高中物理新教材同步必修第二册 第7章 3　万有引力理论的成就

3 万有引力理论的成就 [学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量”地球质量、计算太阳质量的基本 思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路 和方法. 一、“称量”地球的质量 1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力. 2.关系式：mg＝G . 3.结果：m 地＝，只要知道g、R、G 的值，就可计算出地球的质量. 4.推广：若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量. 二、计算天体的质量 1.思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力. 2.关系式：＝mr. 3.结论：m 太＝，只要再知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算 出太阳的质量. 4.推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行 星的质量. 三、发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观 测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年9 月23 日，德国的伽 勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星. 2.其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质.近100 年来，人们在海王 星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体. 四、预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷计算了1531 年、1607 年和1682 年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这 三颗彗星是同一颗星，周期约为76 年 ，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759 年3 月这颗 彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986 年，它的下次回归将在2061 年左右. 1.判断下列说法的正误. (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.( × ) (2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量.( × ) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.( × ) (4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.( √ ) (5)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.( √ ) 2.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径 R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为________.(结果保留一位有效数字) 答案 6×1024 kg 一、天体质量和密度的计算 导学探究 1.卡文迪什在实验室测出了引力常量G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他“称量”的依据是什么？ (2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和密度. 答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力； (2)由mg＝G 得，M＝，ρ＝＝＝. 2.如果知道地球绕太阳的公转周期T 和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太 阳的密度，还需要哪些量？ 答案 由＝m 地r 知m 太＝，可以求出太阳的质量；由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度， 还需要知道太阳的半径. 知识深化 天体质量和密度的计算方法 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体的半径R 和天体表面 的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周 运动 思路 物体在天体表面的重力近似等 于天体与物体间的万有引力： mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向 心力：G＝m()2r(以T 为例) 天体 质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝ 天体 密度 ρ＝＝ ρ＝＝ 说明 g 为天体表面重力加速度，未 知星球表面重力加速度通常利 用实验测出，例如让小球做自 由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不 能求环绕星体质量 T 为公转周期 r 为轨道半径 R 为中心天体半径 (2019·潍坊一中期末)假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力 常量为G，忽略该天体自转. (1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密 度是多少？ (2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？ 答案 (1) (2) 解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M. (1)卫星距天体表面的高度为h 时， G＝m(R＋h)，则有M＝ 天体的体积为V＝πR3 故该天体的密度为ρ＝＝＝ (2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝ ρ＝＝＝. 针对训练 (2019·醴陵二中期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内， 行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周 运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比 值约为( ) A. B.1 C.5 D.10 答案 B 解析 由G＝mr 得M∝ 已知＝，＝，则＝()3×()2≈1，B 项正确. (2019·临夏中学期末)若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球 表面重力加速度的3 倍，则该星球质量是地球质量的( ) A.27 倍 B.3 倍 C.0.5 倍 D.9 倍 答案 A 解析 物体在地球表面的重力近似等于地球与物体间的万有引力，即G＝mg，解得g＝，质 量M＝ρ·πR3，联立解得g＝πGρR，星球的密度跟地球密度相同，星球表面的重力加速度是 地球表面重力加速度的3 倍，所以星球的半径是地球半径的3 倍，由M＝ρ·πR3可知，星球 质量是地球质量的27 倍，故A 正确. 二、天体运动的分析与计算 1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提 供. 