高中物理新教材同步必修第二册 第8章 3　动能和动能定理

3 动能和动能定理 [学习目标] 1.掌握动能的表达式和单位，知道动能是标量.2.能运用牛顿第二定律与运动学公式导出动能 定理，理解动能定理的物理意义.3.能应用动能定理解决简单的问题. 一、动能的表达式 1.表达式：Ek＝m v 2 . 2.单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J. 3.标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向. 二、动能定理 1.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化. 2.表达式：W＝m v 2 2 － m v 1 2.如果物体受到几个力的共同作用，W 即为合力做的功，它等于各 个力做功的代数和. 3.适用范围：动能定理是物体在恒力作用下，并且做直线运动的情况下得到的，当物体受到 变力作用，并且做曲线运动时，可以采用把整个过程分成许多小段，也能得到动能定理. 判断下列说法的正误. (1)某物体的速度加倍，它的动能也加倍.( × ) (2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同.( × ) (3)物体的速度变化，动能一定变化.( × ) (4)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化.( √ ) (5)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零.( × ) (6)物体的动能增加，合外力做正功.( √ ) 一、动能 导学探究 让铁球从光滑的斜面上由静止滚下，与木块相碰，推动木块做功.(如图1 所示) 图1 (1)让同一铁球从不同的高度由静止滚下，可以看到：高度大时铁球把木块推得远，对木块 做的功多. (2)让质量不同的铁球从同一高度由静止滚下，可以看到：质量大的铁球把木块推得远，对 木块做的功多. 以上两个现象说明影响动能的因素有哪些？ 答案 由于铁球从同一光滑斜面上由静止滚下，加速度相同.同一铁球从不同高度由静止滚 下，高度大的到达水平面时的速度大，速度越大，把木块推得越远，对木块做功越多，故影 响动能的因素有速度；质量不同的铁球从同一高度由静止滚下，到达水平面时的速度相等， 质量大的铁球把木块推得远，对木块做功多，说明影响动能的因素有质量. 知识深化 1.对动能的理解 (1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关. (2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应. (3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考 系. 2.动能变化量ΔEk ΔEk＝mv2 2－mv1 2，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，则表示物体的动能减少. (2018·哈尔滨六校高一下学期期末联考)关于物体的动能，下列说法正确的是( ) A.物体的质量、速度不变，其动能一定不变 B.物体的动能不变，其速度一定不变 C.两个物体中，速度大的动能也大 D.某一过程中物体的速度变化越大，其动能的变化一定越大 答案 A 解析 根据Ek＝mv2可知，如果物体的质量、速度不变，则动能不变，故A 正确；如果物体 的动能不变，则说明其速度大小一定不变，方向可能变化，故B 错误；动能由质量和速度 大小共同决定，速度大的物体动能不一定大，故C 错误；做匀速圆周运动的物体，速度变 化可能大，但动能不变，故D 错误. 二、动能定理的理解和应用 导学探究 如图2 所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F 的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1 增加到v2.试推导出力F 对物体做功的表达式. 图2 答案 W＝Fl＝F·＝F·＝mv2 2－mv1 2 知识深化 对动能定理的理解 1.表达式：W＝Ek2－Ek1＝mv2 2－mv1 2 (1)Ek2＝mv2 2表示这个过程的末动能； Ek1＝mv1 2表示这个过程的初动能. (2)W 表示这个过程中合力做的功，它等于各力做功的代数和. 2.物理意义：动能定理指出了合外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即若合 外力做正功，物体的动能增加，若合外力做负功，物体的动能减小，做了多少功，动能就变 化多少. 3.实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动的状态时，在空间上的累积效果. 下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( ) A.物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化 B.若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零 C.物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化 D.