高中物理新教材同步必修第二册 第6章 3　向心加速度

3 向心加速度 [学习目标] 1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速 度公式求解有关问题. 一、匀速圆周运动的加速度方向 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度. 2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的 方向，不改变速度的大小. 二、匀速圆周运动的加速度大小 1.向心加速度公式 an＝或an＝ω 2 r . 2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动. 1.判断下列说法的正误. (1)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0.( √ ) (2)匀速圆周运动的加速度始终不变.( × ) (3)匀速圆周运动是匀变速运动.( × ) (4)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变.( √ ) (5)根据an＝知向心加速度an与半径r 成反比.( × ) (6)根据an＝ω2r 知向心加速度an与半径r 成正比.( × ) 2.在长0.2 m 的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为0.6 m/s 的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为______，向心加速度大小为 ______. 答案 3 rad/s 1.8 m/s2 解析 角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s， 小球运动的向心加速度大小an＝＝ m/s2＝1.8 m/s2. 一、向心加速度及其方向 导学探究 如图1 甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在 细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动. 图1 (1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向； (2)地球和小球加速度的作用是什么？ (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？ 答案 (1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心.小球受到重力、 支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心. (2)由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小. (3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的.匀速圆周运动是 一种变加速曲线运动. 知识深化 对向心加速度及其方向的理解 1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变. 2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的 方向，不改变速度的大小. 3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的 加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动. 4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向 加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以 变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心. 下列关于向心加速度的说法中正确的是( ) A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B.向心加速度的方向不一定指向圆心 C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢 D.匀速圆周运动的向心加速度不变 答案 C 解析 做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A 错误；向心加速 度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，B 错误；向心加速度描述线速度方向变化 的快慢，C 正确；向心加速度的方向是变化的，D 错误. 二、向心加速度的大小 1.向心加速度公式 (1)基本公式：①an＝；②an＝ω2r. (2)拓展公式：①an＝r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv. 2.向心加速度公式的适用范围 向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v 即为那一位置的线 速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆 心. 3.向心加速度与半径的关系(如图2 所示) 图2 如图3 所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω 匀速旋转，A、B 为球体表面上两点，下 列几种说法中正确的是( ) 图3 A.A、B 两点具有相同的角速度 B.A、B 两点具有相同的线速度 C.A、B 两点的向心加速度的方向都指向球心 D.A、B 两点的向心加速度大小之比为2∶1 答案 A 解析 A、B 为球体表面上两点，因此，A、B 两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度 相同，A 正确；如图所示，A 以P 为圆心做圆周运动，B 以Q 为圆心做圆周运动，因此， A、B 两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C 错误；设球的半径为R，则A 运动的半径rA ＝Rsin 60°，B 运动的半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B 错误；＝＝，D 错误. (2019·大同一中期中)如图4 所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为 水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半.A、B、C 三点分别是甲、 乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( ) 图4 A.A、B 两点的线速度大小之比为2∶1 B.B、C 两点的角速度之比为1∶2 C.A、B 两点的向心加速度大小之比为2∶1 D.A、C 两点的向心加速度大小之比为1∶4 答案 D 解析 传动中皮带不打滑，则A、B 两点的线速度大小相等，故vA＝vB，则vA∶vB＝1∶1， A 错误；B、C 两点绕同一轴转动，故B、C 两点的角速度相等，ωB＝ωC，则ωB∶ωC＝ 1∶1，故B 错误；由于A、B 两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由an＝可知A、B 两点的向心加速度大小之比为aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C 错误；由于B、C 两点的角速度相等， 由an＝ω2R 可知B、C 两点的向心加速度大小之比为aB∶aC＝RB∶RC＝1∶2，又aA∶aB＝ 1∶2，所以aA∶aC＝1∶4，故D 正确. 