厦门市2021-2022学年度第一学期高一年级质量检测数学试题参考答案与评分标准

高一数学试题答案 第1页（共5 页） 厦门市2021-2022 学年度第一学期高一年级质量检测 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 题源：1．教材P4； 2．教材P31 习题1.5-3； 3．教材P117 例3； 4．教材P180 练习-4； 5．教材P87 习题3.2-12； 6．教材P148 例3； 7．教材P46 例3； 8．教材P160 复习参考题4-4． 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分。 9．AD 10．BCD 11．CD 12．ACD 第12 题提示：对于选项A，记( ) ( ) 1 2 1 1 2 x x hxgx − = −= + ． 因为( ) ( ) 1221 1221 x x x x hxhx − − − − − = = = − + + ，所以h x 为奇函数，故选项A正确； 对于选项B ，由选项A可知( ) ( ) 0 hxhx − + = ，从而( ) ( ) 2 gxgx − + = ，所以 109910210021 ggggg ， 故选项B 错误； 对于选项C ，记 ( ) p x g x a b ． 若p x 为奇函数，则 x R ， 0 pxpx ，即( ) ( ) 2 gxagxab −+ + + = ， 所以 2 2 2 2 2 xaxa b m m −+ + + = + + ，即 ( )( ) 22222 xaxaxaxa mbmm −+ + −+ + + + = + + ． 上式化简得 x R ， ( )( ) 2 2122240 axxa bmmbmb − − + + − − = ． 则必有 ( ) 2 210, 240 a a bm mbmb  − =   − − =   ，解得 2 log, 1 a m b m =   =   ，因此当 0 m 时，( ) g x 的图象必 关于点 2 1 log, m m       对称，故选项C 正确； 对于选项D ，由选项C 可知，( ) ( ) 2 2 2 loglog gmxgmx m + + − = ． 当 0 m  时，( ) g x 是减函数， ( ) 2 2 2 log 2 1 log log m m m = +  ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log 2 log 2 log log g m x g m x g m x g m x m + + −  + + − =         ， 故选项D 正确． 综上，应选ACD ． 题源：9．教材P255 复习参考题5-18； 12．教材P87 习题3.2-13． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．x （答案不唯一） 14．2 ,1 3 15．365.25 ，四 16．3 9 , 2 4 题源：13．教材P91 习题3.3-1； 14．教材P131 练习-1； 15．教材P256 复习参考题5-27； 16．教材P13 练习-3 高一数学试题答案 第2页（共5 页） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． 本题考查指数函数、 幂函数和对数函数的单调性及不等式的性质等数学知识；考查运算 求解，推理论证等数学能力；考查转化与化归等数学思想；考查数学运算，逻辑推理等 数学核心素养． （题源：教材P141 习题4.4-12（原题） ） 解：因为1 1 2 a       ，所以 0 1 1 2 2 a ，所以 0 a  ． --------------------------- 3 分 因为 1 2 1 a  ，所以 2 1 2 2 1 a       ，所以0 1 a  ． 又因为 0 a  ，所以0 1 a  ． ------------------------------------------- 6 分 因为 1 log1 2 a ，所以 1 loglog 2 a a a ． 又因为0 1 a  ，所以 1 0 2 a   ． --------------------------------------- 9 分 综上，实数a 的取值范围是 1 0, 2 ． -------------------------------------- 10 分 18．本题考查初等函数的函数值、奇偶性、单调性、零点等数学知识；考查推理论证、运算 求解等数学能力；考查函数与方程等数学思想；考查逻辑推理、 数学运算等数学核心素 养． （题源：教材P161 复习参考题4-12） 解： （1）方案一：选条件①． 因为 2 10 log3 3 f ，所以 2 2 log3 log3 10 2 2 3 a ， ------------------------------ 1 分 即 10 3 3 3 a ． --------------------------------------------------------- 3 分 解得 1 a ． ------------------------------------------------------------ 4 分 所以 1 2 2 x x f x ． --------------------------------------------------- 5 分 方案二：选条件②． 函数f x 的定义域为R ． ----------------------------------------------- 1 分 因为f x 为偶函数，所以 x R ，fxfx ， ----------------------- 2 分 即 x R ，2222 xxxx a a ，化简得 x R ， 1220 x x a ． 