厦门第一中学2021—2022学年度高二期中考数学

福建省厦门第一中学2021—2022 学年度 第二学期期中考试高二年数学试卷 命题教师审核教师2022.4 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，只有一项是符合题目要求的。 1．乘积 展开后的项数是（） A．11 B．45 C．15 D．60 2．设随机变量 ，若 ，则 （） A． B． C． D．1 3．若 ，则k 等于（） A．3 B．6 C．6 或2 D．6 或3 4．已知函数 ，则函数 的零点个数为（） A．1 B．0 C．3 D．2 5．空间内三个单位向量 ， ，满足 ，则（） A． ， 方向相同 B． ，方向相同 C． ，方向相同 D． ， ，两两互不共线 6．全国上下团结一致、共同抗疫，很快疫情过后，阳光灿烂，甲乙两位游客通过厦门中学生助手的介绍 来到鹭岛厦门旅游分别从鼓浪屿、植物园、环岛路和曾厝峖共4 个著名旅游景点中随机选择其中一个景 点游玩，记事件 :甲和乙至少一人选择鼓浪屿，事件 :甲和乙选择的景点不同，则条件概率 ( ) A． B． C． D． 7．记双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 的左支交于 、 两点，且 ，以线段 为直径的圆过点 ，则 的渐近线方程为（） A． B． C． D． 8．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， ，则下列不 等式正确的是（） ① ② ③ ④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9．若 ，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 10．在数列 中， =1，数列 是公比为2 的等比数列，设 为 的前 项和，则（） A． B． C．数列 为递减数列 D． 11．甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球，先从甲罐中随 机取出一球放入乙罐，分别以事件 ， 和 表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随 机取出一球，以事件 表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（） A. B. ， ， 是两两互斥的事件 C. 事件 与事件 相互独立 D. 12．在四棱锥 中，底面 是边长为2 的正方形， 平面 ，且 ．若点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，则 A． 平面 B．直线 和直线 所成的角为 C．当点 在平面 内，且 时，点 的轨迹为一个椭圆 D．过点 ， ， 的平面与四棱锥 表面交线的周长为 三、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．厦门中学生助手所在的厦门一中选修课种类丰富多彩，极大拓展了学生的视野，现有A 类选修课4 门，B 类选修课3 门，小张同学打算从中选择三门，若要求两类课程各至少选1 门，则不同的选法种数为. 14． 除以9 的余数是 ． 15．已知抛物线 的焦点为 ，准线为， ， 是抛物线 上的两个动点，且 ， ，设线段 的中点 在准线上的射影为点 ，则 的值是 ． 16．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图， 为图中两个同心 圆的圆心，三角形 中， ，大圆半径 ，小圆半径 ，记 为三角形 与 三角形 的面积之和．设阴影部分的面积为 ，当 取得最大时， ． 四、解答题，本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列 ， ， ，且 ， 是a2与a4的等差中项。 （1）求数列 的通项公式 ； （2）若满足 ， ，求 的最大值． 18．已知函数 （1）讨论函数 的单调性与极值； （2）若 时，函数 有两个零点，求实数a 的取值范围 19．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，点 为 的中点，求二面角 的正弦值． 20．为弘扬中国传统文化，厦门中学生助手在微信公众号上举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下： ①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答； ②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10 分进入决 赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如表： 容易题 中等题 难题 答对概率 0.6 0.5 0.3 答对得分 3 4 5 （1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由； （2）甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总 和为 ，求随机变量 的数学期望． 21．已知椭圆 过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程 （2）直线 与椭圆交于 、 两点，过 、 作直线 的垂线，垂足分别内 、 ，点 为线段 的中点， 为椭圆 的左焦点。求证：四边形 为梯形。 22．已知 函数 的一条切线， ，且 是 的导 数． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）证明：当 ， 时， ．