知识必备07 四边形（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 知识必备07 四边形（公式、定理、结论图表） 考点一、四边形的相关概念 1 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 2 多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：边形的内角和等于(-2)·180°； (2)推论：多边形的外角和是360°； (3)对角线条数公式：边形的对角线有 条； (4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 3 四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形 4 四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360° 典例1：大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料， 多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边 形BDEF，若对角线D 的长约为8mm，则正六边形BDEF 的边长为（ ） 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ．2mm B．2 mm ．2 mm D．4mm 【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形BDEF 的边长． 【解答】解：连接BE，F，BE、F 交于点，如右图所示， ∵六边形BDEF 是正六边形，D 的长约为8mm， ∴∠F＝60°，＝D＝F，和D 约为4mm， ∴F 约为4mm， 故选：D． 【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 典例2：如图，四边形BD 的内角和等于（ ） ．180° B．270° ．360° D．540° 【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可． 【解答】解：四边形BD 的内角和为360°． 故选：． 【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 考点二、特殊的四边形 1 平行四边形及特殊的平行四边形的性质 2 平行四边形及特殊的平行四边形的判定 【要点诠释】 面积公式：S 菱形 = 1 2 b=（、b 为菱形的对角线 ,为菱形的边长 ，为边上的高） S 平行四边形 = 为平行四边形的边，为上的高） 典例3：（2023•福建）如图，在 中， 为 的中点， 过点 且分别交 ， 于点 ， ． 若 ，则 的长为 10 ． 【分析】由平行线四边形的性质得到 ， ，因此 ， ，又 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ，即可证明 ，得到 ，于是得出 ． 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 为 的中点， ， ， ， ， ． 故答为：10． 【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由 推出 ，由 平行线的性质得到 ，推出 ． 典例4：如图，在四边形BD 中，与BD 交于点，BE⊥，DF⊥，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BD＝ ∠BD．求证：四边形BD 是平行四边形． 【分析】结合已知条件推知B∥D；然后由全等三角形的判定定理S 证得△BE≌△DF，则其对应边相等：B ＝D；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论． 【解答】证明：∵∠BD＝∠BD， ∴B∥D． ∴∠BE＝∠DF． 在△BE 与△DF 中， ． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴△BE≌△DF（S）． ∴B＝D． ∴四边形BD 是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两 组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 典例5：（2023•凉山州）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ， ，过点 作 交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 【分析】（1）证 ，得 是菱形，再由菱形的性质即可得出结论； （2）由菱形的性质得 ， ，再由勾股定理得 ，然后证 ， 得 ，即可得出结论． 【解答】（1）证明： ， ， 是菱形， ； （2）解：由（1）可知， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ， ， ， 即 ， 解得： ， 即 的长为 ． 典例6：（2022•兰州）如图，菱形BD 的对角线与BD 相交于点，E 为D 的中点，连接E，∠B＝60°，BD＝ 4 ，则E＝（ ） ．4 B．2 ．2 D． 【分析】根据菱形的性质可得，∠B＝30°，⊥BD，则B＝2 ，再利用含30°角的直角三角形的性质可 得答． 【解答】解：∵四边形BD 是菱形，∠B＝60°， ∴B＝D，∠B＝30°，⊥BD，B＝D， ∴B＝2 ， ∴＝ ＝2， ∴B＝2＝4， ∵E 为D 的中点，∠D＝90°， ∴E＝ D＝2， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 故选：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解 题的关键． 典例7：（2023•自贡）如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ． 求证： ． 【分析】由平行四边形的性质得 ， ，再证 ，然后由平行四边形的判定即可 得出结论． 【解答】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 即 ， 又 ， 四边形 是平行四边形， ． 