河南省南阳市宛城区南阳市第一中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

第1 页（共23 页） （北京）股份有限公司 河南省南阳市第一中学学校2022-2023 高一下学期 数学3 月份月考试卷卷一 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的 相应位置上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题，共60 分） 一．选择题（共12 小题，满分60 分，每小题5 分） 1．下列坐标所表示的点是函数 图象的对称中心的是（ ） A． B． C． D． 2．sin1•sin2•sin3•sin4 的符号为（ ） A．正 B．0 C．负 D．无法确定 3．已知函数 的部分图象如图所 示，则（ ） 第2 页（共23 页） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4．已知tanα＝3，则 ＝（ ） A． B． C． D． 5．记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A．已知分针长OA＝5cm，且分针从 12 点位置开始绕中心点O 顺时针匀速转动．若以中心点O 为原点，3 点和12 点方向分 别为x 轴和y 轴正方向建立平面直角坐标系，则点A 到x 轴的距离y（单位：cm）与时 间t（单位：min ）的函数解析式为（ ） A．y＝5|sint| B．y＝5|cost| C．y＝5|sin t| D．y＝5|cos t| 6．由于潮汐，某港口一天24h 的海水深度H（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t＜24）的 变化近似满足关系式 ，则该港口一天内水深不小于10m 的时长为（ ） A．12h B．14h C．16h D．18h 7．将函数 向右平移 个单位长度得到函数g（x），若函数g （x）在 上的值域为[ 2 ﹣，1]，则实数m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0）的图像的相邻两个对称中心的距离是 ，且 图像过点 ，则下列结论不正确的是（ ） A．函数f（x）在 上是减函数 B．函数f（x）的图像的一条对称轴为 第3 页（共23 页） （北京）股份有限公司 C．将函数f（x）的图像向右平移 个单位长度后的图像关于y 轴对称 D．函数f（x）的最小正周期为π 9．函数f（x）＝sin（ωx﹣ ）的图象关于点（ ，0）中心对称，且在区间（0，π） 恰有三个极值点，则（ ） A．f（x）在区间（﹣ ， ）单调递增 B．直线x＝ 是曲线y＝f（x ）的对称轴 C．f（x ）在区间（﹣π，π）有5 个零点 D．f（x）图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为奇函数 10．已知 ．给出下列说法，其中，正确的说法的 个数为 ①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝2； ②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象右移 个单位长度后得到的图象关于y 轴对 称； ③若f（x）在[0，2π]上恰有7 个零点，则ω 的取值范围为 ④若f（x）在 上单调递增，则ω 的取值范围为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数f（x）＝2sin（2x+ ）﹣2sin2（x+ ）+1，把函数f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，若x1、x2 是g（x）＝m 在[0， ]内的两根，则 sin（x1+x2 ）的值为（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 12．