2021年高考数学试卷（北京）（解析卷）

1/17 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第一部分（选择题共40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意利用并集的定义计算即可. 【详解】由题意可得： ，即 . 故选：B. 2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得： . 故选：D. 3. 已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最 大值为 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 1/17 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，若 在 2/17 上的最大值为 ， 比如 ， 但 在 为减函数，在 为增函数， 故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增， 故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥 ， 其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1， 故其表面积为 ， 故选：A. 3/17 5. 双曲线 过点 ，且离心率为 ， 则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方 程. 【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ， 将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ， 因此，双曲线的方程为 . 故选：A. 6. 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 3/17 【解析】【分析】由已知条件求出 的值，利用等差中项的性质可求得 的值. 4/17 【详解】由已知条件可得 ，则 ，因此， . 故选：B. 7. 函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可 判断最大值. 【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数， 又 ， 所以当 时， 取最大值 . 故选：D. 8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24 小时 的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨【答案】B 4/17 【解析】 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 5/17 【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，高为 的圆锥， 所以积水厚度 ，属于中雨 故选：B. 9. 已知圆 ，直线 ，当 变化时，截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为 ，半径为2， 则圆心到直线的距离 ， 则弦长为 ， 则当 时，弦长取得最小值为 ，解得 . 故选：C. 10. 数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解. . 5/17 【详解】若要使n 尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，不妨设数列 是首项为3，公差为1 的等 差数列，其前n 项和为 ， 则 ， ， ， 所以n 的最大值为11. 6/17 故选：C. 第二部分（非选择题共110 分） 二、填空题5 小题，每小题5 分，共25 分． 11. 展开式中常数项为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 的展开式的通项 令 得常数 项为 . 考点：二项式定理. 12. 已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是______ _；作 轴于 ，则 _______． 【答案】 ①. 5 . ② 【解析】 【分析】根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 . 【详解】因为抛物线的方程为 ，故 且 . 因为 ， ，解得 ，故 ， 所以 ， 故答案为：5， . 13. ， ， ，则 _______； _______． 6/17 【答案】 ①. 0 . ②3【解析】 【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】 ， ， ， 7/17 . 故答案为：0；3. 14. 若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ___． 【答案】 （满足 即可） 【解析】 【分析】根据 在单位圆上，可得 关于 轴对称，得出 求解. 【详解】 与 关于 轴对称， 即 关于 轴对称， ， 则 ， 当 时，可取 的一个值为 . 故答案为： （满足 即可）. 15. 已知函数 ，给出下列四个结论： ①若 ，则 有两个零点； ② ，使得 有一个零点； ③ ，使得 有三个零点； 7/17 ④ ，使得 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支 分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确； 对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ， 8/17 对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ， 所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确； 对于③，当直线 过点 时， ，解得 ， 所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点， 若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点， 直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解， 因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误； 对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ， 对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ， 所以，当 时，函数 有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 8/17 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的 零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； 9/17 （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知在 中， ， ． （1）求 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上 中线的长度． ① ；②周长为 ；③面积为 ； 【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1） ，则由正弦定理可 得 ， ， ， ， ， ，解得 ； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ， 与 矛盾，故这样的 不存在； 的 9/17 若选择②：由（1）可得 ， 设 的外接圆半径为 ， 则由正弦定理可得 ， ， 则周长 ， 解得 ，则 ， 由余弦定理可得 边上的中线的长度为： 10/17 ； 若选择③：由（1）可得 ，即 ， 则 ，解得 ， 则由余弦定理可得 边上的中线的长度为： . 17. 已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ． （1）证明：点 为 的中点； （2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 10/17 【分析】(1)首先将平面 进行扩展，然后结合所得的平面与直线 的交点即可证得题中的结论； (2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数 的值. 【详解】(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ， 由于 为正方体， 为中点，故 ， 从而 四点共面，即平面CDE 即平面 ， 据此可得：直线 交平面 于点 ， 当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合， 11/17 即点 为 中点. (2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方形，建立空间直角坐标系 ， 不妨设正方体的棱长为2，设 ， 则： ， 从而： ， 设平面 的法向量为： ，则： ， 令 可得： ， 设平面 的法向量为： ，则： 11/17 ， 令 可得： ， 从而： ， 12/17 则： ， 整理可得： ，故 （ 舍去）. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推 理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的 夹角公式求解.18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1 检测法”，即将k 个人的拭子样本 合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测． 现有100 人，已知其中2 人感染病毒． （1）①若采用“10 合1 检测法”，且两名患者 同一组，求总检测次数； ②已知10 人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X 为总检测次数， 求检测次数X 的分布列和数学期望E(X)； （2）若采用“5 合1 检测法”，检测次数Y 的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)． 【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解； ②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解； （2）求出 ，分类即可得解. 【详解】（1）①对每组进行检测，需要10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10 次； 所以总检测次数为20 次； ②由题意， 可以取20，30， ， ， 则 的分布列: 在 12/17 所以 ； 13/17 （2）由题意， 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p， ， ， 则 ， 若 时， ； 若 时， ；若 时， . 19. 已知函数 ． （1）若 ，求 在 处切线方程； （2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值． 【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ， 最大值为，最小值为 . 【解析】 【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ， 此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ； （2）因为 ，则 ， 13/17 由题意可得 ，解得 ， 故 ， ，列表如下： 14/17 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 . 当 时， ；当 时， . 所以， ， .20. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点P(0，-3)的直线l 斜率为k，交椭圆E 于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y=-3 于点M、N，直 线AC 交y=-3 于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 ，从而可求椭圆的标准方程. （2）设 ，求出直线 的方程后可得 的横坐标，从而可得 ， 联立直线 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 ，从而可求 的范围，注意判别式的 要求. 【详解】（1）因为椭圆过 ，故 ， 因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ， 故椭圆的标准方程为： . （2） 15/17 设 ， 因为直线 的斜率存在，故 ，故直线 ，令 ，则 ，同 理 . 直线 ，由 可得 ， 故 ，解得 或 . 又 ，故 ，所以 又 故 即 ， 综上， 或 21. 定义 数列 ：对实数p，满足：① ， ；② ；③ . 15/17 ， ． （1）对于前4 项2，-2，0，1 的数列，可以是 数列吗？说明理由； （2）若 是 数列，求 值； （3）是否存在p，使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在， 说明理由． 的 16/17 【答案】（1）不可以是 数列；理由见解析；（2） ；（3）存在； ． 【解析】 【分析】(1)由题意考查 的值即可说明数列不是 数列； (2)由题意首先确定数列的前4 项，然后讨论计算即可确定 的值； (3)构造数列 ，易知数列 是 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 的值. 【详解】(1)由性质③结合题意可知 ，矛盾，故前4 项 的数列，不可能是 数列. (2)性质① ， 由性质③ ，因此 或 ， 或 ， 若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾； 若 ，由 有 ，矛盾. 因此只能是 . 又因为 或 ，所以 或 . 若 ，则 ， 不满足 ，舍去. 当 ，则 前四项为:0，0，0，1， 下面用纳法证明 ： 16/17 当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立， 当 时： 若 ，则 ，利用性质③： ，此时可得： ； 否则，若 ，取 可得： ， 而由性质②可得： ，与 矛盾. 17/17 同理可得： ，有 ； ，有 ； ，又因为 ，有 即当 时命题成立，证毕. 综上可得： ， . (3)令 ，由性质③可知： ， 由于 ， 因此数列 为 数列. 由（2）可知: 若 ； ， ， 因此 ，此时 ， ，满足题意. 【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、 新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新 定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”， 掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.