2023年高考数学试卷（北京）（解析卷）

1/28 2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷满分150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合 ，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意， ， ， 根据交集的运算可知， . 故选：A 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 1/28 【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ， 由共轭复数的定义可知， . 故选：D 3. 已知向量 满足 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1【答案】B 2/28 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量 满足 ， 所以 . 故选：B 4. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可. 【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减，故A 错误； 对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减，故B 错误； 对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递增，故C 正确； 对于D，因为 ， ， 显然 在 上不单调，D 错误. 2/28 故选：C. 5. 的展开式中 的系数为（ ）． A. B. C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】【分析】写出 的展开式的通项即可 3/28 【详解】 的展开式的通项为 令 得 所以 的展开式中 的系数为 故选：D 【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单. 6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为5，则 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上， 所以 到准线 的距离为 ， 又 到直线 的距离为 ， 所以 ，故 . 故选：D. 7. 在 中， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为 ， 3/28 所以由正弦定理得 ，即 ，则 ，故 ， 4/28 又 ，所以 . 故选：B. 8. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证 明充分性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为 ，且 ， 所以 ，即 ，即 ，所以 . 所以“ ”是“ ”的充要条件. 解法二： 充分性：因为 ，且 ，所以 ， 4/28 所以 ， 所以充分性成立； 必要性：因为 ，且 ， 所以 ，即 ，即 ，所以 . 所以必要性成立.所以“ ”是“ ”的充要条件. 解法三： 充分性：因为 ，且 ， 5/28 所以 ， 所以充分性成立； 必要性：因为 ，且 ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以必要性成立. 所以“ ”是“ ”的充要条件. 故选：C 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之 美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 的夹角的正 切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线面角的定义求得 ，从而依次求 ， ， ， ， 5/28 再把所有棱长相加即可得解. 【详解】如图，过 做 平面 ，垂足为 ，过 分别做 ， ，垂足分别 为 ， ，连接 ， 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 6/28 和 ， 所以 . 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，. 同理： ，又 ，故四边形 是矩形， 所以由 得 ，所以 ，所以 ， 所以在直角三角形 中， 在直角三角形 中， ， ， 又因为 ， 所有棱长之和为 . 故选：C 10. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 B. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 C. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立 D. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立 【答案】B 【解析】 6/28 【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B 的正误. 法2：构造 ，利用导数求得 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项 所在区间，从而判断 的单调性；对于A，构造 ，判断得 ，进而取 推得 不恒成立；对于B，证明 所在区间同时证得后续结论； 对于C，记 ，取 推得 不恒成立；对于D，构造 7/28 ，判断得 ，进而取 推得 不恒成立. 【详解】法1：因为 ，故 ， 对于A ，若 ，可用数学归纳法证明： 即 ， 证明：当 时， ，此时不等关系 成立； 设当 时， 成立， 则 ，故 成立， 由数学归纳法可得 成立. 而 ， ， ，故 ，故 ， 故 为减数列，注意 故 ，结合 ， 所以 ，故 ，故 ， 若存在常数 ，使得 恒成立，则 ， 故 ，故 ，故 恒成立仅对部分 成立， 故A 不成立. 7/28 对于B，若 可用数学归纳法证明： 即 ， 证明：当 时， ，此时不等关系 成立；设当 时， 成立， 则 ，故 成立即 由数学归纳法可得 成立. 8/28 而 ， ， ，故 ，故 ，故 为增数列， 若 ，则 恒成立，故B 正确. 对于C，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ， 证明：当 时， ，此时不等关系成立； 设当 时， 成立， 则 ，故 成立即 由数学归纳法可得 成立. 而 ，故 ，故 为减数列， 又 ，结合 可得： ，所以 ， 若 ，若存在常数 ，使得 恒成立， 则 恒成立，故 ， 的个数有限，矛盾，故C 错误. 