2022年高考数学试卷（北京）（解析卷）

1/18 绝密★本科目考试启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共5 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在 试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集 ，集合 ，则∁∪A=¿（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：∁∪A=¿{x│-3<x≤-2 或1<x<3},，即 ∁∪A=¿（-3，- 2]∪(1,3) 故选：D． 2. 若复数z 满足 ，则 （ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模． 【详解】由题意有 ，故 ． 故选：B． 3. 若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 1/18 【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 2/18 ，解得 ． 故选：A． 4. 己知函数 ，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】 ，故A 错误，C 正确； ，不是 常数，故BD 错误； 故选：C． 5. 已知函数 ，则（ ） A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增 C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为 . 对于A 选项，当 时， ，则 在 上单调递增， A 错； 对于B 选项，当 时， ，则 在 上不单调，B 错； 2/18 对于C 选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C 对；对于 3/18 D 选项，当 时， ，则 在 上不单调，D 错. 故选：C. 6. 设 是公差不为0 的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、 必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数. 若 为单调递增数列，则 ， 若 ，则当 时， ；若 ，则 ， 由 可得 ，取 ，则当 时， ， 所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”； 若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ， 假设 ，令 可得 ，且 ， 当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增 数列. 所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”. 所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件. 故选：C. 7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术， 为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和 的关 系，其中T 表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ） 4/18 A. 当 ， 时，二氧化碳处于液态 B. 当 ， 时，二氧化碳处于气态 C. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】 【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项. 【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A 错误. 当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B 错误. 当 ， 时， 与4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态， 另一方面， 时对应的是非超临界状态，故C 错误. 当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D 8. 若 ，则 （ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求 的值. 【详解】令 ，则 ， 令 ，则 ， 故 ， 4/18 故选：B.9. 已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S 是 及其内部的点构成的集 合．设集合 ，则T 表示的区域的面积为（ ） 5/18 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出以 为球心，5 为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积. 【详解】 设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心， 且 ，故 . 因为 ，故 ， 故 的轨迹为以 为圆心，1 为半径的圆， 而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ， 故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为 故选：B 10. 在 中， ．P 为 所在平面内的动点，且 ， 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积 5/18 的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 6/18 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ， 因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动， 设 ， ， 所以 ， ， 所以 ，其中 ， ， 因为 ，所以 ，即 ； 故选：D 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分． 11. 函数 的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ， 6/18 故函数的定义域为 ； 7/18 故答案为： 12. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方 程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ， 则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ， 所以 ，即 ，解得 ； 故答案为： 13. 若函数 的一个零点为 ，则 ________； _____ ___． 【答案】 ①. 1 . ② 【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可. 【详解】∵ ，∴ ∴ 故答案为：1， 14. 设函数 若 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________． 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1 7/18 【解析】 8/18 【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件， 时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨论可知 或 ， 解得 . 【详解】解：若 时， ，∴ ； 若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题目要求； 若 时， 当 时， 单调递减， ， 当 时， ∴ 或 ， 解得 ， 综上可得 ； 故答案为：0（答案不唯一），1 15. 己知数列 各项均为正数，其前n 项和 满足 ．给出下列四 个结论： ① 的第2 项小于3； ② 为等比数列； ③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项． 其中所有正确结论的 序号是__________．【答案】①③④ 【解析】 【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④； 利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知， ， ， 当 时， ，可得 ； 8/18 当 时，由 可得 ，两式作差可得 ， 所以， ，则 ，整理可得 ， 9/18 因为 ，解得 ，①对； 假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ， 所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意， 故数列 不是等比数列，②错； 当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减 数列，③对； 假设对任意的 ， ，则 ， 所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证 法来进行推导. 