所以 1 0 a ，即 1 a ． ------------------------------------------------- 4 分 所以 1 2 2 x x f x ． --------------------------------------------------- 5 分 方案三：选条件③． 由题意知， 020 f ， ------------------------------------------------ 1 分 即 0 0 220 2 a ，解得 1 a ． ------------------------------------------- 4 分 所以 1 2 2 x x f x ． --------------------------------------------------- 5 分 （2）函数f x 在区间0, 上单调递增． ------------------------------- 6 分 证明如下： 1 2 , 0, x x ，且 1 2 x x ， 则 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ． ---------------------------------------------------------------------- 9 分 高一数学试题答案 第3页（共5 页） 因为 1 2 ,0, x x ， 1 2 x x ，所以 1 2 2 2 x x ，即 1 2 220 x x ． 又因为 1 2 0 x x ，所以 1 2 2 1 x x ，即 1 2 210 x x ． 所以 1 2 0 fxfx ，即 1 2 fxfx ． ------------------------------- 11 分 所以f x 在区间0, 上单调递增． ----------------------------------- 12 分 19．本题考查三角函数图象与性质、三角恒等变换、函数图象的变换等数学知识；考查运算 求解、推理论证等数学能力；考查转化与化归，数形结合等数学思想；考查数学运算、 直观想象等数学核心素养． （题源：教材P228 习题5.5-3，教材P241 习题5.5-5，教 材P206 例5） 解： （1）法一：依题意， π 3 sin 6 5 ． 因为 π ,π 2 ，所以 π 2π 7π 636 ， ，所以 π 4 cos 6 5 ． ------------- 3 分 从而 π π 3 π 1 π 334 sinsinsincos 66262610 ． -------- 6 分 法二：依题意， π 3 sin 6 5 ，所以 3 1 3 sin cos 2 2 5 ①． ------------- 1 分 又因为 2 2 sincos1 ②． 由①②可得， 0 11 sin 3 60 sin 100 2 = + −   ，解得 10 4 3 3 sin  =  ． ------- 4 分 因为 π ,π 2 ，所以 π 2π 7π 636 ， ． 又因为 π 3 sin0 6 5 ，所以 π 2π ,π 6 3 ，所以 π 5π , 2 6 ． 所以 2 1 sin   ，所以 10 4 3 3 sin + =  ． ----------------------------------- 6 分 （2） 将函数f x 的图象先向左平移π 12 个单位长度， 得到函数 π 2sin 4 y x 的图象． ---------------------------------------------------------------------- 7 分 再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的1 2 ， 得到函数 π 2sin 2 4 g x x 的图象． ---------------------------------------------------------------------- 8 分 令 π 2 4 z x ， z y sin 2 = 的单调递增区间是 π π 2 π, 2 π 2 2 k k k Z ． 所以 π π π 2 π 2 2 π 242 kxk ，k Z ，解得 3π π π π 8 8 kxk ，k Z ． 11 分 所以函数g x 的单调递增区间为 3π π π, π 8 8 k k k Z . ----------------- 12 分 20．本题考查初等函数的图象与性质等数学知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考 查函数与方程、数形结合等数学思想；考查直观想象、数据分析、数学建模等数学核心 素养． （题源：教材P156 习题4.5-14） 解： （1）依题意，所选函数必须满足三个条件： （ⅰ）定义域包含 ) 2,+； （ⅱ）增函数； （ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小． 高一数学试题答案 第4页（共5 页） 因为函数 b x a y + − = 3 的定义域为 ) 3,+， 2 x 时无意义； -------------- 2 分 函数 b y a x + = − 2 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大． ---------------- 4 分 函数 2 log yaxb 可以同时符合上述条件，所以应该选择函数 b x a y + = 2 log ． ---------------------------------------------------------------------- 6 分 （2）依题意知 2 2 log44 log84.5 a b a b ，解得 1 , 2 3 a b ． ------------------------- 9 分 所以 3 log 2 1 2 + = x y ． 