物体的动能不变，所受的合外力必定为零 答案 C 解析 物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可 能不变，A、B 错误；物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C 正 确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D 错误. 如图3 所示，物体在距斜面底端5 m 处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接 的水平面，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°.求物体能在水平 面上滑行的距离.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 图3 答案 3.5 m 解析 对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示 方法一 分过程列方程：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段 FN1＝mgcos 37°，故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37° 由动能定理得： mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0 设物体在水平面上滑行的距离为l2，摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg 由动能定理得：－μmgl2＝0－mv2 联立以上各式可得l2＝3.5 m. 方法二 全过程由动能定理列方程： mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0 解得：l2＝3.5 m. 应用动能定理解题的一般步骤： (1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程. (2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和. (3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2. (4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算. (多选)(2018·湖南师大附中高一下学期期末)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀 加速运动.当速度达到vm后，立即关闭发动机而滑行直到停止.v－t 图线如图4 所示，汽车的 牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦阻力做功为 W2.以下是F1、F2及W1、W2间关系的说法，其中正确的是( ) 图4 A.F1∶F2＝1∶3 B.F1∶F2＝4∶3 C.W1∶W2＝1∶1 D.W1∶W2＝1∶3 答案 BC 解析 对全过程由动能定理可知W1－W2＝0，故W1∶W2＝1∶1，故C 正确，D 错误；W1＝ F1s，W2＝F2s′，由题图可知s∶s′＝3∶4，所以F1∶F2＝4∶3，故A 错误，B 正确. 一列车的质量是5.0×105 kg，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW 加速行驶，当速 率由10 m/s 加速到所能达到的最大速率30 m/s 时，共用了2 min，设列车所受阻力恒定， 则： (1)列车所受的阻力多大？ (2)这段时间内列车前进的距离是多少？ 答案 (1)1.0×105 N (2)1 600 m 解析 (1)列车以额定功率加速行驶时，其加速度在减小，当加速度减小到零时，速度最大， 此时有P＝Fv＝Ffvmax，所以列车受到的阻力Ff＝＝1.0×105 N； (2)这段时间牵引力做功WF＝Pt，设列车前进的距离为s，则由动能定理得Pt－Ffs＝mvmax 2－ mv0 2 代入数据解得s＝1 600 m. 1.(对动能的理解)(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是( ) A.一般情况下，Ek＝mv2中的v 是相对于地面的速度 B.动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关 C.物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等、方向相反 D.当物体以不变的速率做曲线运动时其动能不断变化 答案 AB 解析 动能是标量，由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关；动能具有相对性， 无特别说明，一般指相对于地面的动能，A、B 正确，C、D 错误. 2.(对动能定理的理解)(2018·全国卷Ⅱ)如图5，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿 粗糙水平路面运动至具有某一速度.木箱获得的动能一定( ) 图5 A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功 C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功 答案 A 解析 由题意知，W 拉－W 克阻＝ΔEk，则W 拉>ΔEk，A 项正确，B 项错误；W 克阻与ΔEk的大 小关系不确定，C、D 项错误. 3.