河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学 1 南阳一中2022 年秋期高二年级第一次月考 数学学科试题 命题人： 黄晓会：1—16 徐香丽：17—22 一、单选题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分） 1．设圆 2 2 1 : 2 4 4 C x y x y     ，圆 2 2 2 : 6 8 0 C x y x y     ，则圆 1 C ， 2 C 的公切线有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 2． 设a∈R， 则“a＝－2”是“直线l1： ax＋2y－1＝0 与直线l2： x＋ （a＋1） y＋4＝0 平行”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．过点 4, 2 P 且与直线3 4 6 0 x y    垂直的直线方程是（ ） A．4 3 19 0 x y    B．4 3 10 0 x y    C．3 4 16 0 x y    D．3 4 8 0 x y   4．已知点A(1,2)与B(3,3)关于直线 0 ax y b   对称，则a，b 的值分别为（ ） A．2， 13 2  B．－2， 7 2  C．－2，3 2 D．2，13 2 5．若直线l 将圆 2 2 4 2 0 x y x y     平分，且不通过第四象限，则直线l 斜率的取值范围是( ) A．  0,1 B． 1 0, 2       C．1 ,1 2       D．  0,2 6．已知实数x，y 满足2 5 0 x y    ，那么 2 2 x y  的最小值为（ ） A．5 B． C． D． 7． 已知   2,4 A ，  10 B , ， 动点P 在直线 1 x 上， 当PA PB  取最小值时， 点P 的坐标为 （ ） A． 8 1, 5        B． 21 1, 5        C．  1,2  D．  1,1  8．已知直线 2 0 l x y    ： 与圆 2 2 : 2 2 0 C x y y m     相离，则实数m 的取值范围是（ ） A．  ,0   B． 1 , 2         C． 1 , 4        D． 1 1 , 2 4         高二数学 2 9．若圆     2 2 : 1 2 2 C x y     关于直线2 6 0 ax by    对称，由点   , P a b 向圆C 作切线，切点 为A，则PA 的最小值是（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 10．下列说法正确的是（ ） (1)在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程   x y a a   R 表示 (2)方程   2 0 mx y m    R 表示的直线的斜率一定存在 (3)直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan (4)经过两点   1 1 1 , P x y ，    2 2 2 1 2 , P x y x x  的直线方程为   2 1 1 1 2 1 y y y y x x x x      A. (1)(4) B. (2)(3) C. (2)(4) D. (1)(3) 11. 曲线 与直线y=k（x﹣2）+4 有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A. ） （  , 12 5 B. 5 3 ( , ] 12 4 C. ] 1 , 12 5 （ D. ] 1 , 4 3 （ 12．已知圆     2 2 : 2 1 1 M x y    ，圆     2 2 : 2 1 1 N x y    ，则下列是M，N 两圆公切线的 直线方程为（ ） (1) y＝0 (2) 3x－4y＝0 (3) 2 5 0 x y    (4) 2 5 0 x y    A. (1)(3)(4) B. (2)(3) C. (1)(2)(4) D. (1)(2)(3) 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.直线 3 1 0 x y   的倾斜角为 . 14． 已知点P （m， n） 在圆     2 2 : 2 2 9 C x y     上运动， 则    2 2 2 1 m n    的最大值为______． 15．已知直线l 过点  2,4 P ，且与圆 2 2 : 4 O x y   相切，则直线l 的方程为______． 16.已知直线      1 1 1 0 a x a y a a      R 过定点A，若线段BC 是圆D： 2 2 4 6 12 0 x y x y      的直径，则AB AC  ______． 高二数学 3 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （本小题10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1 : 1 0 l ax by   ，2 :( 2) 0 l a x y a     . （1）求直线2 l 经过定点的坐标； （2）当 4 b  且1 2 l l // 时，求实数a 的值. 18． （本小题12 分）已知直线:(2 1) (1 ) 11 7 0 l x y          ， R  . (1)若直线l 与直线1 : (1 ) 1 0 l x y     垂直，求实数的值； (2)若直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2 倍，求直线l 的方程. 19． （本小题12 分）已知 的顶点  3,4 B ，AB 边上的高所在直线为1 l ： 3 0 x y   ，BC 边上的中线所在直线为2 l ： 3 7 0 x y    ，E 为AB 的中点. (1)求点E 的坐标； (2)求过点E 且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程. 