向心加速度公式的应用技巧 向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外 两个物理量之间的关系. (1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同. (2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径 成正比. 针对训练 (2019·深圳中学期中)如图5 所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C 是相互 关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B 带动后轮匀速 转动时，A、B、C 三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( ) 图5 A.1∶1∶8 B.4∶1∶4 C.4∶1∶32 D.1∶2∶4 答案 C 解析 小齿轮A 和大齿轮B 通过链条连接，边缘线速度大小相等，即vA＝vB，小齿轮A 和 后轮C 同轴转动，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度大小an＝可得aA∶aB＝RB∶RA＝ 4∶1；由向心加速度大小an＝ω2R 可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32， 选项C 正确. 1.(向心加速度公式的理解)关于做匀速圆周运动的质点，下列说法中正确的是( ) A.由an＝可知，an与r 成反比 B.由an＝ω2r 可知，an与r 成正比 C.由v＝ωr 可知，ω 与r 成反比 D.由ω＝2πf 可知，ω 与f 成正比 答案 D 2.(向心加速度公式的理解)(多选)(2019·长丰二中高一下学期期末)甲、乙两物体都在做匀速 圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是( ) A.当它们的角速度相等时，乙的线速度小则乙的向心加速度小 B.当它们的周期相等时，甲的半径大则甲的向心加速度大 C.当它们的线速度相等时，乙的半径小则乙的向心加速度小 D.当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，则甲的向 心加速度比乙的小 答案 AB 解析 角速度相等，乙的线速度小，根据公式an＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心 加速度，故A 正确；周期相等，甲的半径大，根据公式an＝()2r，可知甲的向心加速度大于 乙的向心加速度，故B 正确；线速度相等，乙的半径小，根据公式an＝，可知甲的向心加 速度小于乙的向心加速度，故C 错误；线速度相等，在相同的时间内甲与圆心的连线转过 的角度比乙的大，即甲的角速度大，根据公式an＝ωv，可知甲的向心加速度大于乙的向心 加速度，故D 错误. 3.(向心加速度的计算)(2019·山东省实验中学期中)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图 6 所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙 轮边缘上各点的向心加速度大小为( ) 图6 A. B. C. D. 答案 A 解析 三个轮相互不打滑，则甲、丙边缘的线速度大小相等，根据an＝和an＝ω2r，可得a 丙 ＝＝，故A 正确. 4.(向心加速度的计算)(多选)(2019·遂宁市高一下学期期末)如图7 所示，小球A 用轻质细线拴 着在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，当小球A 运动到左侧时，在小球A 的正上方高 度为R 处的小球B 水平飞出，飞出时的速度大小为.不计空气阻力，重力加速度为g，要使小 球A 在运动一周的时间内能与小球B 相碰，则小球A 的向心加速度大小可能为( ) 图7 A. B. C. D. 答案 AD 解析 B 做平抛运动，在竖直方向上有：R＝gt2，得：t＝，则水平方向的位移为x＝v0t＝·＝ R，若要使小球A 在运动一周的时间内能与小球B 相碰，根据几何关系可知，当A 运动或时 恰能与B 相碰，则有：t＝＝或t＝＝，又有an＝R，联立解得：an＝或an＝，故A、D 正确. 考点一 向心加速度的理解 1.关于向心加速度，下列说法正确的是( ) A.由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定 B.匀速圆周运动不属于匀速运动 C.向心加速度越大，物体速率变化越快 D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心 答案 B 解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，A 错误；匀 速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，速 度方向改变，B 正确；向心加速度不改变速率，C 错误；只有匀速圆周运动的加速度才时刻 指向圆心，D 错误. 2.如图1 所示是A、B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A 为双 曲线的一支，由图可知( ) 图1 A.A 物体运动的线速度大小不变 B.A 物体运动的角速度不变 C.B 物体运动的角速度是变化的 D.B 物体运动的线速度大小不变 答案 A 解析 根据an＝知，当线速度v 大小为定值时，an与r 成反比，其图像为双曲线的一支；根 据an＝rω2知，当角速度ω 大小为定值时，an与r 成正比，其图像为过原点的倾斜直线，结 合题图，A 正确，B、C、D 错误. 3.(多选)(2019·贵阳市高一下学期期末)如图2 所示，转动悬空的自行车的脚踏板时，关于大 齿轮、小齿轮、后轮边缘上的A、B、C 三点的向心加速度的说法正确的是( ) 图2 A.A 点的向心加速度比B 点的大 B.A 点的向心加速度比B 点的小 C.B 点的向心加速度比C 点的大 D.B 点的向心加速度比C 点的小 答案 BD 4.如图3 所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果 由于摩擦力的作用，木块的速率不变，那么木块( ) 图3 A.加速度为零 B.加速度恒定 C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心 答案 D 解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正 确，A、B、C 错误. 考点二 向心加速度的计算 5.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它 们的向心加速度之比为( ) A.1∶4 B.4∶1 C.4∶9 D.9∶4 答案 B 解析 设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意＝，＝， 由an＝r 得：＝·2＝×()2＝，B 选项正确. 6.(多选)(2019·肥东高中下学期期末)某实验楼大厅里科普器材中有如图4 所示的传动装置： 在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮.若齿轮的齿很小，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3 倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是( ) 图4 A.小齿轮逆时针匀速转动 B.小齿轮的每个齿的线速度均相同 C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3 倍 D.