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx，周期T＜2π， ，且在 处取得最 第4 页（共23 页） （北京）股份有限公司 大值，则使得不等式λ|ω|﹣a≥0 恒成立的实数λ 的最小值为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题,共90 分） 二．填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分） 13．cos +tan225°+sin ＝ ． 14．已知函数y＝sinωx（ω＞0）在区间 上恰有两个零点，则ω 的取值范围为 ． 15．把函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）的图 象．若函数g（x）在[ ，θ]上的值域是[ ，3]，则θ＝ ． 16．如图，OPQ 是半径为2 ∠ ， POQ＝α 的扇形，C 是弧PQ 上的点，ABCD 是扇形的内接 ∠ 矩形，设 COP＝θ，若 ，四边形ABCD 面积S 取得最大值，则cosθ 的值为 ． 三．解答题（共6 小题，满分70 分） 17．在平面直角坐标系xOy 中，角α 的始边为x 轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位 圆交于点P，点P 的纵坐标为 ． 第5 页（共23 页） （北京）股份有限公司 （1）求sinα+cosα 和tanα 的值； （2 ）若将射线 OP 绕点 O 逆时针旋转 ，得到角 β ，求 ． 18．要得到函数 的图象，可以从正弦函数y＝sinx 图象出发，通过图象 “ ” 变换得到，也可以用五点法列表、描点、连线得到． （1）由y＝sinx 图象变换得到函数 的图象，写出变换的步骤和函 数； （2 “ ” ）用五点法画出函数 在区间 上的简图． 19．已知函数 ，x∈R． Ⅰ （）求f（x）的最小正周期； Ⅱ （）求f（x）在区间 上的最大值和最小值； Ⅲ （）若 ， ，求cos2x0的值． 20．在①f（x）的图像关于直线 对称，②f（x）的图像关于点 对称， ③f（x）在 上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中， 若问题中的正实数a 存在，求出a 的值；若a 不存在，说明理由． 第6 页（共23 页） （北京）股份有限公司 已知函数 的最小正周期不小于 ，且____，是 否存在正实数a，使得函数f（x）在[0， ]上有最大值3？ 21 △ ．已知ABC 的三个内角分别为A，B，C，且 sinCsin（B+ ）＝sinA． （1）求 的值； （2）已知函数f（B）＝k（sinB+cosB）+sinBcosB（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣ 4cosA•x+2 cosA）的定义域为R，求函数f（B）的值域． 22．函数f（x）＝2cos（2x﹣θ+ ）（0 ）是偶函数． Ⅰ （）求θ； Ⅱ （）将函数y＝f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再向左平移 个单位，最后向上平移1 个单位得到y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）﹣ ﹣1＝0 在x∈[﹣ ， ]有两个不同的根α，β，求实数m 的取值范围及α+β 的值． 第7 页（共23 页） （北京）股份有限公司 河南省南阳市第一中学学校2022-2023 高一下学期数学3 月份 月考试卷卷一 参考答案与试题解析 一．选择题（共12 小题） 1．【解答】解：令2x﹣ ＝kπ，k∈Z，则x＝ + ，k∈Z， 当k＝0 时，x＝ ，所以该函数的一个对称中心为（ ，0）． 故选：A． 2．