中考数学必背知识手册汇总 133页

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 知识必备01 数与式（公式、定理、结论图表） 考点一、实数的有关概念、性质 1．实数及其分类 实数可以按照下面的方法分类： 实数还可以按照下面的方法分类： 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 典例1：实数2  ，0.3， 1 7 ， 2 ，π  中，无理数的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如π 是无理数，2 4   、 等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如210100100010000…（每两个1 之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数 （3）根式型： 3 2 5 6 、、， …都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：s35°、t27°、s29°等 【答】； 【解析】本题主要考查无理数的概念无理数是指无限不循环小数， 2 ，π  都是无限不循环小数， 故共有2 个无理数 【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含的数；③看似循环但实际不循环的小数； ④三角函数型：s35°、t27°、s29°等抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相 关试题 2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系． 3．相反数 实数和-叫做互为相反数．零的相反数是零． 一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等． 4．绝对值 一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即 如果＞0，那么||＝； 如果＜0，那么||＝-； 如果＝0，那么||＝0． 典例2：阅读下面的材料，回答问题： 点、B 在数轴上分别表示实数、b，、B 两点之间的距离表示为AB ．当、B 两点中有一点在原点时， 不妨设点在原点，如图1-1，AB OB b a b     ；当、B 两点都不在原点时： 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （1）如图1-2，点、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b        ； （2）如图1-3，点、B 都在原点的左边， ( ) AB OB OA b a b a a b a b          ； （3）如图1-4，点、B 在原点的两边， ( ) AB OA OB a b a b a b a b         ． 综上，数轴上、B 两点之间的距离AB a b   ． 回答下列问题： （1）数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示1 和－3 的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示x 和－1 的两点和B 之间的距离是 ．如果 2 AB ，那么x= ． 【答】（1）3，3，4；（2） 1 x 或 3 x  ． 依据阅读材料，所获得的结论为AB a b   ，结合各问题分别代入求解． （1）2 5 3, 2 ( 5) 3, 1 ( 3) 4       ；（2） ( 1) 1 AB x x     ； 因为 2 AB ，所以 1 2 x  ，所以 1 2 x 或 1 2 x  ．所以 1 x 或 3 x  ． 5．实数大小的比较 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大． （2）正数都大于0；负数都小于0，两个负数绝对值大的那个负数反而小 0 图1-3 b B 图1-2 B b 0 图1-1 B b 0 （） 0 图1-4 b B 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （3）对于实数 常用方法：①数轴图示法；②作差法；③作商法；④平方法等 6．有理数的运算 运算律： 加法交换律 +b＝b+； 加法结合律 (+b)+＝+(b+)； 乘法交换律 b＝b； 乘法结合律 (b)＝(b)； 分 配 律 (b+)＝b+． (3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运 算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后 进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减． 算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 典例3： ； 【答】 ． 7．平方根 如果x2＝，那么x 就叫做的平方根(也叫做二次方根)． 8．算术平方根 正数的正的平方根，叫做的算术平方根．零的算术平方根是零． 9．近似数及有效数字 近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说 这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这 个数的有效数字． 10．科学记数法 把一个数记成±× 的形式(其中是整数，是大于或等于1 而小于10 的数)，称为用科学记数法表示这 个数． 考点二、二次根式、分式的相关概念、性质 1．二次根式的概念 形如 (≥0) 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式和同类二次根式的概念 最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 3．二次根式的主要性质 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （1） 0 ( 0) a a   ； （2）  2 ( 0) a a a   ； （3） ； （4）积的算术平方根的性质： ； （5）商的算术平方根的性质： 4． 二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并． (2)二次根式的乘除 二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． 典例4：（1） ； （2） ． 【思路点拨】 在进行二次根式的加减运算时，一般先化成最简二次根式，再合并同类二次根式．在进行二次根式的 乘除运算时，一般先进行乘除运算，再化成最简二次根式．无论进行何种运算，最后结果一定要化成最简 二次根式的形式． 【答与解析】 （1） ． （2） ． 【总结升华】 在二次根式运算中，要注意根据题目特点，灵活运用二次根式的性质．能够运用乘法公式使运算简捷一 些的，可以应用乘法公式． 5．代数式的有关概念 (1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数 式． 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值． 代数式的分类： (2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm (3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式． 整式包括单项式和多项式． (4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义． 6．整式的运算 (1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法 则，先去括号，再合并同类项． (2)整式的乘法： ①正整数幂的运算性质： ； ； ； (≠0，m＞)． 其中m、都是正整数． ②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的 和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ③乘法公式： ； ． ④零和负整数指数：在 (≠0，m，都是正整数)中，当m＝时，规定 ； 当m＜时，如m-＝-p(p 是正整数)，规定 ． 7．因式分解 （1）因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意： ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数 的范围，一般是指在有理数范围内分解． ②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简． （2）因式分解的方法 ①提公因式法：m+mb+m＝m(+b+)． ②运用公式法： ； ； ③十字相乘法： ． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ④运用求根公式法：若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2 ， 则有：ax2+bx+c=a( x−x1)( x−x2) （3）因式分解的步骤 ①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解． 8．分式 （1）分式的概念 形如 的式子叫做分式，其中和B 均为整式，B 中含有字母，注意B 的值不能为零． （2）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ， ．(其中M 是不等于零的整式) （3）分式的运算 ①加减法： ， ． ②乘法： ． ③除法： ． ④乘方： （为正整数）． 解分式方程的注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如 果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 列 分 式 方 程 解 应 用 题 的 基 本 步 骤 ： (1) 审 — — 仔 细 审 题 ， 找 出 等 量 关 系 ； (2) 设 — — 合 理 设 未 知 数 ； (3) 列 — — 根 据 等 量 关 系 列 出 方 程 ； (4) 解 — — 解 出 方 程 ； (5) 验 — — 检 验 增 根 ； (6)答——答题． 典例2：计算 ． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【思路点拨】在进行分式的四则运算时，一定要注意按运算顺序进行，并注意结合题目的具体情况及时化 简，以便简化运算过程． 【答与解析】 ． 【总结升华】在进行分式的四则运算时，要注意利用运算律，寻找合理的运算途径． 知识必备02 方程与不等式（公式、定理、结论图表） 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 考点一、一元一次方程 1 方程 含有未知数的等式叫做方程 2 方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 3 等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式 4 一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 ax+b=0（x 为未知数，a≠0）叫做一元一次方程的标准形式，是未知数x 的系数，b 是常数项 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 5 一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解) 6 列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减 少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系 填入代数式，得到方程 (2)画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各 部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与 量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础 列方程解应用题的常用公式： (1)行程问题： 距离=速度×时间 速度= 距离 时间 时间= 距离 速度； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工效= 工作量 工时 工时= 工作量 工效 ； (3)比率问题： 部分=全体×比率 比率= 部分 全体 全体= 部分 比率； (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折· 1 10 ，利润=售价-成本， 利润率= 售价−成本 成本 ×100%； (6)周长、面积、体积问题：圆=2πR，S 圆=πR2，长方形=2(+b)，S 长方形=b， 正方形=4， S 正方形=2，S 环形=π(R2-r2)，V 长方体=b ，V 正方体=3，V 圆柱=πR2 ，V 圆锥=1 3πR2 考点二、一元二次方程 1 一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 a x 2+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零， 其中a x 2叫做二次项，叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；叫做常数项 3 一元二次方程的解法 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法直接开平方法适用于解形 如( x+a) 2=b的一元二次方程根据平方根的定义可知，x+a是b 的平方根，当b≥0时，x+a=± ❑ √b， x=−a± ❑ √b，当b<0 时，方程没有实数根 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着 广泛的应用配方法的理论根据是完全平方公式a 2±2ab+b 2=(a±b) 2，把公式中的看做未知数x，并用x 代替，则有x 2±2bx+b 2=( x ±b) 2 （3）公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法 一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x1,2=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a (b 2−4 ac≥0) （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程 最常用的方法 4 一元二次方程根的判别式 一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0)中，b 2−4 ac叫做一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别 式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b 2−4 ac 5 一元二次方程根与系数的关系 如果方程a x 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=−b a ，x1 x2= c a也就是说，对于 任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； 两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商 要点诠释： 一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程 都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 二 次方程一般形式中a≠0 （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式 （3）用配方法时二次项系数要化1 （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负 典例1：已知关于x的一元二次方程x 2−(m−1) x+m−3=0． （1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）若直线y=(m−1) x+3与函数y=x 2+m的图象的一个交点的横坐标为2，求关于x的一元二 次方程x 2−(m−1) x+m−3=0的解． 【答】（1）证明：Δ=[−(m−1)] 2−4 (m−3) ¿m 2−2m+1−4 m+12=m 2−6m+13 ¿ (m−3) 2+4 ∵不论m取何值时，(m−3) 2≥0 ∴(m−3) 2+4>0，即Δ>0 ∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）将x=2代入方程x 2−(m−1) x+m−3=0，得m=3 再将m=3代入，原方程化为x 2−2 x=0，解得x1=0, x2=2． 考点三、分式方程 1 分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2 解分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程； ③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根 口诀：“一化二解三检验” 3 分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去 分母不易解决时，可考虑用换元法 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 要点诠释： 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程， 可使原方程的分母为零，