(动能定理的应用)一辆汽车以v1＝6 m/s 的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s 的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离x2应为( ) A.6.4 m B.5.6 m C.7.2 m D.10.8 m 答案 A 解析 急刹车后，车水平方向只受摩擦力的作用，且两种情况下摩擦力的大小是相同的，汽 车的末速度皆为零，由动能定理得： －Fx1＝0－mv1 2① －Fx2＝0－mv2 2② 联立①②式得＝ x2＝x1＝2×3.6 m＝6.4 m，故A 正确，B、C、D 错误. 4.(动能定理的应用)(2018·上海复旦附中期末)一质量为2 kg 的物体，在水平恒定拉力的作用 下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速直线运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉 力减小到零时，物体刚好停止运动.如图6 所示为拉力F 随位移x 变化的关系图像，取g＝10 m/s2，则据此可以求得( ) 图6 A.物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.25 B.物体匀速运动时的速度为v＝4 m/s C.合外力对物体所做的功为W 合＝32 J D.摩擦力对物体所做的功为Wf＝－64 J 答案 D 解析 物体做匀速运动时，受力平衡，则Ff＝8 N，μ＝＝＝＝0.4，故A 错误；F－x 图像与 x 轴围成的面积表示拉力做的功，则由题图可知，WF＝×(4＋8) ×8 J＝48 J，滑动摩擦力做的功Wf＝－μmgx＝－0.4×2×10×8 J＝－64 J，所以合外力做的 功为W 合＝－64 J＋48 J＝－16 J，故C 错误，D 正确；根据动能定理得W 合＝0－mv0 2，解得 v0＝＝ m/s＝4 m/s，故B 错误. 5.(动能定理的应用)半径R＝1 m 的圆弧轨道下端与一光滑水平轨道连接，水平轨道离水平地 面高度h＝1 m，如图7 所示，有一质量m＝1.0 kg 的小滑块自圆轨道最高点A 由静止开始滑 下，经过水平轨道末端B 时速度为4 m/s，滑块最终落在地面上，g 取10 m/s2，不计空气 阻力，试求： 图7 (1)滑块落在地面上时速度的大小； (2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功. 答案 (1)6 m/s (2)2 J 解析 (1)从B 点到地面这一过程，只有重力做功，根据动能定理有mgh＝mv2－mvB 2， 代入数据解得v＝6 m/s； (2)设滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功为Wf，从A 到B 这一过程运用动能定理有mgR －Wf＝mvB 2－0， 解得Wf＝2 J. 考点一 动能的概念及动能的表达式 1.两个物体质量之比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为( ) A.1∶1 B.1∶4 C.4∶1 D.2∶1 答案 C 2.(多选)某同学在练习足球时，将足球朝竖直的墙壁踢出.假设足球的质量为m＝0.5 kg，足 球垂直撞击墙壁前的瞬间速度大小为v＝5 m/s，如果以足球撞击墙壁前瞬间的速度方向为正， 足球与墙壁碰后以等大的速度反向弹回.则足球与墙壁发生作用的过程中( ) A.速度的变化量为－10 m/s B.速度的变化量为10 m/s C.动能的变化量为25 J D.动能的变化量为0 答案 AD 解析 速度的变化量为矢量，Δv＝－v－v＝(－5－5) m/s＝－10 m/s，A 正确，B 错误；动 能的变化量为标量，ΔEk＝mv2－mv2＝0，C 错误，D 正确. 考点二 动能定理的理解和应用 3.关于动能定理，下列说法中正确的是( ) A.在某过程中，动能的变化等于各个力单独做功的绝对值之和 B.只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变 C.动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动 D.动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况 答案 D 解析 动能的变化等于各个力单独做功的代数和，A 错误；根据动能定理，决定动能是否改 变的是总功，而不是某一个力做的功，B 错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线 运动，既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况，C 错误，D 正确. 4.两个物体A、B 的质量之比为mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩 擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为( ) A.xA∶xB＝2∶1 B.xA∶xB＝1∶2 C.xA∶xB＝4∶1 D.xA∶xB＝1∶4 答案 B 解析 物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A：－μmAgxA＝0－Ek；对B：－ μmBgxB＝0－Ek.故＝＝，B 正确，A、C、D 错误. 5.物体沿直线运动的v－t 图像如图1 所示，已知在第1 s 内合力对物体做功为W，则( ) 图1 A.从第1 s 末到第3 s 末合力做功为4W B.