厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测数学答案

厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、单选题： 1．D 2．B 3．A（选择性必修一P12，练习2） 4．C（选择性必修一P140，阅读材料） 5．B（选择性必修一P95，练习1） 6．C（选择性必修一P34，例6） 7．B（选择性必修一P36，例7） 8．A 二、多选题： 9．BD（选择性必修一P96，例5） 10．ACD（选择性必修一P103，18） 11．AD（选择性必修一P44，16） 12．AD 三、填空题： 13．( ) 1,2 − （答案不唯一） （选择性必修一P102，1） 14． 3 y x =  15． 8 1 9 n   −    （选择性必修二P6，例4） 16．( ) ( ) 2 2 2 1 1 x y − + − = ，13 1 −（选择性必修一P103，12） ８．解析：延长 1 AF 交椭圆E 于点C ，连接 2 CF ， 由椭圆定义， 1 2 ||||2 AFAFa + = ，有 1 2 | | 3 AFa= ， 由椭圆对称性，得 1 2 CFFB = ，所以 1 1 2 AFFC = ，所以 1 | | 3 a CF = ， 再由椭圆定义： 1 2 ||||2 CFCFa + = ，有 2 5 | | 3 a CF = ， 因为 222 2 2 |||||| CFACAF = + ，所以 2 90 CAF  = ， 在 1 2 AFF △ 中， 2 2 2 1 2 1 2 | | | | | | F F AF AF = + 即 2 2 20 4 9 c a = ，有离心率 5 3 e = ． 12．解析： ① (,0] n a − 时， 1 ()10 nnn afaa + = = − ， ② (0,1) n a  时， ( ) 2 1 ()1(1)10,1 nnnnnn afaaaaa + = = − + = − +  ， ③ (1, ) n a  +时， 2 1 ( ) 1 ( 1) 1 1 n n n n n n a f a a a a a + = = − + = − +  ， ④ 1 n a = 时， 2 1 ()11 nnnn afaaa + = = − + = ， 因此， 1 1 2 1 1, 0, 1, 0. n n n n a a a a a a + −   =  − +    有 1 0 a 时， 1 1 n n a a + − = −， 1 0 a  时， 1 n n a a + − = 2 (1) n a − ， 对于选项Ａ， 1 1 (0,1) 2 a =  ， 1 n a ． 对于选项Ｂ，{ } n a 为递增数列时， 1 0 a  且 1 1 a ． 对于选项Ｃ，{ } n a 为等差数列时， 1 0 a 或 1 1 a = （其中， 1 1 a = 时，{ } n a 为常数列） ． 对于选项Ｄ， 1 2 a = ， 2 1 1 n n n a a a + −= − ，有 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n a a a a a + = = − − − − ， y x O B C A F1 F2 所以 1 111 1 1 nnn aaa + = − − − ， 121223111 11111111111 ()()()11111111 nnnn aaaaaaaaaaa + + + + + = − + − + + − = − − − − − − − − − 因为 1 2 1 a = ，所以 1 1 n a + ，即 1 1 0 1 n a +  − ， 所以 121 1111 1 1 n aaaa + + +  = − ，故选AD． 16．依题意得 (2,0) A ， (2,2) C ，因为M 为AB 中点，所以CMAM ⊥ ， 所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为(2,1) ， 2 AC = ， 所以点M 的轨迹方程为( ) ( ) 2 2 211 x y − + − = ,圆心 (2,1) D ， 因为点 (2,0) A 关于直线 0 x y + = 的对称点为 (0,2) A − ， 所以由对称性可知MNAN + 的最小值为 ( ) ( ) 2 2 102211131 A D  −= − + −− −= −． 四、解答题： 17． （选择性必修二P8，练习4）本题主要考查数列前n 项和公式、通项公式、数列求和等知 识，考查函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分10分 法一： （1） 2 n 时， 2 2 1 (1) nnn aSSnn − = − = − − ................................................. 2分 2 1 n = − ............................................................................... 3分 1 n = 时， 1 1 1 a S = = ， ............................................................................................... 4分 综上所述， 2 1 n a n = −．............................................................................................. 5分 （2）因为 1 11111 ( ) (21)(21)22121 n n n b aannnn + = = = −  − + − + ， ...................... 7分 所以 1 2 11111111 (1)()() 2323522121 n n Tbbb n n = + + + = − + − + + − − + 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 2 1 2 1 n n = − + − + + − − + ...................................................... 9分 1 1 (1 ) 2 2 1 2 1 n n n = − = + + ． ........................................................................... 10分 法二： （1）等差数列前n 项和为 2 1 ( ) 2 2 d d n a n + − （其中d 为公差） ， 因为 2 n S n = ，所以{ } n a 为等差数列， .................................................................... １分 并且 1 2 d = ， 1 1 1 a S = = ，解得： 1 1 a = ， 2 d = ， ................................................. 3分 1 ( 1) 2 1 n a a n d n = + − = −． .................................................................................... ５分 （2）同法一． 18． （选择性必修一P86，例题4；P91，例题1）本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线 与圆的位置关系等知识，考查数形结合思想、函数与方程思想、运算求解、推理论证能 力．满分12分 法一：(1)延长CB 交x 轴于点N ，因为 120 OAB  = ， =2 AB OA = ， 所以 60 NAB  = ，所以 3 3 B （，） ， ......................................................................... 2分 又 120 ABC  = ，所以 60 ANB  = ， 所以直线BC 的倾斜角为120 ，即 3 BC k = − ， .................................................... 4分 所以直线BC 的方程为 33(3) y x − = − − ， 即3430 x y + − = ． .............................................................................................. 5分 （2）依题意设圆M 的方程为 2 2 0 xyDxEyF + + + + = ， 所以 0, 420, 93330, F D F DEF  = + + =  + + + + =  解得 2, 23, 0. D E F = −   = −   =  ................................................ 