河南省南阳市第一中学校2022-2023学年上期高一第二次月考数学试题

第1 页 南阳一中2022 年秋期高一第二次月考 数学试题 一、单选题（每小题5 分，共40 分） 1．设全集𝑈= 𝑅，集合𝑃= {𝑥| 𝑥 𝑥−1 ≤0},𝑄= {𝑥|𝑥≤4}，则𝑃∩𝑄=（ ） A．[0,1) B．[0,1] C．(−∞,0] ∪(1,4] D．(−∞, 0] ∪[1,4] 2．命题“∃𝑥> 1, 𝑥2 −𝑥> 0”的否定是（ ） A．∃𝑥≤1, 𝑥2 −𝑥> 0 B．∀𝑥> 1, 𝑥2 −𝑥≤0 C．∃𝑥> 1, 𝑥2 −𝑥≤0 D．∀𝑥≤1, 𝑥2 −𝑥> 0 3．已知𝑎= ( 1 2) 2 5，𝑏= 3 2 3，𝑐= 3 2 5，则a，b，c 的大小关系为（ ） A．𝑏> 𝑎> 𝑐 B．𝑎> 𝑐> 𝑏 C．𝑐> 𝑎> 𝑏 D．𝑏> 𝑐> 𝑎 4．函数𝑓(𝑥)＝ 2𝑥+2−𝑥 𝑥 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．已知幂函数𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎的图象过点(9,3)，则函数 1 ( ) ( ) 1 f x y f x − = + 在区间[1,9]上的值域为 （ ） A．[−1,0] B．[− 1 2 , 0] C．[0,2] D．[− 3 2 , 1] 6．已知函数𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥−1, 𝑥≤1 −𝑥2 + 2𝑥−2𝑎, 𝑥> 1（𝑎> 0且𝑎≠1） ，若函数𝑓(𝑥)的值域为𝑅，则 实数𝑎的取值范围是（ ） A．[ 1 2 , +∞) B．(0, 1 2] C．[ 2 3 , +∞) D．(0, 2 3] 7．已知定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)在[1, +∞)上单调递增，若𝑓(3) = 0，且函数𝑓(𝑥+ 1)为偶 第2 页 函数，则不等式 ( ) 0 xf x  的解集为（ ） A．(3,+∞) B．( ) ( ) , 1 0,3 −− U C．( ) 1, −+ D．(−3,0) ∪(1,+∞) 8．已知4𝑥= 3𝑦= 𝑚，且 1 𝑥+ 4 𝑦= 2，则𝑚=（ ） A．3 B．6 C．12 D．18 二、多选题（每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，全部选对 得5 分，选对但不全的得3 分，有选错的得0 分） 9．已知关于𝑥的不等式 2 0 ax bx c + +  的解集为{𝑥|𝑥< −3或𝑥> 4}，则下列说法正确的是 （ ） A．𝑎> 0 B．不等式𝑏𝑥+ 𝑐> 0的解集为{𝑥|𝑥< −4} C．不等式 2 0 cx bx a − +  的解集为{𝑥|𝑥< − 1 4 或𝑥> 1 3} D．𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0 10．设𝑎> 𝑏> 0，则（ ） A．𝑎+ 1 𝑏> 𝑏+ 1 𝑎 B． 2 𝑎+𝑏< 1 √𝑎𝑏 C． 𝑎2+𝑏2 √𝑎𝑏> 𝑎+ 𝑏 D．𝑏2 𝑎< 2𝑏−𝑎 11．下列说法正确的是（ ） A．命题“∃𝑥0 ∈𝑅, 2𝑥0 > 𝑥0 2”的否定是“∀𝑥∈𝑅, 2𝑥≤𝑥2” B．函数 2 2 9 ( ) 16 16 f x x x = + + + 的最小值为6 C．函数𝑔(𝑥) = ( 1 2) √−𝑥2−𝑥+2的单调递增区间为[− 1 2 , 1] D．a b 的充要条件是𝑎|𝑎| > 𝑏|𝑏| 12．