【解答】解：因为sin1＞0，sin2＞0，sin3＞0，sin4＜0， sin1•sin2•sin3•sin4＜0． 故选：C． 3．【解答】解：由图象知A＝2， ＝ ＝3，得周期T＝4，即T＝ ，得 ω＝ ， 则f（x）＝2sin（ x+φ）， 由五点对应法得 ×（﹣ ）+φ＝0，得φ＝ ， 即f（x）＝2sin（ x+ ）， 故选：D． 4 ． 【 解 答 】 解 ： ． 故选：B． 5．【解答】解：如图所示： 第8 页（共23 页） （北京）股份有限公司 由题意得分针每分钟转 ＝ rad， 则t 分钟后转了 trad， 则点A 到x 轴的距离y 与时间t 的关系可设为： y＝5|sin（﹣ t+φ）|， 当t＝0 时，点A 在钟表的12 点处，此时y＝5， 所以5＝5|sin（﹣ ×0+φ）|⇔|sinφ|＝1， 所以可以取φ＝ ， 此时y＝5|cos t|． 故选：D． 6．【解答】解：由题意，可知某港口一天24h 的海水深度H（单位：m）随时间t（单位： h，0≤t＜24）的变化近似满足关系式 ， 即 ， 因为0≤t＜24，所以 ， 第9 页（共23 页） （北京）股份有限公司 由正弦函数图象与性质可知， ，解得6≤t≤22， 所以该港口一天内水深不小于10m 的时长为22 6 ﹣＝16 小时， 故选：C． 7．【解答】解：将函数 向右平移 个单位长度得到函数g （x）， 则g（x）＝2sin[2（x﹣ ）+ ] 1 ﹣＝2sin（2x+ ）﹣1， ∵g（x）在 上的值域为[ 2 ﹣，1]， 2sin ∴ （2x+ ）﹣1∈[ 2 ﹣，1]， 即sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]， 当﹣ ≤x≤m 时，﹣ ≤2x≤2m，﹣ ≤2x+ ≤2m+ ， 当2x+ ＝﹣ 时，y＝sin（﹣ ）＝ ， 则 ≤2m+ ≤ ， 得 ≤2m≤ ，得 ≤m≤ ， 即实数m 的取值范围是[ ， ]， 故选：B． 8．【解答】 ∵ 解：根据题意可得 ＝ ， ∴函数f（x）的周期T＝π， ∴ω＝ ＝2， 又函数f（x）的图像过点 ， 3sin ∴ （ +φ）＝﹣3， 第10 页（共23 页） （北京）股份有限公司 ∴ ，k∈Z， ∴φ＝ ，k∈Z， ∴f（x）＝3sin（2x ）＝3sin（2x+ ）， 对A 选项，令 ，k∈Z， ∴ ，k∈Z， ∴f（x）的单调增区间为[ +kπ， +kπ]，k∈Z， ∴又 ⊈为[ +kπ， +kπ]，k∈Z， ∴A 选项错误； 对B ∵ 选项，f（ ）＝3sin（ + ）＝﹣3， ∴f（x）的图像的一条对称轴为 ∴ ，B 选项正确； 对C ∵ 选项，将函数f（x）的图像向右平移 个单位长度后， 可得y＝3sin[2（x﹣ ）+ ]＝3sin（2x﹣ ）＝﹣3cos2x，其为偶函数， ∴平移后的函数的图像关于y ∴ 轴对称，C 选项正确； 对D ∵ 选项，f（x）的最小正周期为 ＝π ∴ ，D 选项正确． 故选：A． 9．【解答】解：由已知得 ＝0⇒ ， 解得 ①，k∈Z， 因为f（x）在区间（0，）恰有三个极值点，故 ， 解得 ，结合①得ω＝3，所以f（x）＝sin（3x﹣ ）， 第11 页（共23 页） （北京）股份有限公司 对于A，x∈（﹣ ， ）时， ，y＝sinx 此时先减后增，故A 错误； 对于B，因为f（ ）＝﹣1 是最小值，故x＝ 是曲线y＝f（x ）的对称轴，B 正确； 对于C，x∈（﹣π，π）时， ∈（﹣3 ， ），y＝sinx 此时有﹣ 3π，﹣2π，﹣π，0，π，2π，共6 个零点，故C 错误； 对于D，f（x）图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数f（x）＝sin（3x ） 为非奇非偶函数，故D 错误． 故选：B． 10．