高二数学 4 20． （本小题12 分） 已知线段AB 的端点B 的坐标是  5,1 ， 端点A 在圆   2 2 1 : 1 ( 3) 4 C x y     上 运动． (1)求线段AB 的中点P 的轨迹 2 C 的方程； (2)设圆 1 C 与曲线 2 C 的两交点为M，N，求线段MN 的长； (3)若点C 在曲线 2 C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ  的最小值． 21． （本小题12 分）已知圆 2 2 1 : 6 8 21 0 C x y x y      ． (1)若直线1 l 过定点(1,1) A ，且与圆C 相切，求直线1 l 的方程； (2)若圆D 的半径为3，圆心在直线2 : 2 0 l x y    上，且与圆C 相切，求圆D 的方程． 22． （本小题12 分）已知圆C 经过点  5 2 A  ， 和  3 2 B ，，且圆心C 在直线1 l ： 2 0 x y    上． (1)求圆C 的标准方程； (2)已知过点   3 3 M   ， 的直线2 l 被圆C 所截得的弦长为8，求直线2 l 的方程； (3)圆C 关于直线 1 y 的对称圆是圆Q，设   1 1 M x y ， 、   2 2 P x y ， 是圆Q 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为 1 M ，点M 关于x 轴的对称点为 2 M ，如果直线 1 PM 、 2 PM 与y 轴分别交于   0 m ， 和  0 n ， ，问m n  是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 高二数学 5 南阳一中2022 年秋期高二年级第一次月考 数学学科试题答案 1． B 【详解】 由题意， 得圆     2 2 1 2 : 3 1 2 C x y     ， 圆心   1 1, 2 C  ， 圆     2 2 2 2 : 5 3 4 C x y     ， 圆心   2 3,4 C  ，∴ 1 2 5 3 2 13 5 3 C C    ，∴ 1 C 与 2 C 相交，有2 条公切线．故选：B． 2．A【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0 与直线l2：x－y＋4＝0 平行； 若“直线l1：ax＋2y－1＝0 与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0 平行”，∴( 1) 2 0 a a    ，解得a＝ －2 或a＝1，∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0 与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0 平行”的充 分不必要条件．故选：A 3．B【详解】由题设，与直线3 4 6 0 x y    垂直的直线斜率为 4 3  ，且过 4, 2 P ， 所以 4 2 ( 4) 3 y x    ，整理得4 3 10 0 x y    .故选：B 4．A【详解】易知 1 2 AB k  ，则直线 0 ax y b   的斜率为-2，所以 2 a ，即 2 a  ．又AB 的中点坐标为 5 2, 2      ，代入2 0 x y b    ，得 13 2 b  .故选：A. 5．B【详解】由圆的方程 2 2 4 2 0 x y x y     ，可知圆心坐标为(2,1) ，因为直线l 将圆平分，所 以直线l 过圆心(2,1) ，又由直线l 不经过第四象限，所以直线l 的斜率的最小值为0 ，斜率的最 大值为 max 1 0 1 2 0 2 k     ，所以直线l 的斜率的取值范围是 1 [0, ] 2 ，故选B. 6．A【详解】解：     2 2 2 2 0 0 x y x y      可以看作直线2 5 0 x y    上的动点  x y ， 与原点 的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离， 则 2 2 x y  的最小值为 2 2 2 5 5 2 +1       ，故选：A 7．A【详解】点B 关于直线 1 x 对称的点为   1 3,0 B  ． = PA PB  1 1 PA PB AB   ,当且仅当当A、P、 1 B 三点共线时，等号 成立．此时PA PB  取最小值，直线 1 AB 的方程为   4 0 3 2 ( 3) y x     ， 高二数学 6 即   4 3 5 y x   ，令 1 x ，得 8 5 y  ． 所以点P 的坐标为： 8 1, 5        8．D【详解】由 2 2 2 2 0 x y y m     ，得   2 2 1 2 1 x y m    ，∵直线 2 0 l x y    : 与圆 2 2 : 2 2 0 C x y y m     相离，∴ 2 1 0, 0 1 2 2 1 2 m m          解得 1 1 2 4 m    ． ∴实数m 的取值范围是 1 1 , 2 4        ，故选:D． 9．