7分 所以圆M 的方程为 2 2 2230 xyxy + − − = ， 即( ) ( ) 2 2 134 x y − + − = ， ...................................................................................... 8分 所以 (1,3) M ，半径 2 r = ， 因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4， 所以直线OC 过圆心 (1, 3) M ， ............................................................................... 9分 所以直线OC 的方程为 3 y x = ， ........................................................................... 10分 所以由 3430, 3 , x y y x  + − =   =   得 2, 23, x y =    =   所以 (2,23) C ． .............................. 12分 法二： （1）(1)延长CB 交x 轴于点N ， 因为 120 OABABC  =  = ， =2 AB OA = ， 所以 60 BAN ANB ABN  =  =  = ， 所以 ABN △ 为等边三角形，即 =2 AN ， ............................................................... 2分 所以 (4,0) N ， .............................................................................................................. 3分 又因为直线BC 的倾斜角为120 ，即 3 BC k = − ， ................................................ 4分 所以直线BC 的方程为 43(0) y x − = − − 即3430 x y + − = ．..................... 5分 （2）线段OA的中垂线方程为 1 x = ， 因为线段OB 的中点坐标为3 3 , 2 2         ，直线OB 的斜率为 3 3 ， 所以线段AB 的中垂线方程为 3 3 3 2 2 y x   − = − −     即 323 y x = − + ， 所以由 1, 323, x y x =    = − +   得 1, 3, x y =    =   ..................................................................... 8分 所以 (1, 3) M ，半径 ( ) ( ) 2 2 1 0 3 0 2 r OC = = − + − = ， 因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4， 所以OC 为圆M 的直径即M 为线段OC 中点， ................................................... 10分 所以 (2,2 3) C ． ....................................................................................................... 12分 法三： （1）同法一． x y –1 1 2 3 4 –1 1 2 3 N B A O C （2）设圆M 的半径为r ， 因为在 ABC △ 中， 120 OAB  = ， =2 AB OA = ， 所以 30 BOA  = ， 所以由正弦定理知2 4 sin AB r BOA = =  ，即 2 r = ， .............................................. 7分 因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4， 所以O ，A ，B ，C 四点共圆， 因为 120 ABC  = ，所以 60 AOC  = ， 所以直线OC 的方程为 3 y x = ， ........................................................................... 10分 所以由 3430, 3 , x y y x  + − =   =   得 2, 2 3. x y =    =   所以 (2,23) C ． ....................................................................................................... 12分 19． （选择性必修一P49，11）本题考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量解决立体几何 问题等知识；考查数形结合思想、转化与化归思想、空间想象能力、推理论证能力和运 算求解能力；满分12分． 法一：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz 设正方体的棱长为2，则 (0,0,0) A , (1,1,0) O , (2,2,0) C , 1(0,2,2) D ， .......................................................... 1分 由 1 1 2 BP PB = 得：P 点的坐标为 2 (2,0,)3 ， 1 (1,1,2) D O = −− ， 2 (2,0,)3 AP = ， ........................................................................ 2分 因为 1 2 0 3 DOAP  =  ， 所以 1 D O 与AP 不垂直， ............................................................................................ 3分 所以 1 D O 与平面PAC 不垂直． ................................................................................. 4分 （2）设 (2,0,) P a ,则 (2,0,) APa = 因为 1 D O ⊥面PAC ，所以 1 DOAP ⊥ ， 所以 1 220 DOAPa  = − = ，得： 1 a = ， ............................................................... 6分 所以 (0, 2,1) CP = − ， 1 (2,0,2) CD = − ． 设平面 1 PCD 的法向量为 ( , , ) x y z = m ， 1 2 2 0 2 0 CD x z CP y z   = − + =    = − + =   m m ，令 1, y = 则 2 x z = = ， (2,1,2) = m ， ...................... 8分 因为 1 D O ⊥平面PAC ， 所以平面PAC 的法向量为 1 (1,1,2) D O = −− ， ....................................................... 9分 所以 1 1 1 6 cos , 6 D O D O D O   = = −  m m m ， ............................................................... 11分 所以平面 1 PCD 与平面PAC 所成角的余弦值为 6 6 ． ......................................... 12分 法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz 设正方体的棱长为2，则 (0,0,0) A , (1,1,0) O , 1(0,2,2) D , (2,0,0) A , (2,2,0) C ，1分 由 1 1 2 BPPB = 得 2 (2,0,)3 P ， 2 (2,0,)3 AP = , (2,2,0) AC = ， ........................... 2分 设平面PAC 的法向量为 (,,) xyz = n ， 220 2 2 0 3 ACxy APxz   = + =    = + =   n n ，令 3, z = 则 1,1 x y = − = ， (1