厦门第一中学2021—2022学年度高二期中考数学答案

数学参考容案 1-8 BCCDA DCD 9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABD 13 30 14 8 15 16 8．解：令 ， ， 因为 ， 则 ， 故 在 ， 上单调递减， 因为 ，则 ， 结合选项可知， ，从而有 ，即 ，故①错误， 因为 ，结合 在在 ， 上单调递减可知 ，从而有 ， 由 可得 ，故②正确； ，从而有 ，且 ，即 ．故③正确； ，从而有 即 ．故④正确． 故选： ． 10．解：因为 ，数列 是公比为2 的等比数列， 所以 ， 所以 ， 正确， 错误， 根据指数函数的性质及反比例函数性质，可知 递减， 正确， ， 错误． 故选： ． 11．解：由题意 ， 、 是两两互斥的事件，故 正确； ， ， ， ，故 正确； ， ， （B） ，故 正确； ，即 （B）， 事件 与事件 不是相互独立事件，故 错 误． 故选： ． 12．解：将该正四棱锥补成正方体，可知 位于其体对角线上， 则 平面 ，故 正确； 设 中点为 ，则 ，且 ，故 正确； ， 在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球， 又平面 与其长轴垂直， 截面为圆，故 错误； 设平面 与 ， 交于点 ， ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，而 ，故 ，同理 ， 而 ， 平面 ，而 平面 ，则 ， 平面 ， 平面 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，而 平面 ，则 ， ，同理， ， 又 ， ，则 ， 而 ， 交线长为 ，故 正确． 故选： ． 14．解： ， 除以9 的余数是8． 故答案为：8． 15．解：在 中，因为 ， ， 设 ，则 ， ， 设 ， 在准线的射影分别为 ， ， 则 ，则 ， 所以 ． 故答案为： ． 16．解：过点 作 于点 ，则点 位 的中点， 又 ，所以 ， ， 三点共线， 设 ， ， 则 ， 所以 ， ， 则 ， 令 ， 所以 ， 令 ，解得 或 （舍， 令 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 则当 时， 取得最大值， 此时 ， 所以当 取得最大时， ． 故答案为： ． 17．解：(1) ，即 所以数列 是公比为2 的等比数列，又∵a3+2 是a2与a4的等差中项，∴2(a3+2)=a2+a4,即 2(22a1+2)=2a1+23a1解得 ,所以数列 的通项公式 (2) ， ， 当 时， 取得最大值36． 18．（1） . ①当 时， 恒成立， 在R 上单调递增，无极大值也无极小值； ②当 ， 时， ， 时， 单调递增， 在 单调递减，在 单调递增，函数 的极小值为 ，无极大值 （2）若 有两个不同的零点，因为 ， 由（1）知当 时，， 在R 上单调递增，则 只有一个零点，不满足题意 当 时， 在 单调递减，在 单调递增 i：当 时，∴ 在 递增， 只有一个零点，不满足题意； ii：当 时，∴ 在 上递减，在 递增，且， ， ， (不证明不扣分)(或用 ， )所以在 ，使得f(x2)=0；所 以函数f(x)有两个不同的零点，综上所述a>1 19.证明：（1）在三棱锥 中， 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 ， ， 且 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 ； 解：（2）由（1）知 平面 ，故 即为直线 与平面 所成角， 则 ，故 ， 以 为坐标原点，在平面 内过点 作 的垂线，作为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直 线为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，4， ， 故 ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，即 ， 可取 ，则得平面 的一个法向量为 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，即 ， 可取 ，则得平面 的一个法向量为 ，1， ， 故 ， 由图知二面角 为钝角，其余弦值为 ， 则二面角 的正弦值为 ． 20.解：（1）依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案： 方案一：都选择容易题，则总得分不低于10 分的概率为 ； 方案二：都选择难题，则总得分不低于10 分的概率为 ； 方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10 分的概率为 ； 因为 ，所以后两轮应该选择容易题进行答题； （2）依题意 的可能取值为3、7，8、11、12、16， 则 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 3 7 8 11 12 16 所以 ． 21．解：由已知得 解得 ，∴椭圆C 得方程 3 分 （2）证明：由（1）椭圆的左焦点F（-1，0），设A ，则 ∴直线 与椭圆交于A、B 两点，∴ 由于直线 与直 线l:x=-2 不平行,∴四边形AGNF 为梯形的充分必要条件是AG∥FN，即 ，即 即 （*）8 分 由 ，得 ，∴ ， 所以（*）成立，∴ 四边形AGNF 为梯形。 22.解：（1） 的定义域为 设 在直线 处的切点为 ，则 所以 ∴ （2）由（1）可知， ， ． ， ， 在 上单调递增． 又 ， 且 ， ． ， 当 时， ， 单调递增， 要证 ，即 （2）， 只要证 ，即 ． ， ， 所以只要证 设 （其中 ， ， 在 上为增函数 （1） ，故 式成立，从而