已知𝑎< 𝑏, 𝑐< 𝑑，若∀𝑥∈𝑅, (𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏) + 1 = (𝑥−𝑐)(𝑥−𝑑)，则（ ） A．𝑐< 𝑏< 𝑑 B．𝑐< 𝑎< 𝑑 C．𝑎< 𝑐< 𝑏 D．𝑎< 𝑑< 𝑏 第3 页 三、填空题（每小题5 分，共20 分） 13．函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+2 + 2（𝑎> 0，且𝑎≠1）的图象过定点𝑃.则点𝑃的坐标是_________. 14．函数𝑓(𝑥) = √𝑥2 −3𝑥+ 2的单调递增区间是____________． 15．若两个正实数𝑥, 𝑦满足2𝑥𝑦= 𝑥+ 𝑦，且不等式𝑥+ 𝑦> 2𝑚2 −3𝑚+ 3恒成立，则实数 𝑚的取值范围为_____. 16．已知函数𝑦= 𝑓(𝑥)的定义域为{𝑎, 𝑏, 𝑐}，值域为{−1,0,1,2}的子集，则满足𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) + 𝑓(𝑐) = 0的函数𝑦= 𝑓(𝑥)的个数为_______． 四、解答题（17 题10 分，18-22 每题12 分，共70 分） 17．求下列各式的值： (1) 80.25 × √2 4 + √(− 2 3) 2 3 × ( 4 9) 1 3 + 2 × 3−1； (2) √(𝑙𝑔2)2 + 𝑙𝑔 1 16 + 4 −𝑙𝑔√2 −𝑙𝑜𝑔100125. 18．已知集合𝐴= {𝑥|−3 ≤𝑥< 4}, 𝐵= {𝑥|2𝑚−1 ≤𝑥≤𝑚+ 1} (1)当𝑚= 1时，求出 , A B A  ∁R𝐵； (2)若𝐵⊆𝐴，求实数𝑚的取值范围. 19．(1)若命题“对任意实数𝑥，都有𝑎𝑥2 −(1 −2𝑎)𝑥−2 ⩾−𝑥−3”为真命题，求实数𝑎的 取值范围； (2)解关于𝑥的不等式𝑎𝑥2 −(1 −2𝑎)𝑥−2 < 0(𝑎∈𝑅). 第4 页 20．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后 决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放𝑚(1 ≤ 𝑚≤4, 且𝑚∈𝑅)个单位的药剂，它在水中释放的浓度𝑦（克/升）随着时间𝑥（天）变化的 函数关系式近似为𝑦= 𝑚⋅𝑓(𝑥)，其中𝑓(𝑥) = { 16 8−𝑥, 0 ≤𝑥≤4 5 − 1 2 𝑥, 4 < 𝑥≤10 若多次投放，则某一时 刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中 药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放𝑚个单位的药剂，要使接下来的4 天中能 够持续有效治污，试求𝑚的最小值． 21．对于函数𝑓(𝑥)，若存在𝑥0 ∈𝑅，使得𝑓(𝑥0) = 𝑥0成立，则称𝑥0为𝑓(𝑥)的不动点，已知 函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + (𝑏+ 2)𝑥+ 4的两个不动点分别是−2和1. (1)求𝑎, 𝑏的值及𝑓(𝑥)的表达式； (2)当函数𝑓(𝑥)的定义域是[𝑡, 𝑡+ 1]时，求函数𝑓(𝑥)的最大值𝑔(𝑡). 22．已知定义域为R 的函数𝑓(𝑥) = 𝑏−3𝑥 3𝑥+𝑎是奇函数． （1）求𝑎, 𝑏的值； （2）证明𝑓(𝑥)在R 上为减函数； （3）若对于任意𝑡∈R ，不等式𝑓(𝑘𝑡2) + 𝑓(2 −3𝑡) < 0恒成立，求𝑘的取值范围． 