基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr. 2.忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G 和中心天体质量M 未知时，可 用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G＝m 得v＝. (2)由G＝mω2r 得ω＝. (3)由G＝m2r 得T＝2π. (4)由G＝man得an＝. 由以上关系式可知：①卫星的轨道半径r 确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和 向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、 线速度大小、角速度和向心加速度大小. ②卫星的轨道半径r 越大，v、ω、an越小，T 越大，即越远越慢. 在轨卫星碰撞产生的大量碎片会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的 轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( ) A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案 D 解析 由G＝m，得v＝，甲的运行速率大，甲碎片的轨道半径小，故B 错；由G＝mr，得 T＝，可知甲的周期短，故A 错；由于两碎片的质量未知，无法判断向心力的大小，故C 错； 由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D 对. (2019·潍坊市联考)如图1 所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星， 它们距地面的高度分别是R 和2R(R 为地球半径).下列说法中正确的是( ) 图1 A.a、b 的线速度大小之比是∶1 B.a、b 的周期之比是1∶2 C.a、b 的角速度大小之比是3∶4 D.a、b 的向心加速度大小之比是9∶2 答案 C 解析 两卫星均做匀速圆周运动，则有F 万＝F 向. 由＝m 得＝＝＝，故A 错误； 由＝mr2得＝＝，故B 错误； 由＝mrω2得＝＝，故C 正确； 由＝man得＝＝，故D 错误. 1.(天体质量的计算)(多选)(2019·西安高级中学期中)已知下列哪组数据，可以算出地球的质 量M(引力常量G 已知)( ) A.月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B.地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2 C.人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3 D.地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4 答案 AC 2.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(2019·安阳市二十六中期末)我国高分系列卫星的高分 辨对地观察能力不断提高.2018 年5 月9 日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前 已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号” 相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( ) A.周期 B.角速度 C.线速度 D.向心加速度 答案 A 解析 “高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r 五<r 四.由万有引力提供 向心力得＝mr＝mrω2＝m＝man. T＝∝，T 五<T 四，故A 对； ω＝∝，ω 五>ω 四，故B 错； v＝∝，v 五>v 四，故C 错； an＝∝，an 五>an 四，故D 错. 3.(天体密度的计算)地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球 的平均密度为( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，则M＝，又V＝πR3，可 得地球的平均密度ρ＝＝. 4.(天体质量和密度的计算)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星运行，若认为行星是 密度均匀的球体，引力常量已知，那么要确定该行星的密度，只需要测量( ) A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D.行星的质量 答案 C 解析 根据密度公式得ρ＝＝，这里的R 为该行星的半径，若仅已知飞船的轨道半径或行星 的质量，无法求出行星的密度，A、D 错误；已知飞船的运行速度，根据万有引力提供向心 力得G＝m，解得M＝，代入密度公式后，无法求出行星的密度，故B 错误；根据万有引力 提供向心力得G＝mR，解得M＝，代入密度公式得ρ＝，C 正确. 5.(天体运动的分析与计算)如图2 所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任 务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱.已知月球表面的重力加速度为g，月球的 半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，不考虑月球的自转.求： 图2 (1)月球的质量M； (2)轨道舱绕月球飞行的周期T. 答案 (1) (2) 解析 (1)设月球表面上质量为m1的物体，其在月球表面有：G＝m1g 月球质量：M＝ (2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m 由牛顿第二定律得：G＝m()2r 解得：T＝. 考点一 天体质量和密度的计算 1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r 和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三 个数据，可以估算出的物理量有( ) A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度 答案 B 解析 由G＝mr 可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项 B 正确. 2.(2019·铜陵市第一中学期末)如果我们能测出月球表面的重力加速度g，月球的半径R 和月 球绕地球的转动周期T，就能够根据万有引力定律“称量”月球的质量了.已知引力常量为 G，关于月球质量M 的表达式正确的是( ) A.M＝ B.M＝ C.M＝ D.M＝ 答案 A 解析 在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有G＝mg，可得月球的质量为M＝， 故A 正确，B 错误；月球绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力得G＝Mr，由于r 表 示轨道半径，而R 表示月球半径，可得地球质量M 地＝，故C、D 错误. 3.(2018·天津七中期末)如图1 所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7 年的“艰苦”旅 行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质 量M 和平均密度ρ 的表达式正确的是( ) 图1 A.M＝，ρ＝ B.M＝，ρ＝ C.M＝，ρ＝ D.M＝，ρ＝ 答案 D 解析 设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引 力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝；又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，故D 正确. 