小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3 倍 答案 CD 解析 小齿轮的运动方向和大齿轮的运动方向一致，小齿轮也是顺时针匀速转动，故A 错 误；大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，小齿轮的每个齿的线速度方向不同，故B 错误； 根据v＝ωr 可知，线速度大小相等，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3 倍，则小齿轮的角 速度是大齿轮角速度的3 倍，故C 正确；根据an＝，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3 倍， 可知小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3 倍，故D 正确. 7.(多选)一质点做匀速圆周运动，其轨迹半径为1 m，转动周期为2 s，则( ) A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s C.线速度大小为π m/s D.加速度大小为π2 m/s2 答案 BCD 8.(多选)如图5 所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω 做匀速圆周运动，θ＝30°，则( ) 图5 A.a、b 两点的线速度相同 B.a、b 两点的角速度相同 C.a、b 两点的线速度大小之比va∶vb＝2∶ D.a、b 两点的向心加速度大小之比aa∶ab＝∶2 答案 BD 解析 球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B 正确；因 为a、b 两点做圆周运动的半径不同，rb＞ra，根据v＝ωr 知vb＞va，A 错误；θ＝30°，设球 半径为R，则rb＝R，ra＝Rcos 30°＝R，故＝＝，C 错误；又根据an＝ω2r 知＝＝，D 正确. 9.如图6 所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速 圆周运动.若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为4.8 m/s，则女 运动员做圆周运动的角速度为________，触地冰鞋做圆周运动的半径为________，向心加速 度大小为________.(π 取3.14，结果均保留三位有效数字) 图6 答案 3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2 解析 男女运动员的转速、角速度是相同的. 由ω＝2πn 得ω＝ rad/s＝3.14 rad/s 由v＝ωr 得r＝＝ m≈1.53 m 由an＝ω2r 得an＝3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2. 10.(多选)如图7 所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为 r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C 三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a1、a2、 a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是( ) 图7 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案 BD 解析 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝可得＝＝，A 错误，B 正确；由于右边两轮共轴 转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得＝＝，C 错误，D 正确. 11.(多选)如图8 所示的靠轮传动装置中，右轮半径为2r，a 为它边缘上的一点，b 为轮上的 一点，b 距轴的距离为r.左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d 为它边缘上的一点，小轮的半 径为r，c 为它边缘上的一点.若传动中靠轮不打滑，则( ) 图8 A.b 点与d 点的线速度大小相等 B.a 点与c 点的线速度大小相等 C.c 点与b 点的角速度相等 D.a 点与d 点的向心加速度大小之比为1∶8 答案 BD 解析 左边两轮同轴转动，c、d 两点角速度相等，根据v＝rω 知，d 点的线速度大于c 点的 线速度，而a、c 两点的线速度大小相等，则d 点线速度大于a 点的线速度；a、b 两点的角 速度相等，则a 点的线速度大于b 点的线速度，所以d 点的线速度大于b 点的线速度，故A 错误，B 正确；a、c 两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据ω＝，知a、c 两点的 角速度之比为1∶2，a、b 两点的角速度相等，所以b、c 两点的角速度不相等，故C 错误； a、c 两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据an＝，知a、c 两点的向心加速度之比 为1∶2，c、d 轮共轴转动，角速度相等，半径之比为1∶4，根据an＝ω2r 知c、d 两点的向 心加速度之比为1∶4，所以a、d 两点的向心加速度之比为1∶8，故D 正确. 12.(2018·华东师大二附中期中考试)如图9 所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B 质量相等， 通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直中心轴 匀速转动时，下列说法正确的是( ) 图9 A.A 的线速度比B 的大 B.悬挂A、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等 C.悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小 D.A 与B 的向心加速度大小相等 答案 C 解析 A、B 两个座椅具有相同的角速度，根据题图及公式v＝ωr 可知，A 的运动半径小，A 的线速度就小，故选项A 错误；任一座椅，受力如图所示，由缆绳的拉力与重力的合力提 供向心力，则mgtan θ＝mω2r，得tan θ＝，A 的半径r 较小，A、B 的角速度ω 相等，可知悬 挂A 的缆绳与竖直方向夹角较小，选项B 错误；由图可知FT＝，悬挂A 的缆绳与竖直方向 夹角较小，拉力较小，选项C 正确；根据an＝ω2r，因为A、B 角速度相等，而A 的运动半 径小，则A 的向心加速度较小，选项D 错误. 13.如图10 所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转 轴与过陶罐球心O 的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω 匀速旋转.一质量为m 的小物块 落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线 与OO′之间的夹角θ 为45°.已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大 小为Ff＝mg. 图10 (1)若小物块受到摩擦力恰好为零，求此时的向心加速度大小和角速度ω0； (2)若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的最大值. 答案 (1)g (2) 解析 (1)当小物块受到的摩擦力为零时，支持力和重力的合力提供向心力，有mgtan θ＝ man得， an＝gtan θ＝g 又an＝ω0 2Rsin θ 解得ω0＝. (2)当ω＞ω0时，重力和支持力的合力不足以提供所需向心力，当摩擦力方向沿罐壁切线向 下且摩擦力达到最大值时向心力最大，角速度最大