典例8：（2023•杭州）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在对角线 上，且 ，连接 ， ， ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若 的面积等于2，求 的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得 ， ，再证 ，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质可求解． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形； （2）解： ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 的面积 ． 典例9：（2022•青海）如图，矩形BD 的对角线相交于点，过点的直线交D，B 于点E，F，若B＝3，B＝ 4，则图中阴影部分的面积为 6 ． 【分析】首先结合矩形的性质证明△E≌△F，得△E、△F 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BD 的面积． 【解答】解：∵四边形BD 是矩形，B＝3， ∴＝，B＝D＝3，D∥B， ∴∠E＝∠F； 又∵∠E＝∠F， 在△E 和△F 中， ， ∴△E≌△F， ∴S△E＝S△F， ∴S 阴影＝S△E+S△BF+S△D＝S△F+S△BF+S△D＝S△BD， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∵S△BD＝ B•D＝ ＝6， ∴S 阴影＝6． 故答为6． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影 部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键． 典例10：（2022•巴中）如图，▱BD 中，E 为B 边的中点，连接E 并延长交D 的延长线于点F，延长E 至 点G，使G＝E，连接DG、DE、FG． （1）求证：△BE≌△FE； （2）若D＝2B，求证：四边形DEFG 是矩形． 【分析】（1）由平行四边形的性质推出B∥D，根据平行线的性质推出∠EB＝∠FE，利用S 即可判定 △BE≌△FE； （2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG 是矩形． 【解答】证明：（1）∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D， ∴∠EB＝∠FE， 又∵E 为B 的中点， ∴E＝EB， 在△BE 和△FE 中， ， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ∴△BE≌△FE（S）； （2）∵△BE≌△FE， ∴B＝F， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴B＝D， ∴D＝F， 又∵E＝G， ∴四边形DEFG 是平行四边形， ∵E 为B 的中点，E＝G， ∴B＝EG， 又∵D＝B＝EG＝2B，DF＝D+F＝2D＝2B， ∴DF＝EG， ∴平行四边形DEFG 是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行 四边形的判定与性质，证明△BE≌△FE 是解题的关键． 典例11：（2022•云南）如图，在平行四边形BD 中，连接BD，E 为线段D 的中点，延长BE 与D 的延长线 交于点F，连接F，∠BDF＝90°． （1）求证：四边形BDF 是矩形； （2）若D＝5，DF＝3，求四边形BF 的面积S． 【分析】（1）由四边形BD 是平行四边形，得∠BE＝∠FDE，而点E 是D 的中点，可得△BE≌△FED （S），即知EF＝EB，从而四边形BDF 是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形BDF 是矩形； （2）由∠FD＝90°，B＝DF＝3，F＝BD，得F＝ ＝ ＝4，S 矩形BDF＝DF•F＝12，四 边形BD 是平行四边形，得D＝B＝3，从而S△BD＝ BD•D＝6，即可得四边形BF 的面积S 为18． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 【解答】（1）证明：∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D， ∴∠BE＝∠FDE， ∵点E 是D 的中点， ∴E＝DE， 在△BE 和△FED 中， ， ∴△BE≌△FED（S）， ∴EF＝EB， 又∵E＝DE， ∴四边形BDF 是平行四边形， ∵∠BDF＝90°． ∴四边形BDF 是矩形； （2）解：由（1）得四边形BDF 是矩形， ∴∠FD＝90°，B＝DF＝3，F＝BD， ∴F＝ ＝ ＝4， ∴S 矩形BDF＝DF•F＝3×4＝12，BD＝F＝4， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B＝3， ∴S△BD＝ BD•D＝ ×4×3＝6， ∴四边形BF 的面积S＝S 矩形BDF+S△BD＝12+6＝18， 答：四边形BF 的面积S 为18． 【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用 等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BE≌△FED． 典例12：如图，在正方形BD 中，对角线、BD 相交于点．E、F 分别为、BD 上一点，且E＝F，连接F， BE，EF．若∠FE＝25°，则∠BE 的度数为（ ） 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ．50° B．55° ．65° D．70° 【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全 等三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：∵四边形BD 是正方形， ∴∠B＝∠D＝90°，＝B＝D＝． ∵E＝F， ∴△EF 为等腰直角三角形， ∴∠EF＝∠FE＝45°， ∵∠FE＝25°， ∴∠F＝∠FE+∠FE＝70°， ∴∠F＝20°． 在△F 和△BE 中， ， ∴△F≌△BE（SS）． ∴∠F＝∠EB＝20°， ∵B＝， ∴△B 是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴∠BE＝∠EB+∠B＝65°． 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三 角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 典例13：（2022•邵阳）如图，在菱形BD 中，对角线，BD 相交于点，点E，F 在对角线BD 上，且BE＝ DF，E＝． 