【解答】解：函数f（x）＝1 2cos ﹣ 2（ωx+ ）＝﹣cos（2ωx+ ）； 对于①，若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π， 所以f（x）的最小正周期为2π，即 ＝2π，解得ω＝ ，命题①错误； 对于②，因为f（x）的图象右移 个单位长度后， 得y＝f（x﹣ ）＝﹣cos[2ω（x﹣ ）+ ]＝﹣cos[2ωx+（ ﹣ ）]， 由函数图象关于y 轴对称，令 ﹣ ＝kπ，k∈Z，解得ω＝﹣3k+2，k∈Z， 所以对任意整数k，都有ω∉（0，2），命题②错误； 对于③，由题意知， ﹣ ≤2π＜ ﹣ ，解得 ≤ω＜ ， 所以f（x）在[0，2π]上恰有7 个零点时，ω 的取值范围是 ，命题③正 确； 对于④，由题意知， ，解得ω≤ ，又因为ω＞0，所以0＜ω≤ ， 第12 页（共23 页） （北京）股份有限公司 即f（x）在 上单调递增时，ω 的取值范围是 ，命题④正确． 综上知，正确的命题序号是③④，共2 个． 故选：B． 11．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+ ）﹣2sin2（x+ ）+1＝2sin（2x+ ）+cos （2x+ ）＝ sin（2x+ +θ）， 其中，cosθ＝ sinθ＝ ， 把函数f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）＝ sin（2x+θ）的图象， ∵g（x）的周期T＝ ＝π， ∵x1，x2是g（x）﹣m＝0 在[0， ]内的两根， 当x1＝0 时，可得g（x1）＝ sinφ， 当x2＝ 时，可得g（x2）＝﹣ sinφ， 互为相反， ∴x2＝x1+ ． 即g（x1）＝m，g（x2）＝m， 可得： sin（2x1+φ）＝ sin（2x1+π+φ）＝﹣ sin（2x1+φ） 令2x1+φ＝0， 可得：x1＝ φ． x2＝ + φ． 那么：sin（x1+x2）＝sin（ +φ）＝cosφ＝ ． 故选：A． 第13 页（共23 页） （北京）股份有限公司 12．【解答】 ∵ 解：f（x）＝sinωx+acosωx＝ sin（ωx+φ），其中tanφ＝a， ∵x＝ 处取得最大值 ∴ ω+φ＝ +2kπ，即φ＝ +2kπ﹣ ω，k∈Z， tan ∴ φ＝tan（ +2kπ﹣ ω）＝tan（ ﹣ ω）＝ ＝a，k∈Z，① ∵f （ ）＝ sin （ ω+φ ）＝ sin （ ω+ +2kπ﹣ ω ）＝ cos ＝ ，k∈Z， cos ∴ ω＝ ，② ①×②得sin ω＝ • ， sin ∴ 2 +cos2 ＝ + ＝1， 即a4 2 ﹣a2 3 ﹣＝0，解得a＝ ， 若a＝﹣ ，则f（x）＝sinωx﹣ cosωx＝2sin（ωx﹣ ）， f（ ）＝2sin（ ﹣ ）＝2， ∴ ﹣ ＝ +2kπ，k∈Z， ∴ω＝5+12k， f（ ）＝2sin（ ﹣ ）＝2sin（ +4kπ﹣ ）＝2sin ＝﹣ ，这与f（ ）＝ 矛盾，故应舍去． 第14 页（共23 页） （北京）股份有限公司 由①得tan ＝tan（ +kπ），k∈Z， cos ∵ ＞0 ∴ ， 在第一象限， ∴取 ＝tan（ +2kπ），k∈Z， 由T＝ ＜2π，即|ω|＞1， ∴ ＝ +2kπ，k∈Z， ∴ω＝12k+1，k∈Z， 使|ω|最小，则k＝﹣1， 即|ω|min＝11， 若不等式λ|ω|≥a 恒成立，则λ≥（ ）max＝ ， 故选：A． 二．填空题（共4 小题，满分5 分） 13．【解答】解：原式＝cos（π+ ）+tan（180°+45°）+sin（3π+ ）＝﹣cos +tan45° sin ﹣ ＝﹣ +1﹣ ＝0． 故答案为：0． 14．【解答】解：当 时，则 ，则f（0）＝0， 要使y＝sinωx（ω＞0）在区间 上恰有两个零点， 则 ，解得2≤ω＜4， 即ω 的取值范围是[2，4）， 故答案为：[2，4）． 15．【解答】解：由题意可知g（x）＝3sin[2（x﹣ ）+ ]＝3sin（2x+ ）， 令2kπ﹣ ＜2x+ ＜2kπ，k∈Z，解得x∈（k ，k ），k∈Z， 第15 页（共23 页） （北京）股份有限公司 所以函数g（x）在（k ，k ），k∈Z 上单调递增， 令2kπ+ ＜2x+ ＜2kπ+ ，k∈Z，解得x∈（k ，kπ+ ），k∈Z， 所以函数g（x）在（k ，kπ+ ），k∈Z 上单调递减， 因为函数g（x）在[﹣ ，θ]上的值域是[﹣ ，3]，且g（ ）＝3， g（﹣ ）＝3sin[2×（﹣ ）+ ]＝0， 所以g（θ）＝﹣ ， ＜θ＜ ， 所以2θ+ ＝ ，θ＝ ， 故答案为： ． 