江苏省连云港市2021-2022学年度第一学期期中考试高二数学答案

2021―2022 学年第一学期期中考试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8 小题， 每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的． 1.A 2.B 3. C 4. D 5. C 6. A 7. B 8. C． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. AD 10. BC 11. BCD 12.BD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13． 3 14. 10 15. 18， 7．16. 2 [ 1) 2 ， 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 解： （1）因为直线1 l 的斜率 1 1 2 k = − ，且1 2 l l ∥， 所以 2 1 1 1 2 1 a k k a − = = − = + ， ……3 分 解得 1 3 a = ． ……2 分 （2）因为直线1 l 的斜率 1 1 2 k = − ，且1 2 l l ⊥ ， 所以 2 1 1 1 2 1 a k k a − = − = = + ， ……3 分 解得 3 a = −． ……2 分 18 解：因为方程组2 3 8 0, 1 0 x y x y + + =  − −=  的解为 1, 2, x y = −   = −  所以两条直线2 3 8 0 x y + + = 和 1 0 x y − −= 的交点坐标为( 1 2) − − ， ． ……3 分 若选①，可设直线l 的方程为2 3 0 x y c − + = ， 点( 1 2) − − ， 代入方程2 3 0 x y c − + = 可得 4 c = −，即:2 3 4 0 l x y − − = ． ……5 分 在直线l 上取两点( 1 2) − − ， 和(2 0) ，， 点( 1 2) − − ， 关于点(1 0) ，对称的点的坐标为(3 2) ， ， 点(2 0) ，关于点(1 0) ，对称的点的坐标为(0 0) ，， 所以直线m 的方程为2 3 0 x y − = ． ……10 分 若选②，可得直线l 的斜率 1 ( 2) 5 2 0 ( 1) 2 k −− = = −− ， 所以直线l 的方程为 5 1 2 2 y x = + ． ……5 分 在直线l 上取两点(1 3) ，和( 1 2) − − ， ， 点( 1 2) − − ， 关于点(1 0) ，对称的点的坐标为(3 2) ， ， 点(1 3) ，关于点(1 0) ，对称的点的坐标为(1 3) − ， ， 所以直线m 的方程为5 2 11 0 x y − − = ． ……10 分 19 解： （1）因为 2 3 3 e = ，所以 2 2 4 3 c a b a a + = = ，即 3 3 b a = ， 故双曲线的渐近线方程为： 3 3 y x =  ． ……5 分 （2）因为抛物线的准线方程为： 2 p x = − ， 由 3 , 3 , 2 y x p x  =    = −   得 3 ( ) 2 6 p A p − − ， ， ……8 分 同理可得 3 ( ) 2 6 p B p − ， ，所以 3 3 AB p = ， ……10 分 因为 3 1 2 2 OAB p S AB =   = △ ， 解得 2 3 p = . ……12 分 20 解： （1）设 (2 2, ) C t t + ，因为AC BC = ， 所以 2 2 2 2 (2 2) ( 4) (2 2) ( 6) t t t t + + − = − + − ，解得 1 t = ，即 (4 1) C ， 所以圆C 的标准方程为： 2 2 ( 4) ( 1) 25 x y − + − = ． ……4 分 （2）解法一：以PC 为直径的圆的方程为：( 4)( 1) ( 1) 0 x x y y − + + − = ， 由 2 2 ( 4)( 1) ( 1) 0 ( 4) ( 1) 25 x x y y x y − + + − =   − + − =  ， 得5 4 0 x y + + = ， 即直线EF 的方程为5 4 0 x y + + = ． ……8 分 圆心C 到直线EF 的距离 2 2 5 4 1 4 0 25 26 5 1 d  + + = = = + ， 所以 25 10 10 26 2 25 26 26 26 EF = − = = ． ……12 分 解法二：因为 2 2 2 2 ( 1 4) (0 1) 25 1 PE PF PC CE = = − = −− + − − = ， 所以四边形PECF 的面积 1 2 5 2 S PE CE =    = ． 又因为 2 2 ( 1 4) (0 1) 26 PC = −− + − = ， 1 5 2 S PC EE =   = ， 所以 10 26 10 10 26 26 EE PC = = = ． ……12 分 21 解： （1）设椭圆C 的焦距为2c ． 令x c = ，得 2 2 2 2 1 c y a b + = ，因为点P 在第一象限，解得 2 b y a = ， 所以 2 tan b c POF e ac a  = = = ，所以b c = ， 2 a c = ． 因为△POF 的面积为 2 2 1 2 2 2 4 2 b c c a   = = ， 解得 2 c = ， 2 2 a c = = ， 2 b c = = ， 所以椭圆C 的标准方程： 2 2 1 4 2 x y + = ． ……4 分 （2）因为 2 = 2 OP k ，所以可设 2 : = 2 l y x t + ． 因为直线l ∥PO ，所以 0 t  ． 由 2 2 1 4 2 2 = 2 x y y x t  + =     +   ， ， 得 2 2 2 2 0 x tx t + + − = ． 因为 2 2 ( 2 ) 4( 2) 0 t t = − −  ，所以2 2 t − 且 0 t  ． ……6 分 因为 2 2 2 2 2 1 ( ) 8 2 12 3 2 AB t t = + − = − ， 点P 到直线l 的距离 2 2 2 2 3 2 1 ( ) 2 t d t = = + ， ……8 分 所以△APB 的面积 2 2 1 1 2 12 3 2 2 3 S AB d t t =  =  −  2 2 2 4 2 2 +(4 ) 1 2 2 8 2 (4 ) = 2 2 2 2 2 t t t t t t − =  − =  −  ≤ ， ……10 分 当且仅当 2 t =  时等号成立， 所以△APB 的面积最大值为 2 ． ……12 分 22 解： （1）因为抛物线 2 1 ( 0) C y ax a =  ： 的焦点 1( 0) 4 a F ， ， 抛物线 2 2 4 C y ax = ： 的焦点 2( 0) F a， ， 所以 3 3 4 4 a a a − = = ，所以 4 a = ． ……2 分 （2）由 2 4 y x y kx  =  =  ， ， 得 2 4 4 x k y k =   =  ， ， 即 2 4 4 ( ) A k k ， ． ……4 分 由 2 16 y x y kx  =  =  ， ， 得 2 16 16 x k y k =   =  ， ， 即 2 16 16 ( ) B k k ， ． ……6 分 设 2 1 1 ( ) 4 t D t ， ，所以 2 1 1 1 ( 1 ) 4 t F D t = −， ， 1 2 4 4 ( 1 ) F A k k = −， ． 因为 1 1 F D F A ∥ ，所以 2 1 1 2 4 4 ( 1) ( 1) 4 t t k k − − − = 0 ， 所以 1 1 ( )( 4) 0 t k t k + − = ． 因为1 4 t k  ，所以1 t k = −，所以 2 ( ) 4 k D k − ， ． ……8 分 设 2 2 2 ( ) 16 t E t ， ，所以 2 2 2 2 ( 4 ) 16 t F E t = − ， ， 2 2 16 16 ( 4 ) F B k k = −， ． 因为 2 2 F E F B ∥ ，所以 2 2 2 2 16 16 ( 4) ( 4) 16 t t k k − − − = 0 ， 所以 2 2 ( 4 )( 16) 0 t k t k + − = ． 因为2 16 t k  ，所以2 4 t k = − ，所以 2 ( 4 ) E k k − ， ． ……10 分 因为 4 OE OD = ，所以 4 OE OD = ． ……12 分