求证：四边形EF 是正方形． 【分析】先证明四边形EF 是菱形，再证明EF＝，即可得出结论 【解答】证明：∵四边形BD 是菱形， ∴⊥BD，＝，B＝D， ∵BE＝DF， ∴E＝F， ∴四边形EF 是菱形； ∵E＝＝F， ∴E＝F＝＝，即EF＝， ∴菱形EF 是正方形． 【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础 考点三、梯形 1 梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 (1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底 (2)不平行的两边叫做梯形的腰 (3)梯形的四个角都叫做底角 2 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形 3 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 4 等腰梯形的性质： (1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等 (3)等腰梯形的对角线相等 5 等腰梯形的判定方法： (1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)； 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm (2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； (3)对角线相等的梯形是等腰梯形 6 梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线 7 面积公式： S= (+b)(、b 是梯形的上、下底，是梯形的高) 【要点诠释】 解决四边形问题常用的方法 （1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决． （2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决． （3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题 典例14：（2023•宜城市模拟）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板 中， 为对角线， ， 分别为 ， 的中点，分别交 ， 于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说 法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形 是菱形；③四边形 的面积占正方 形 面积的 ．正确的有 ．①③ B．①② ．只有① D．②③ 【分析】首先根据正方形的性质可判定 ， 、 ， 均为等腰直角三角形，再判定 是 的中位线， 为 的中位线， 为 的中位线，据此可判定 、 均 为直角三角形，据此可对说法①进行判定； 根据三角形的中位线得 ， ，由 可得 ，据此可对说法②进行判定； 设 ，则 ， ， ， ，然后分别求出正方形的面积和四边形 的面 积即可对说法③进行判定． 【解答】解： 四边形 为正方形， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ， ， ， ， ， 、 ， 均为等腰直角三角形， 点 ， 分别是 ， 的中点， 是 的中位线， 为等腰直角三角形， ， ， 连接 ， 则点 ， ， ， 在同一条直线上， 点 为 的中点，点 为 的中点， 为 的中位线， ， ， 又 ， 为等腰直角三角形， 点 为 的中点， ， 点 为 的中点， 又 点 为 的中点， 为 的中位线， ， ， ， 为等腰直角三角形， 综上所述：说法①正确； ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm ， 四边形 不是菱形，故说法②不正确； 设 ，则 ， ， ， ， ， 四边形 为梯形， ， 说法③不正确． 综上所述：说法正确的只是①． 故选： ． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，梯形的判定，正方形的面积、梯形的面积等 知识点，熟练掌握正方形的性质是解决文题的关键． 考点四、平面图形 1 平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙， 不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺 2 平面图形镶嵌的条件： (1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数在正多边形里只有 正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌 (2)种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： ①个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°； ②个正多边形的边长相等，或其中一个或个正多边形的边长是另一个或个正多边形的边长的整数倍 典例15：（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已 选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 4 答不唯一 ．（填一种即可） 【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答． 【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°， 3×60°+2×90° ∵ ＝360°， ∴正四边形可以， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm 正六边形的每个内角是120°， 2×60°+2×120° ∵ ＝360°， ∴正六边形可以， 正十二边形的每个内角是150°， 1×60°+2×150° ∵ ＝360°， ∴正十二边形可以， 故答为：4 答不唯一． 【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角 加在一起恰好组成一个周角． 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：慕学舟 址：muxuezutbm