2021-2022学年重庆市育才中学校高二上学期上月第一次月考数学试题Word版含答案

重庆育才中学高2023 届2021-2022 学年（上）第一次 月考 数学试题 2021.10 本试卷为第I 卷（选择题）和第II 试卷（非选择题）两部分， 共150 分，考试时间120 分钟。 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 I卷 一､选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线 的倾斜角为 A．150° B．120° C．60° D．30° 2．椭圆 的焦距是2，则 的值是 A．8 B．5 或3 C．5 D．3 3．已知直线的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则与 的位置 关系是 A． B． C．与 相交但不垂直 D． 或 4．若点 是圆 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 A． B． C． D． 5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长 与短半轴长的乘积，已知椭圆 的面积为 ， 、 分别是 的两个焦点，过 的直 线交 于 、 两点，若 的周长为，则 的离心率为 A． B． C． D． 6．圆 关于直线 对称，则 的最 小值是 A． B． C． D． 7． 已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则 的 最小值为 A． B． C． D． 8． 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题 可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数 ， 的最小值为 A． B． C． D． 二､选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．如果 ， ，那么直线 经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正 确的是 A． B．离心率 C． 面积的最大值为 D．以线段 为直径的圆与直线 相切 11．已知正方体 的棱长为，点 分别是 ， 的中点， 在正 方体内部且满足 ，则下列说法正确的是 A．点 到直线 的距离是 B．点 到平面 的距离是 C．平面 与平面 间的距离为 D．点 到直线 的距离为 12． 已知底面半径为 的圆锥顶点为 ，底面圆心为 ， .点 为 （不含端 点）上的动点，若光线从点 出发，依次经过圆锥的侧面与底面反射后重新回到点 ，则 光线经过路径长度的可能取值为 A． B． C． D． II卷 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知点 是椭圆 上的点，则点 到椭圆的一个焦点的最短距离为_____. 14．已知直线 与直线 垂直，则实数 _____. 15.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内， 到两个定点 距离之比是常数 的点 的轨迹是圆，若两定点 的距离 为3，动点 满足 ，则 点的轨迹围成区域的面积为______________. 16．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 上存在点 使三角形 的面积为 ，则椭圆 的离心率的取值范围是______________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步 骤． 17．（10 分） 已知圆 ，直线 （1）判断直线与圆 的位置关系； （2）若直线与圆 交于 、 两点，且 ，求直线的方程. 18．（12 分） 已知 ， , ， ， 轴为 边中线. （1）求 边所在直线方程； （2）求 内角角平分线所在直线方程. 19．（12 分） 已知 为坐标原点，椭圆 ，其右焦点为 ， 为椭圆 （一象限部分）上一点， 为 中点， ， 面积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过 做圆 两条切线，切点分别为 ，求 的值. 20.（12 分） 在四棱锥P ABCD  中，底面ABCD 是矩形，PA 平 面ABCD ， 4 PA AD  ， 2 AB ， 线段AC 的中 点为O ，点M 为PD 上的点，且 . （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求二面角 平面角的余弦值. 21．（12 分） 在平面直角坐标系 中，已知点 ，圆 与 轴的正半轴交点为 ，过点 的直线与圆 交于不同两点 、 . （1）动圆过点 且与圆 外切，求动圆圆心 的轨迹方程（只需求出轨迹方程，无需限 制范围）； （2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，求证： 为定值. 22．（12 分） 如图，已知长方体 底面是边长为 的正方形，侧棱长为 ，有一圆 柱以平面 、平面 分别为上下底面，且其侧面与长方体除开平面 、 平面 后剩余的四面均相切. 点 为平面 截 圆柱所得椭圆上的一动点. （1）求平面 截圆柱所得椭圆的面积； （2）求 的最大值. 重庆育才中学高2023 届2021-2022 学年（上）第一次 月考 数学答案 一、选择题 1.A 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.D 8.A 9.ACD 10.AD 11.BCD 12.AC 二、填空题 13. 14. 或 15. 16. 三、解答题 17、已知圆 ，直线 （1）判断直线与圆 的位置关系； （2）若直线与圆 交于 、 两点，且 ，求直线的方程. 解析：（1）直线过定点 ，由于 ，故定点在圆的内部，则直线与圆 相割. (2)由条件知，圆心 道直线的距离为，则 ，所求直线方程 为 . 18、已知 ， , ， ， 轴为 边中线. （1）求 边所在直线方程； （2）求 内角角平分线所在直线方程. 解析：（1）设 交 轴于点 ，根据条件 为等边三角形，则 ， 为 中点，则 .故 直线方程为 . （2） 内角角平分线斜率为 ，故 .（也 可以通过方向向量来处理、角平分线定理也行） 19、已知 为坐标原点，椭圆 ，其右焦点为 ， 为 椭圆（一象限部分）上一点， 为 中点， ， 面积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过 做圆 两条切线，切点分别为 ，求 的值. 解析：（1）设椭圆左焦点为 ，则 , ，则 ,又 ，则 ，则 ，故 ， 则椭圆方程为 . （2） ，则 ，代入椭圆 ，故 ， ，设 ，则 . 20、在四棱锥P ABCD  中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ， 4 PA AD  ， 2 AB ， 线段AC 的中点为O ，点M 为PD 上的点， 且 . （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求二面角 平面角的余弦值. 【解析】 （1）由于 ，则 ，又由于PA 平面ABCD ，则 ，又 ，则 平面 ，则 ，故 平面PCD ，则平面ABM ⊥平面PCD . （2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，,由（1）可知 平面PCD ，且 为 的中点， 故 ，由于 ，则 平面 ，则 为平面 的法向量，则 为平面 的法向量， 设 平 面 的 法 向 量 为 ， 由 于 ， ，则 ，令 ， 则 平面 的法向量，设平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则 . 21 在平面直角坐标系 中，已知点 ，圆 与 轴的正半轴交点为 ，过点 的直线与圆 交于不同两点 、 . （1）动圆过点 且与圆 外切，求动圆圆心 的轨迹方程（只需求出轨迹方程，无需限 制范围）； （2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，求证： 为定值. 解析：（1）设 ，则 ，故有 ， ，两边平方： ，两边继续平方： . （2）设 ， ， ，设 的直线方程为： . 22、如图，已知长方体 底面是边长为 的正方形，侧棱长为 ，有 一圆柱以平面 、平面 分别为上下底面，且其侧面与长方体除开平面 、平面 后剩余的四面均相切. 点 为平面 截圆柱所得椭圆上的一 动点. （1）求平面 截圆柱所得椭圆的面积； （2）求 的最大值. 解析：（1） 设平面 与底面 所成二面角为 则 ，由于所截椭圆在底面上的投 影刚好是圆柱的底面，由面积射影的方法可知. 则 （2 ）过 作 ，由于 ，则 平面 x y B B A D1 C1 E P ，在直角 中，容易知道 . 取平面 建立如图所示的直角坐标系，椭圆方程为 ， ， ，设 其中 由于 ，故 的最大值当且仅当 时取得. 则