河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考文科数学试题(1)

河南省中原名校2021-2022 学年高二上学期12 月联考 文科数学试卷 全卷满分150 分，考试用时120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分） 1．直线 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知m，n 表示两条不同直线，α 表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 3．直线 与直线 平行，则的值为（ ） A． B．2 C． D．0 4．无论 取任何实数，直线 恒过一定点，则该定点坐标 为（ ） A. B. C. D. 5．如果ac＜0 且bc＜0，那么直线ax＋by＋c＝0 不通过（ ） A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限 6．已知实数x，y 满足 ，则z =2x -y 的最小值是（ ） A．5 B． C．0 D．-1 7.与直线3x－4y＋5＝0 关于x 轴对称的直线方程为( ) A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0 8.如图，在三棱锥P﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为 等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D 为 AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 9．已知直线ax＋y+1＝0, x＋ay+1＝0 和 x＋y+a＝0 能构成三角形，则a 的 取值范围是 （ ） A．a ≠ - 2 B．a ≠ C．a ≠ - 2 且a ≠ D．a ≠ - 2 且a ≠ 1 10．已知平面上一点 若直线l 上存在点P 使 则称该直线为点 的“相关直线”，下列直线中不是点 的“相关直线”的是（ ） A． B． C． D． 11. 过定点 的直线 与过定点 的直线 交于点 ， 则2 的最大值为（ ） A．1 B．3 C．4 D. 2 12．如图，正方体 的棱长为1，P，Q 分别是线段 和 上 的动点，且满足 ，则下列命题错误的是（ ） A． 的面积为定值 B．当 时，直线 与 是异面直线 C．存在P，Q 的某一位置，使 D．无论P，Q 运动到任何位置，均有 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.直线 过椭圆 的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率 为____________. 14.在直三棱柱 中， ， ， ，则点C 到平 面 的距离为____________. 15.若圆 上，有且仅有一个点到 的距离为1，则 实数 的值为____________. 16.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，A 是C 的 左顶点，点P 在过点 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则双曲线的离心率为____________. 三．解答题（本大题共6 小题，其中17 题10 分，其余每小题12 分，共70 分） 17．（10 分）已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 且2sin2A+3cos（B+C）＝0． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积 ，求b+c 的值． 18．（12 分）已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若Sn表示数列{an}的前n 项和，求数列 的前n 项和Tn． 19．（12 分）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如： 、 、 等． 判断上述三者的大小关系，并证明。 20．（12 分）已知数列{an}中，a1＝1，an+1 ． （1）求证： 为等比数列，并求{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足bn＝（3n 1 ﹣）• ，求数列{bn}的前n 项和为Tn． 21．（12 分）已知关于x 的不等式（ax 1 ﹣）（x+1）＞0． （1）若此不等式的解集为 ，求实数a 的值； （2）若a∈R，解这个关于x 的不等式． 22．（12 分）如图，已知扇形OMN 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10 米，∠MON ，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案： （1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO 形状的道路，道路的一个顶点B 在 弧MN 上，另一顶点A 在半径OM 上，且AB∥ON，求△ABO 周长的最大值； （2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC 的一个 顶点B 在弧MN 上，另两个顶点A、C 在半径OM、ON 上，且AB∥ON，AC⊥ON， 求花圃△ABC 面积的最大值． 数学答案 一．选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分） 1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6. C 7．B 8．B 9．C 10．D 11. C 12. A 二、填空题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分） 13. 14. 15.4 或6 16.3 三．解答题（共6 小题） 17．解：（1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cosA﹣2＝0， 即（2cosA﹣1）（cosA+2）＝0，解得cosA 或cosA＝﹣2（舍去）， 由0＜A＜π，可得A ； （2）由 ，得bc＝20，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝21， 即有（b+c）2﹣2bc﹣2bccos 21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81， 所以b+c＝9． 18．解：（1）公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列． 则： ，即：（3+3d）2＝3（3+12d）， 解得：d＝0 或2（0 舍去）， 所以：an＝3+2（n﹣1）＝2n+1． （2）由于：an＝2n+1，则： n2+2n， 所以： ． 则：Tn ， ， ． 19．证明： ，证明如下： 因为（ ）2 ， 又a，b 是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0， 所以（ ）2 ，当且仅当a＝b 时，取等号，故 ； 因为 （ ）2 0，当且仅当a＝b 时，取等 号， 所以 ； 故 ． 20．证明：（1）由 0，得 1 ， ∴ 3（ ）， ， ∴数列 以为首项，3 为公比的等比数列， 3n﹣1 ， ∴ （n∈N*）， （2） ， 所以 两式相减得 ， 所以 。 21．解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0 的解集为 ， ∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0 的两根是﹣1， ； ∴ a﹣1＝0，∴a＝﹣2； （2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0， ∴a＜0 时，不等式可化为（x ）（x+1）＜0； 若a＜﹣1，则 1，解得﹣1＜x ； 若a＝﹣1，则 1，解得不等式为∅； 若﹣1＜a＜0，则 1，解得 x＜﹣1； a＝0 时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1； 当a＞0 时，不等式为（x ）（x+1）＞0， ∵ 1，∴解不等式得x＜﹣1 或x ； 综上，a＜﹣1 时，不等式的解集为{x|﹣1＜x }； a＝﹣1 时，不等式的解集为∅； ﹣1＜a＜0 时，不等式的解集为{x| x＜﹣1}； a＝0 时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}； 当a＞0 时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x }． 22．解：（1）∵AB∥ON， ，∴ ， 又OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0，）， 在△AOB 中，由正弦定理可知， ， ∴AB ，OA ， ∴△AOB 的周长f（θ） ，θ∈（0，）． 化简得f（θ） ． ∴ 时，△AOB 的周长有最大值为 米． 答：△ABO 周长的最大值为 米； （2）∵图2 中△ABC 与图1 中△ABO 面积相等， 而在△ABO 中，∵OB＝r＝10，AB∥ON， ， ∴ ． 由余弦定理知，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos∠OAB， ∴100＝OA2+AB2+OA•AB≥3OA•AB， ∴OA ，当且仅当OA＝AB 时取“＝”． ∴ 平方米． 答：花圃△ABC 面积的最大值为 平方米，此时OA＝AB 米．