三、解答题共6 小愿，共85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在 中， ． （1）求 ； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的 周长. 【小问1 详解】 解：因为 ，则 ，由已知可得 ， 9/18 可得 ，因此， . 【小问2 详解】 10/18 解：由三角形的面积公式可得 ，解得 . 由余弦定理可得 ， ， 所以， 的周长为 . 17. 如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ，M，N 分别为 ，AC 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成 角的正弦值． 条件①： ；条件②： ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证平面 平面 ，从而 可证 平面 . （2）选①②均可证明 平面 ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空 间向量可求线面角的正弦值. 【小问1 详解】 取 的中点为 ，连接 ， 由三棱柱 可得四边形 为平行四边形， 而 ，则 ， 而 平面 ， 平面 ，故 平面 ， 10/18 而 ，则 ，同理可得 平面 ， 11/18 而 平面 ， 故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ， 【 小问2 详解】 因为侧面 为正方形，故 ， 而 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ，故 平面 ， 因为 ，故 平面 ， 因为 平面 ，故 ， 若选①，则 ，而 ， ， 故 平面 ，而 平面 ，故 ， 所以 ，而 ， ，故 平面 ， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ， 故 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，从而 ，取 ， 则 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ， 故 ，而 ，故 ， 而 ， ，故 ， 所以 ，故 ， 而 ， ，故 平面 ， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ， 故 ， 11/18 设平面 的法向量为 ， 12/18 则 ，从而 ，取 ，则 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同 学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获 得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据 （单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证 明） 【答案】（1）0.4 （2） （3）丙 【解析】 【分析】(1) 由频率估计概率即可 (2) 求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望. (3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计 12/18 值最大. 13/18 【小问1 详解】 由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 【小问2 详解】 设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ 【小问3 详解】 丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85 的概率为 ，甲获得9.80 的概率为 ，乙获得9.78 的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数 越多，对丙越有利. 19. 已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ． （1）求椭圆E 的方程； （2）过点 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与 13/18 x 轴交于点M，N，当 时，求k 的值． 14/18 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得 ，即可求出 ，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设 、 ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦 达定理，由直线 、 的方程，表示出 、 ，根据 得到方程， 解得即可； 【小问1 详解】 解：依题意可得 ， ，又 ， 所以 ，所以椭圆方程为 ； 【小问2 详解】解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ， 由 ，消去 整理得 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， ， 直线 的方程为 ，令 ，解得 ， 直线 的方程为 ，令 ，解得 ， 所以 14/18 15/18 ， 所以 ， 即 即 即 整理得 ，解得 20. 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，讨论函数 在 上的单调性； （3）证明：对任意的 ，有 ． 【答案】（1） （2） 在 上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知 在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【小问1 详解】 解：因为 ，所以 ， 即切点坐标为 ， 又 ， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 【小问2 详解】 15/18 解：因为 ， 16/18 所以 ， 令 ， 则 ， ∴ 在 上单调递增， ∴ ∴ 在 上恒成立， ∴ 在 上单调递增.【小问3 详解】 解：原不等式等价于 ， 令 ， ， 即证 ， ∵ ， ， 由（2）知 在 上单调递增， ∴ ， ∴ ∴ 在 上单调递增，又因为 ， ∴ ，所以命题得证. 21. 已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，在 Q 中存在 ，使得 ，则称Q 为 连续可表数列． （1）判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由； （2）若 为 连续可表数列，求证：k 的最小值为4； （3）若 为 连续可表数列，且 ，求证： ． 16/18 【答案】（1）是 连续可表数列；不是 连续可表数列． （2）证明见解析． （3）证明见解析． 【解析】 17/18 【分析】（1）直接利用定义验证即可； （2）先考虑 不符合，再列举一个 合题即可； （3） 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论 时，由 可 知里面必然有负数，再确定负数只能是 ，然后分类讨论验证不行即可． 【 小问1 详解】 ， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知， 不存在 使得 ，所以 不是 连续可表数列． 【小问2 详解】 若 ,设为 ,则至多 ，6 个数字，没有 个，矛盾；当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3 详解】 ，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种， 若 ，则 至多可表 个数，矛盾, 从而若 ,则 ， 至多可表 个数， 而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20 及那个负数 （恰 21 个），这表明 中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同 时 中没有两数相同,设那个负数为 ， 则所有数之和 ， ， ，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个， （仅一种方式）， 与2 相邻， 若 不在两端,则 形式， 若 ，则 （有2 种结果相同，方式矛盾）， ， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式， 17/18 若 ,则 （有2 种结果相同，矛盾）， 同理不行， ，则 （有2 种结果相同，矛盾），从而 ， 由于 ,由表法唯一知3,4 不相邻,、 18/18 故只能 ，①或 ，② 这2 种情形， 对①： ，矛盾， 对②： ，也矛盾，综上 ． 【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为 可表数列核心就是是否存在连续的几项（可 以是一项）之和能表示从到 中间的任意一个值．本题第二问 时，通过和值可能个 数否定 ；第三问先通过和值的可能个数否定 ，再验证 时，数列中的几项如 果符合必然是 的一个排序，可验证这组数不合题．