考点二 天体运动的分析 4.(2019·镇远中学期末)由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的( ) A.速率变大，周期变小 B.速率变小，周期不变 C.速率变大，周期变大 D.速率变小，周期变小 答案 A 解析 根据G＝m 可得v＝，故半径减小，速率增大；根据G＝mr 可得T＝2π，故半径减小， 周期减小，A 正确. 5.伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周 运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是( ) 名称 周期/天 木卫一 1.77 木卫二 3.65 木卫三 7.16 木卫四 16.7 A.木卫一角速度最小 B.木卫四线速度最大 C.木卫四轨道半径最大 D.木卫一受到的木星的万有引力最大 答案 C 6.a、b、c、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a、c 的轨道相交于 P，b、d 在同一个圆轨道上，b、c 轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如 图2 所示，下列说法中正确的是( ) 图2 A.a、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度 B.b、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度 C.a、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度 D.a、c 存在在P 点相撞的危险 答案 A 解析 由G＝m＝mω2r＝mr＝man可知，选项B、C 错误，A 正确；因a、c 轨道半径相同， 周期相同，由题图可知当c 运动到P 点时与a 不会相撞，以后也不可能相撞，选项D 错误. 7.如图3 所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周 运动，下列说法正确的是( ) 图3 A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大 答案 A 解析 万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即G＝man＝mr＝mω2r＝m，可得an ＝，T＝2π，ω＝，v＝.由已知条件可得an 甲＜an 乙，T 甲＞T 乙，ω 甲＜ω 乙，v 甲＜v 乙，故正确 选项为A. 8.(多选)(2019·峨山第一中学期末)如图4 所示，a、b、c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的 三颗卫星，a 和b 质量相等，且小于c 的质量，则( ) 图4 A.b 所需向心力最小 B.b、c 的周期相同且大于a 的周期 C.b、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度 D.b、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度 答案 ABD 解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝，则b 所需向心力最小， A 对；由＝mr()2得T＝2π，即r 越大，T 越大，所以b、c 的周期相等且大于a 的周期，B 对； 由＝man，得an＝，即an∝，所以b、c 的向心加速度大小相等且小于a 的向心加速度，C 错； 由＝，得v＝，即v∝，所以b、c 的线速度大小相等且小于a 的线速度，D 对. 9.(多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g(忽略地球自转的影响)，若卫星在距地面R0处 做匀速圆周运动，则( ) A.卫星的线速度为 B.卫星的角速度为 C.卫星的周期为4π D.卫星的加速度为 答案 ABC 解析 万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即＝man＝m＝mω2(2R0)，由地球表面 重力等于万有引力可得GM＝gR0 2，则卫星的向心加速度an＝，线速度v＝，角速度ω＝，T ＝＝4π，所以A、B、C 正确，D 错误. 10.(2019·合肥六中、淮北一中期末联考)若贴近太阳系内某个行星表面运行的卫星的周期用 T 表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是r，已知引力常量G，则下列说法正确的是 ( ) A.可以求出该行星的质量 B.可以求出太阳的质量 C.ρT2是定值 D.是定值 答案 C 解析 设该行星的质量为M，卫星的质量为m，该行星的半径为R，根据G＝m 得M＝，则 ρ＝＝＝，故ρT2＝是定值，选项C 正确；因无法求解该行星的半径R，则无法求解该行星的 质量，选项A 错误；只知道该行星到太阳的距离无法求解太阳的质量，选项B 错误；因为T 不是该行星绕太阳的转动周期，则不是定值，选项D 错误. 11.(2018·全国卷Ⅱ)2018 年2 月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318 ＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67× 10－11 N·m2/kg2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3 C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3 答案 C 解析 脉冲星自转，边缘物体m 恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr， 又知M＝ρ·πr3 整理得密度ρ＝ ＝ kg/m3 ≈5×1015 kg/m3. 12.若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由 静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表 面.已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g 月； (2)月球的质量M； (3)月球的平均密度ρ. 答案 (1) (2) (3) 解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动， 则h＝g 月t2， 解得g 月＝. (2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg 月， 月球的质量M＝. (3)月球的平均密度ρ＝＝＝. 13.2018 年5 月21 日，我国在西昌卫星发射中心将“鹊桥”号中继星发射升空并成功进入预 定轨道.设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球表面处 的重力加速度为g，地球半径为R.求： (1)“鹊桥”号中继星离地面的高度h； (2)“鹊桥”号中继星运行的线速度大小v； (3)“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度的大小. 答案 (1)－R (2) (3) 解析 (1)设地球质量为M，“鹊桥”号中继星的质量为m，万有引力提供向心力：G＝m(R ＋h) 对地面上质量为m′的物体有：G＝m′g 联立解得：h＝－R (2)“鹊桥”号中继星线速度大小为：v＝ 联立解得：v＝ (3)“鹊