对于D，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ， 证明：当 时， ，此时不等关系成立； 8/28 设当 时， 成立，则 ，故 成立 由数学归纳法可得 成立. 而 ，故 ，故 为增数列， 又 ，结合 可得： 9/28 ，所以 ， 若存在常数 ，使得 恒成立，则 ， 故 ，故 ，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误. 故选：B. 法2：因为 ， 令 ，则 ， 令 ，得 或 ； 令 ，得 ； 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 令 ，则 ，即 ，解得 或 或 ， 注意到 ， ， 所以结合 的单调性可知在 和 上 ，在 和 上 ， 对于A，因为 ，则 ，当 时， ， ，则 ， 9/28 假设当 时， ， 当 时， ，则 ， 10/28 综上： ，即 ， 因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列， 因为 ， 令 ，则 ， 因为 开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上单调递减，故 ， 所以 在 上单调递增，故 ， 故 ，即 ， 假设存在 常数 ，使得 恒成立， 取 ，其中 ，且 ， 因为 ，所以 ， 上式相加得， ， 则 ，与 恒成立矛盾，故A 错误； 对于B，因为 ， 当 时， ， ， 假设当 时， ，当 时，因为 ，所以 ，则 ， 10/28 所以 ， 又当 时， ，即 ， 假设当 时， ， 当 时，因为 ，所以 ，则 ， 11/28 所以 ， 综上： ， 因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列， 此时，取 ，满足题意，故B 正确； 对于C，因为 ，则 ， 注意到当 时， ， ， 猜想当 时， ， 当 与 时， 与 满足 ， 假设当 时， ， 当 时，所以 ， 综上： ， 易知 ，则 ，故 ，所以 ， 因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列， 11/28 假设存在常数 ，使得 恒成立， 记 ，取 ，其中 ， 则 ， 12/28 故 ，所以 ，即 ， 所以 ，故 不恒成立，故C 错误； 对于D，因为 ， 当 时， ，则 ， 假设当 时， ， 当 时， ，则 ， 综上： ， 因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列， 因为 ， 令 ，则 ， 因为 开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上单调递增，故 ， 所以 ， 故 ，即 ， 假设存在常数 ，使得 恒成立，取 ，其中 ，且 ， 12/28 因为 ，所以 ， 上式相加得， ， 则 ，与 恒成立矛盾，故D 错误. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合 放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立. 二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分． 13/28 11. 已知函数 ，则 ____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数 ，所以 . 故答案为 ：1 12. 已知双曲线C 的焦点为 和 ，离心率为 ，则C 的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线 的实半轴、虚半轴长，再写出 的方程作答. 【详解】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半 焦距 ， 由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ， 所以双曲线 的方程为 . 故答案为： 13. 已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p 为 假命题的一组 的值为 __________， _________． 13/28 【答案】 ①. . ② 【解析】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为 在 上单调递增，若 ，则 ， 取 ， 则 ，即 ， 14/28 令 ，则 ， 因为 ，则 ， 即 ，则 . 不妨取 ，即 满足题意. 故答案为： . 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”． 已知9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 的数列 ，该数列的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且 ，则 ___________；数列 所有项的和为____________． 【答案】 ①. 48 . ②384 【解析】 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解 ，进而可求得结果；方法二：根 据等比中项求 ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3 项的公差为 ，后7 项公比为 ， 则 ，且 ，可得 ， 则 ，即 ，可得 ，空1：可得 ， 空2： 方法二：空1：因为 为等比数列，则 ， 14/28 且 ，所以 ； 又因为 ，则 ； 空2：设后7 项公比为 ，则 ，解得 ， 15/28 可得 ， 所以 . 故答案为：48；384. 15. 设 ，函数 ，给出下列四个结论： ① 在区间 上单调递减； ②当 时， 存在最大值； ③设 ，则 ； ④设 ．若 存在最小值，则a 的取值范围是 ． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先分析 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取 ，结合图像即可判断；对于②，分 段讨论 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 的范围；对于④，取 ，结合 图像可知此时 存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意， ， 当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像 15/28 （即半圆）； 当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取 ，则 的图像如下， 16/28 显然，当 ，即 时， 在 上单调递增， 故①错误； 对于②，当 时， 当 时， ； 当 时， 显然取得最大值 ； 当 时， ， 综上： 取得最大值 ，故②正确； 对于③，结合图像，易知在 ， 且接近于 处， 的距离最小， 当 时， ，当 且接近于 处， ， 此时， ，故③正确； 对于④，取 ，则 的图像如下， 16/28 因为 ， 17/28 结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在 ， 同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ， 此时，因为 的斜率为，则 ，故直线 的方程为 ， 联立 ，解得 ，则 ， 显然 在 上，满足 取得最小值， 即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 的图像，特别是当 时， 的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ． 17/28 （1）求证： 平面PAB； （2）求二面角 的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 18/28 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得 ，再利用勾股定理证得 ，从而利用线面垂直 的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面 的法向量，再利用空间向 量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1 详解】 因为 平面 平面 ， 所以 ，同理 ， 所以 为直角三角形， 又因为 ， ， 所以 ，则 为直角三角形，故 ， 又因为 ， ， 所以 平面 . 【小问2 详解】 由（1） 平面 ，又 平面 ，则 ， 以 为原点， 为 轴，过 且与 平行的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图， 18/28 则 ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 令 ，则 ，所以 ， 19/28 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 所以 ， 又因为二面角 为锐二面角， 所以二面角 的大小为 . 17. 设函数 ． （1）若 ，求 的值． （2）已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中 选择一个作为已知，使函数 存在，求 的值． 条件①： ；条件②： ； 条件③： 在区间 上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分． 【答案】（1） . （2）条件①不能使函数 存在；条件②或条件③可解得 ， . 【解析】 19/28 【分析】（1）把 代入 的解析式求出 ，再由 即可求出 的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 的解析式化简，根据 在 上的单调性及 函数的最值可求出 ，从而求出 的值；把 的值代入 的解析式，由 和 即可求 出 的值；若选条件③：由 的单调性可知 在 处取得最小值 20/28 ，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【小问1 详解】 因为 所以 ， 因为 ，所以 . 【小问2 详解】 因为 ， 所以 ，所以 的最大值为，最小值为 . 若选条件①：因为 的最大值为，最小值为 ，所以 无解，故条件①不 能使函数 存在； 若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ， 所以 ,所以 , , 所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，因为 ，所以 . 20/28 所以 ， ； 若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 处取得最小值 ，即 . 21/28 以下与条件②相同． 18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40 天的价格变化数据，如下表所示．在 描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一 天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1 天到第20 天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21 天到第40 天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． （1）试估计该农产品价格“上涨”的概率； （2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4 天，试估计该农产品价格在这4 天中2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率； （3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41 天该农产品价格“上涨”“下跌” 和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案】（1） （2） （3）不变 【解析】 【分析】（1）计算表格中的 的次数，然后根据古典概型进行计算； （2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算； （3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第 天的情况. 【小问1 详解】 根据表格数据可以看出， 天里，有 个 ，也就是有 天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： 【小问2 详解】 在这 天里，有 天上涨， 天下跌， 天不变，也就是上涨，下跌，不变的 概率分别是 ， ， ， 21/28 于是未来任取 天， 天上涨，天下跌，天不变的概率是 【小问3 详解】 由于第 天处于上涨状态，从前 次的 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 次，不变的有 次，下跌的有 次， 22/28 因此估计第 次不变的概率最大. 19. 已知椭圆 的离心率为 ，A、C 分别是E 的上、下顶点，B，D 分别是 的 左、右顶点， ． （1）求 的方程； （2）设 为第一象限内E 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ． 求证： ． 【答案】（1）