从第3 s 末到第5 s 末合力做功为－2W C.从第5 s 末到第7 s 末合力做功为W D.从第3 s 末到第4 s 末合力做功为－0.5W 答案 C 解析 由题图可知物体速度变化情况，根据动能定理得 第1 s 内：W＝mv0 2 第1 s 末到第3 s 末： W1＝mv0 2－mv0 2＝0，A 错误； 第3 s 末到第5 s 末： W2＝0－mv0 2＝－W，B 错误； 第5 s 末到第7 s 末： W3＝m(－v0)2－0＝W，C 正确； 第3 s 末到第4 s 末： W4＝m()2－mv0 2＝－0.75W，D 错误. 6.如图2 所示，质量为0.1 kg 的小物块在粗糙水平桌面上滑行4 m 后以3.0 m/s 的速度飞离 桌面，最终落在水平地面上，已知物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面高0.45 m，若 不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则( ) 图2 A.小物块的初速度是5 m/s B.小物块的水平射程为1.2 m C.小物块在桌面上克服摩擦力做8 J 的功 D.小物块落地时的动能为0.9 J 答案 D 解析 小物块在粗糙水平桌面上滑行时，由动能定理－μmgs＝mv2－mv0 2 得：v0＝7 m/s，Wf＝－μmgs＝－2 J，A、C 错误； 物块飞离桌面后做平抛运动，由h＝gt2，x＝vt 得x＝0.9 m，B 项错误； 由mgh＝Ek－mv2得，物块落地时Ek＝0.9 J，D 正确. 7.(多选)(2018·济南市历城第二中学期末)质量为m 的汽车，发动机的功率恒为P，阻力恒为 F1，牵引力为F，汽车由静止开始，经过时间t 行驶了位移s 时，速度达到最大值vm，则发 动机所做的功为( ) A.Pt B.F1s C.mvm 2 D.＋ 答案 AD 解析 发动机的功率恒为P，经过时间t，发动机做的功为W＝Pt，A 正确；当达到最大速 度时，有P＝F1vm，得vm＝，整个过程中发动机做的功应等于克服阻力做的功与汽车获得的 动能之和，则W＝mvm 2＋F1s＝＋，B、C 错误，D 正确. 8.(2018·郑州市高一下学期期末)如图3 所示，运动员把质量为m 的足球从水平地面踢出，足 球在空中达到的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为 g，下列说法中正确的是( ) 图3 A.运动员踢球时对足球做功mv2 B.足球上升过程重力做功mgh C.运动员踢球时对足球做功mv2＋mgh D.足球上升过程克服重力做功mv2＋mgh 答案 C 解析 足球上升过程中足球重力做负功，WG＝－mgh，B、D 错误；从运动员踢球至足球上 升至最高点的过程中，由动能定理得W－mgh＝mv2，故运动员踢球时对足球做功W＝mv2＋ mgh，A 项错误，C 项正确. 9.木块在水平恒力F 的作用下，沿水平路面由静止出发前进了l，随即撤去此恒力，木块沿 原方向又前进了2l 才停下来，设木块运动全过程中地面情况相同，则摩擦力的大小Ff和木 块所获得的最大动能Ekm分别为( ) A.Ff＝ Ekm＝ B.Ff＝ Ekm＝Fl C.Ff＝ Ekm＝ D.Ff＝F Ekm＝ 答案 C 解析 全过程，由动能定理得Fl－Ff·3l＝0 得：Ff＝；加速过程：Fl－Ffl＝Ekm－0，得Ekm＝ Fl，C 正确，A、B、D 错误. 10.从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面.忽略空气阻力，该过程中 小球的动能Ek与时间t 的关系图像是( ) 答案 A 解析 小球做竖直上抛运动，设初速度为v0，则v＝v0－gt，小球的动能Ek＝mv2，把速度v 代入得Ek＝mg2t2－mgv0t＋mv0 2，Ek与t 为二次函数关系，图像为开口向上的抛物线，A 对. 11.(多选)如图4 甲所示，质量m＝2 kg 的物体以100 J 的初动能在粗糙程度相同的水平地面 上滑行，其动能Ek随位移x 变化的关系图像如图乙所示，则下列判断中正确的是( ) 图4 A.物体运动的总位移大小为10 m B.物体运动的加速度大小为10 m/s2 C.物体运动的初速度大小为10 m/s D.物体所受的摩擦力大小为10 N 答案 ACD 解析 由题图乙可知，物体运动的总位移为10 m，根据动能定理得，－Ffx＝0－Ek0，解得 Ff＝＝ N＝10 N，故A、D 正确；根据牛顿第二定律得，物体的加速度大小为a＝＝ m/s2＝ 5 m/s2，故B 错误；由Ek0＝mv2得v＝＝ m/s＝10 m/s，故C 正确. 12.(2018·山西大学附属中学期末)如图5 所示，固定斜面倾角为θ，整个斜面分为AB、BC 两 段，AB＝2BC.小物块P(可视为质点)与AB、BC 两段斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2.已知 P 由静止开始从A 点释放，恰好能滑动到C 点停下，那么θ、μ1、μ2间应满足的关系是( ) 图5 A.tan θ＝ B.tan θ＝ C.tan θ＝2μ1－μ2 D.tan θ＝2μ2－μ1 答案 B 解析 小物块P 从A 点到C 点过程，由动能定理得mg·AC·sin θ－μ1mgcos θ·AB－μ2mgcos θ·BC＝0，又AB＝2BC，则有tan θ＝，B 正确. 13.(2018·定州中学高一下学期期末)如图6 所示，一质量为m＝10 kg 的物体，由光滑圆弧轨 道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m 距离后停止.已知