B【详解】由题意知，直线2 6 0 ax by    过圆心   1,2 C  ，即 2 2 6 0 a b     ，化简得   3 0, , a b P a b  在 3 0 x y   上，如图， 为使PA 最小，只需圆心   1,2 C  与直线 3 0 x y   上的点的距离最 小，如图所示： 1 2 3 3 2 2 d     所以PA 的最小值为  2 3 2 2 4   ，故选：B 10．C【详解】对于(1)选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如 2 y x  但不 能用   x y a a   R 表示，故(1)选项错误； 对于(2)选项，方程   2 0 mx y m    R 表示的直线的斜率为－m，故(2)选项正确； 对于(3)选项，若 90  ，则直线斜率不存在，故(3)选项错误； 对于(4)选项，经过两点   1 1 1 , P x y ，    2 2 2 1 2 , P x y x x  的直线斜率 2 1 2 1 y y k x x    ，而 1 2 x x  ，则直 线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，(4)选项正确.故选：C 11. B 【详解】由 2 1 4 y x   可化为 2 2 ( 1) 4, 1 x y y    ，所以曲 线为以(0,1)为圆心，2 为半径的圆 1 y 的部分． 直线 ( 2) 4 y k x    过定点(2,4) P ， 由图知， 当直线经过 ( 2,1) A  点时恰与曲线有两个交 点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．且 4 1 3 2 2 4 AP k     ， 由直线与圆相切得 2 1 4 2 2 1 k d k      ，解得 5 12 k  ，则实数k 的取 值范围为5 3 ( , ] 12 4 ． 高二数学 7 12.答案：A【详解】圆M 的圆心为M（2，1） ，半径1 1 r ．圆N 的圆心为N（－2，－1） ，半 径2 1 r ．圆心距 2 5 2 d   ，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O 对称，则有两 条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离 2 2 1 1 1 k k    ，解得k＝0 或 4 3 k  ， 对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN 平行，而 1 : 2 MN l y x  ，设切线方程 为 1 2 y x b   ，则 1 1 1 4 b   ，解得 5 2 b  ，切线方程为 2 5 0 x y    ， 2 5 0 x y    ． 13．5 6  解析：直线 3 1 0 x y   的斜率 3 3 k  设其倾斜角为，故可得tan 3 3  ， 又   0,    ，故 5 6   . 14．64【详解】解：由题得圆心C（2，2） ，半径r＝3．    2 2 2 1 m n    表示圆C 上的点P 到 点   2, 1 M   的距离的平方， 因为 5 CM ， 所以 max 5 3 8 PM    ， 即    2 2 2 1 m n    的 最大值为64．故答案为：64 15．3 4 10 0 x y    或 2 x  【详解】因为 2 2 2 4 20 4    ，所以点P 在圆外． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为   4 2 y k x    ，即 为2． 2 4 0 kx y k     ．由题意知圆O 的圆心坐标为O（0，0） ，半径 因为圆心到切线的距离等于半径，所以 2 2 4 2 1 k k     ，解得 3 4 k  ，故直线l 的方程为 3 4 10 0 x y    ．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 2 x ，也满足条件． 故直线l 的方程为3 4 10 0 x y    或 2 x ．故答案为：3 4 10 0 x y    或 2 x . 16． 7 【详解】 直线      1 1 1 0 a x a y a a      R 可以化为   1 1 0 a x y x y      ， 令 1 0 1 0 x y x y       ，解得 0 1 x y      ，所以点A 的坐标为(0,1)；因为圆D： 2 2 2 3 1 x y ，所 以半径为1， D(2,3)，   2,2 AD  ， 因为线段BC是圆D的直径， 所以 0 DB DC   ， 1 DB DC  ， 高二数学 8 所以    AB AC AD DB AD DC        2 8 1 7 AD AD DB DC DB DC        ． 17.【详解】 （1）∵  2 0 a x y a     ，∴ 2 0 ax x y a     ，∴   1 2 0 a x y x     令 1 0 x  且 2 0 y x   ，则 1 x ， 2 y ，∴对任意a R  ，直线   2 : 2 0 l a x y a     过定点  1, 2  （2）当 4 b  时，直线1 : 4 1 0 l ax y   ，即 1 4 4 a y x   又知直线   2 : 2 0 l a x y a     ，即   2 y a x a    ，1 2 / / l l ，∴ 2 4 a a    且 1 4 a  ，∴ 8 3 a  . 18. （1） 因为直线l 与直线1 : (1 ) 1 0 l x y     垂直， 所以(2 1) 1 (1 )(1 ) 0         ， 解得 0  或 2  .（2）令 0 y  ，得 7 11 2 1 x      ，令 0 x  ， 7 11 1 y      ，由题意知7 11 7 11 2 2 1 1