重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

秘密★启用前 2022~2023 学年重庆一中上期学情调研 高一数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．过两点 和 的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．设某厂去年的产值为1，从今年起，若该厂计划每年的产值比上年增长8％，则从今年起到第十年，该 厂这十年的总产值为（ ） A． B． C． D． 3．求过两点 ，且圆心在直线 上的圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 4．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 5．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 6．某种汽车安全行驶的稳定性系数 随使用年数的变化规律是 ，其中 是正常数．经检测， 当 时， ，则当稳定性系数降为 时，该种汽车已使用的年数为（ ）(结果精确到1，参 考数据： ， ) A．10 年 B．11 年 C．12 年 D．13 年 7．已知 ，则 （ ） A． B． C．1 D．3 8．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 可定 义为 .2021 年6 月22 日下午甲市发生里氏3.1 级地震，2020 年9 月2 日乙市发生里氏4.3 级地震， 则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（ ） A．2 B．10 C．100 D．10000 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．下列函数中，在区间 内单调递增的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数 ，则（ ） A． 的最大值为 B． 的图象关于点 对称 C． 图象的对称轴方程为 D． 在 上有4 个零点 11．对于方程 ，下列说法中正确的是（ ） A．当 时，方程表示椭圆 B．当 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 C．存在实数 ，使该方程表示双曲线 D．存在实数 ，使该方程表示圆 12．设函数 ，则下列结论正确的是（ ） A．当 时， B．当 时， 有两个极值点 C．当 时， 在 上不单调 D．当 时，存在唯一实数m 使得函数 恰有两个零点 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．设函数 ，则 ___________. 14．设m 为实数，若函数 是偶函数，则m 的值是_______． 15．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t 分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某 物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1) 16．已知在一次降雨过程中，某地降雨量 （单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为 ，则在 时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min. 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知集合 ，集合 ． (1)求 ； (2)设 ，若 ，求实数 的取值范围． 18．（1）已知 ，若 是第二象限角，求 的值； （2）计算： ． 19．已知数列 是等差数列，且 ， . (1)若数列 中依次取出第2 项，第4 项，第6 项，…，第 项，按原来顺序组成一个新数列 ，试求 出数列 的通项公式； (2)令 ，求数列 的前 项和 . 20．已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C 上. (1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程； (2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A、 两点，且线段AB 的中点为 ，求直线l 的方程及 . 21．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格 的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱 数一定. （1）若两次购买这种物品的价格分别为元， 元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物 品平均价格分别为多少； （2）设两次购买这种物品的价格分别为 元， 元 ，问甲、乙谁的购物比较经济合算. 22．若不等式 的解集是 ． (1)解不等式 ； (2)b 为何值时， 的解集为R． 参考答案 1．D 斜率 ，又倾斜角 ， ， ． 故选：D． 2．C 因为去年的产值为1，该厂计划每年的产值比上年增长8％， 所以从今年起到第十年，该厂这十年的产值构成一个首项为 ，公比为 的等比数列， 所以该厂这十年的总产值为 故选：C 3．D 设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|， 即 ，解得 ， 可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为 ． 故选：D． 4．A 在同一直角坐标系中画出 的图象如下： 所以 ． 故选：A． 5．C 分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2 个交点，故f(x)在定义域中零点 个数为2. 6．D 由 ，得 ， 令 ，得 ， 两边取常用对数，得 ， 所以 ． 故选:D. 7．B 设 ，则 ，∴ ， ∴ ． 故选：B． 8．C 设乙市地震所散发出来的能量为 ，甲市地震所散发出来的能量为 ， 则 ， ，两式作差得 ， 故 ，则 . 故选：C. 9．CD 对于A：因为 在 单调递减， 所以 在 内单调递减，故A 错误． 对于B： 的对称轴为 ，开口向上， 在 上单调递减，在 上单调递增，故B 错误． 对于C：因为 在 单调递增， 所以 在区间 内单调递增，故C 正确． 对于D：因为 在定义域 上单调递增， 所以 在区间 内单调递增，故D 正确． 故选：CD． 10．ACD ， 则 的最大值为 ，A 正确； 易知 图象的对称中心的纵坐标为 ，B 错误； 令 ，得 ， 此即 图象的对称轴方程，C 正确； 由 ，得 ， 当 时， ，作出函数 的图象，如图所 示： 所以方程 在 上有4 个不同的实根， 即 在 上有4 个零点，D 正确. 故选：ACD. 11．BCD 方程 ，当 ，即 或 时表示椭圆，故A 不正确； 当 时， ，则方程表示焦点在 轴上的椭圆，故B 正确； 当 ，即 或 时，方程表示双曲线，故C 正确； 当 ，即 时，方程为 ，表示圆，故D 正确. 故选: BCD 12．CD 的定义域为 ， ①当 时，易得 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为 ， 没有最小值，故A 错误，B 错误； ②当 时，易得 在 上单调递增，在 上单调递减，故C 正确； ③当 时，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递 减， ， ， ， 所以 恰有两个零点 恰有两个解 ， 即 ，令 ，则 ， 设 ，则 ， 单调递减. 由 且 ， 知，存在 使得 易得 在 上单调递增，在 上单调递减， 由 且 ，知存在唯一的 使得 ， 故D 正确. 故选：CD 13． , 故答案为： 14．0 因为函数 是偶函数，所以 ， 所以 ，得 ，所以 ， 故答案为：0. 15．22 解：由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50， 50 ∴ ＝30＋(90－30)e－0.05t， ∴e－0.05t＝ ， ∴－0.05t＝ln ， 0.05 ∴ t＝ln 3， ∴t＝ ＝20×ln 3≈22. 故答案为：22 16． 解：因为 ， ． 故在 时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 mm/min. 故答案为： 17．(1) ，或 ， (2) 18．（1）因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 又因为 是第二象限角，所以 ， ，所以 ． （2） ． 19． （1）等差数列 中， ，解得 ，公差 ， 则 ，因此， ， 依题意， ， 所以数列 的通项公式 ， . （2）由(1)知， ， 则 ， 因此， ， ， 所以 . 20．(1) 的坐标为 ，准线方程为 (2) ， （1） 点 在抛物线 上， ， ， 的坐标为 ，抛物线C 的准线方程为 . （2）由题可知，直线l 经过 与 ， 的斜率 ， 直线l 的方程为 ， 设A，B 的坐标分别为 ， ， 则由抛物线的定义可知 ， 又AB 的中点为 ， ， 21．（1）5， ；（2）乙的购物比较经济合算 . （1）设甲每次购买这种物品的数量为 ，乙每次购买这种物品所花的钱数为 ， 所以甲两次购买这种物品平均价格为， ， 乙两次购买这种物品平均价格为， . （2）设甲每次购买这种物品的数量为 ，乙每次购买这种物品所花的钱数为 ， 所以甲两次购买这种物品平均价格为， ， 乙两次购买这种物品平均价格为 ， ， 所以乙的购物比较经济合算. 22．(1) 或 (2) （1）由题意得 和1 是方程 的两个根，则有 ，解得 ， 所以不等式 化为 ， ， 解得 或 ， 所以不等式的解集为 或 （2）由（1）可知 的解集为R， 所以 ，解得 ， 所以 的取值范围为