≤x≤32． 所以x 的正整数解为30，31，32． 所以符合题意的方有3 种，分别为： 种造型30 个，B 种造型20 个； 种造型31 个，B 种造型19 个； 种造型32 个，B 种造型18 个． (2)由题意易知，三种方的成本分别为： 第一种方：30×1000+20×1200＝54000； 第二种办：31×1000+19×1200＝53800； 第三种方：32×1000+18×1200＝53600 所以第三种方成本最低． 【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最 少”等问题． 1