16．【解答】 ∵ △ 解：在直角OBC 中，OB＝cosθ，BC＝sinθ， ∵ △ 又在直角OAD 中： ＝tanα， ∵ 又cosα＝ ， ∴OA＝ AD＝ BC＝ sinθ， S 矩形ABCD＝AB•BC＝（cosθ﹣ sinθ）sinθ ＝ sin2θ﹣ （1 cos2 ﹣ θ） ＝ sin（2θ+φ）﹣ ， 当sin（2θ+φ）＝1 时，S 最大． 即 sin2θ+ cos2θ＝1⇒ sinθcosθ+ （cos2θ sin ﹣ 2θ）＝cos2θ+sin2θ． 即（2sinθ cos ﹣ θ）2＝0，2sinθ＝cosθ， sin ∵ 2θ+cos2θ＝1，0＜θ＜ ， 第16 页（共23 页） （北京）股份有限公司 cos ∴ θ＝ ． 故答案为： ． 三．解答题（共6 小题） 17．【解答】解：（1）由题意知，点P 的坐标为（﹣ ， ）， 所以sinα＝ ，cosα＝﹣ ，tanα＝﹣ ， 所以sinα+cosα＝ ． （2）由题意知，β＝α+ ， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣4． 18．【解答】解：（1）步骤1：把y＝sinx 图象上所有点向右平移 个单位长度，得到函 数 的图象； 第17 页（共23 页） （北京）股份有限公司 步骤2：把 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得 到函数 的图象； 步骤3：最后把函数 的图象的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不 变），得到函数 的图象． （2）列表： 0 π 2π x y 0 2 0 2 ﹣ 0 19．【解答】 Ⅰ 解：（） ＝2sinx（cosxcos +sinxsin ）﹣ ＝2sinx （ ）﹣ ＝sinxcosx+ ﹣ ＝ ＝ ＝sin（2x﹣ ）， ∵T＝ ＝π ∴ ，f（x）的最小正周期为π； Ⅱ ∵ （） ∴ ， ， ∴f（x）在区间 上的最大值为 ，最小值为﹣1； 第18 页（共23 页） （北京）股份有限公司 Ⅲ ∵ （） ∴ ，sin（ ）＝﹣ ＜0， ∵ 又 ∴ ， ， cos ∴ （ ）＝﹣ ， cos2 ∴ x0＝cos[（2x0﹣ ） ]＝ ＝﹣ ． 20．【解答】解：由于函数f（x）的最小正周期不小于 ，所以 ， 所以1≤ω≤6，ω∈N*， 若选择①，即f（x）的图像关于直线 对称， 有 ，解得 ， 由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4， 此时， ， 由 ，得 ， 因此当 ，即 时，f（x）取得最大值4+a， 令4+a＝3，解得a＝﹣1，不符合题意． 故不存在正实数a，使得函数f（x）在 上有最大值3． 若选择②，即f（x）的图象关于点 对称， 则有 ，解得 ， 由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3． 此时， ． 第19 页（共23 页） （北京）股份有限公司 由 ，得 ，因此当 ，即 时，f （x）取得最大值 ， 令 ，解得 ，不符合题意． 故不存在正实数a，使得函数f（x）在 上有最大值3； 若选择③，即f（x）在 上单调递增， 则有 ， 解得 ， 由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝0，ω＝1． 此时， ． 由 ，得 ， 因此当 ，即 时，f（x）取得最大值 ， 令 ，解得 ，符合题意． 故存在正实数 ，使得函数f（x）在 上有最大值3． 21．【解答】解：（1）因为 sinCsin（B+ ）＝sinA， 所以sinB•sinC+cosB•sinC＝