令 5 3 log 2 1 2  + = x y ，解得 16  x ． ------------------------------------ 11 分 所以，至少再经过14 小时，细菌数量达到5 百万个． ----------------------- 12 分 21．本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等数学知识；考查推理论证、运算求解 等数学能力；考查数形结合、转化与化归等数学思想；考查逻辑推理、数学运算、直观 想象等数学核心素养． （题源：教材P241 习题5.6-4，教材P238 例2） 解： （1）由图可知f x 的周期T 满足 5π π π 2632 T ，得 π T ． ---------------- 1 分 又因为 0 ，所以π π ，解得 2 ．----------------------------------- 2 分 又f x 在 1 π 5π 7π 2 3 6 12 x 处取得最小值，即 7π 7π sin2 1212 fAA ， 得 7π sin1 6 ，所以7π 3π 2 π 6 2 k ，k Z ，解得 π 2 π 3 k ，k Z ． 因为 π 2 ，所以 π 3 ． ---------------------------------------------- 4 分 由 π 0sin203 3 f A ，得 3 3 2 A ，所以 2 A ． ---------------- 5 分 综上， π 2sin 2 3 f x x ． -------------------------------------------- 6 分 （2）当 1 π 0, 3 x 时， 1 π π 2 ,π 3 3 x ，所以 1 1 π 2sin 2 0 3 y x ． 由 2 1 π 3 x x 知 2 1 π 3 x x ． 此时 22111 π π π 2sin22sin22sin2 π 2sin20 333 yxxxx ． 记四边形OMQN 的面积为S ，则 1212 1 5π 212 SOQyyyy ． ----------- 8 分 又 1 2 1 1 1 1 1 π 1 3 2 sin 2 sin2 2 sin2 cos2 sin2 3 2 2 y y x x x x x 1 1 1 3 1 π 2 3 sin2 cos2 2 3sin 2 2 2 6 x x x ． ----------------- 10 分 因为 1 π 0, 3 x ，所以 1 π π 5π 2 , 6 6 6 x ，所以当 1 π π 2 6 2 x ，即 1 π 6 x 时， 1 2 y y 取 得最大值2 3 ． ----------------------------------------------------------- 11 分 高一数学试题答案 第5页（共5 页） 所以四边形OMQN 面积的最大值是5π 5 3π 2 3 126 ． --------------------- 12 分 22． 本题考查二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式， 函数的单调性、 零点等数学知识； 考查推理论证、运算求解等数学能力；考查转化与化归、函数与方程、分类讨论等数学 思想；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养． 解： （1）当 0 a = 时，原不等式可化为 120 x x ①． （ⅰ）当 0 x  时，①式化为 2 2 0 x x − −  ，解得1 2 x −  ，所以0 2 x   ； ---------------------------------------------------------------------- 2 分 （ⅱ）当 0 x  时，①式化为 2 2 0 x x ，解得x R ，所以 0 x  ． --------- 4 分 综上，原不等式的解集为( ) ,2 − ． --------------------------------------- 5 分 （2）依题意， 2 2 11, 11, xaxaxa f x xaxaxa ． ----------------------- 6 分 因为 ( ) 1 0 f a = − ，且二次函数 2 1 1 y x a x a 开口向上，所以当x a  时， 函数 ( ) f x 有且仅有一个零点． 所以x a  时，函数 ( ) f x 恰有两个零点． ---------------------------------- 7 分 所以 2 1 , 2 1410, 10. a a a a f a 解得 3 a  ． ----------------------------------------------------------- 8 分 不妨设 123 xxx   ，所以 1 x ， 2 x 是方程 2 110 xaxa 的两相异实根， 则 1 2 1 2 1, 1 xxa xxa ，所以 1 2 1212 1 1 1 x x xxxx + + = = ． ---------------------------- 9 分 因为 3 x 是方程 2 110 xaxa 的根，且 3 1 2 a x ， 由求根公式得 ( ) 2 3 114 2 a a x + + − + = ． --------------------------------- 10 分 因为函数( ) ( ) 2 114 2 a a g a + + − + = 在( ) 3,+上单调递增， 所以 ( ) 3 3 2 2 x g  = + ，所以 3 1 2 0 1 2 x  − ． -------------------------- 11 分 所以 123 1112 1 2 2 xxx  + +  − ． 所以 123 111 xxx 的取值范围是 2 1,2 2 ． ---