答案第1 页，共6 页 参考答案： 1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 【详解】因为函数𝑓(𝑥+ 1)为偶函数，所以函数𝑓(𝑥)的图像关于直线𝑥= 1对称， 因为函数𝑓(𝑥)在[1, +∞)上单调递增，所以函数𝑓(𝑥)在(−∞,1]上单调递减， 因为𝑓(3) = 0，所以𝑓(−1) = 0， 所以由𝑓(𝑥) < 0可得−1 < 𝑥< 3，由𝑓(𝑥) > 0可得 1 x −或𝑥> 3， 解不等式 ( ) 0 xf x  ，可得{𝑥< 0 𝑓(𝑥) > 0或{𝑥> 0 𝑓(𝑥) < 0，解得 1 x −或0 < 𝑥< 3， 所以，不等式 ( ) 0 xf x  的解集为( ) ( ) , 1 0,3 −− U ． 故选：B 8．D 【详解】由4𝑥= 3𝑦= 𝑚> 0得：𝑥= 𝑙𝑜𝑔4 𝑚, 𝑦= 𝑙𝑜𝑔3 𝑚， 由换底公式可得： 1 𝑥= 𝑙𝑜𝑔𝑚4 , 1 𝑦= 𝑙𝑜𝑔𝑚3， 则 1 𝑥+ 4 𝑦= 𝑙𝑜𝑔𝑚4 + 4 𝑙𝑜𝑔𝑚3 = 𝑙𝑜𝑔𝑚4 × 34 = 2， 所以𝑚2 = 4 × 34 = 324， 因为𝑚> 0， 所以𝑚= 18 故选：D 9．AC 【详解】对于A，由二次不等式解集的特点易知𝑎> 0，故A 正确； 对于B，因为不等式 2 0 ax bx c + +  的解集为{𝑥|𝑥< −3 或𝑥> 4}，故𝑥1 = −3或𝑥2 = 4是方 程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0的两个实根， 所以由韦达定理{ 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑏 𝑎 𝑥1𝑥2 = 𝑐 𝑎 得，{ − 𝑏 𝑎= 1 𝑐 𝑎= −12 ，即{𝑏= −𝑎 𝑐= −12𝑎， 代入𝑏𝑥+ 𝑐> 0，得−𝑎𝑥−12𝑎> 0，即𝑥+ 12 < 0，解得𝑥< −12，故B 错误； 对于C，将{𝑏= −𝑎 𝑐= −12𝑎代入 2 0 cx bx a − +  ，得−12𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑎< 0，即 2 12 1 0 x x − −， 因式分解得(3𝑥−1)(4𝑥+ 1) > 0，解得𝑥< − 1 4 或𝑥> 1 3，故C 正确； 对于D，因为{𝑏= −𝑎 𝑐= −12𝑎，所以𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 𝑎−𝑎−12𝑎= −12𝑎< 0，故D 错误. 答案第2 页，共6 页 故选：AC. 10．ABC 【详解】对于A，因为𝑎> 𝑏> 0，所以𝑎−𝑏> 0, 𝑎𝑏> 0， 所以(𝑎+ 1 𝑏) −(𝑏+ 1 𝑎) = 𝑎−𝑏+ 1 𝑏− 1 𝑎= (𝑎−𝑏) + 𝑎−𝑏 𝑎𝑏= (𝑎−𝑏) (1 + 1 𝑎𝑏) > 0， 所以𝑎+ 1 𝑏> 𝑏+ 1 𝑎，所以A 正确， 对于B，因为𝑎> 𝑏> 0，所以𝑎+ 𝑏> 0, 𝑎𝑏> 0, √𝑎−√𝑏> 0， 所以1 √𝑎𝑏− 2 𝑎+𝑏= 𝑎+𝑏−2√𝑎𝑏 √𝑎𝑏(𝑎+𝑏) = (√𝑎−√𝑏) 2 √𝑎𝑏(𝑎+𝑏) > 0，所以 2 𝑎+𝑏< 1 √𝑎𝑏，所以B 正确， 对于C，因为𝑎> 𝑏> 0，所以𝑎+ 𝑏> 0, 𝑎𝑏> 0, √𝑎−√𝑏> 0， 所以𝑎2+𝑏2 √𝑎𝑏−(𝑎+ 𝑏) = 𝑎2+𝑏2−(𝑎+𝑏)√𝑎𝑏 √𝑎𝑏 = 𝑎2+𝑏2−𝑎√𝑎𝑏−𝑏√𝑎𝑏 √𝑎𝑏 = 𝑎√𝑎(√𝑎−√𝑏) −𝑏√𝑏(√𝑎−√𝑏) √𝑎𝑏 = (√𝑎−√𝑏)(𝑎√𝑎−𝑏√𝑏) √𝑎𝑏 = (√𝑎−√𝑏)(√𝑎−√𝑏)(𝑎+ 𝑏+ √𝑎𝑏) √𝑎𝑏 = (√𝑎−√𝑏)2(𝑎+𝑏+√𝑎𝑏) √𝑎𝑏 > 0，所以 𝑎2+𝑏2 √𝑎𝑏> 𝑎+ 𝑏，所以C 正确， 对于D，因为𝑎> 𝑏> 0 所以2𝑏−𝑎− 𝑏2 𝑎= 2𝑎𝑏−𝑎2−𝑏2 𝑎 = −(𝑎−𝑏)2 𝑎 < 0，所以𝑏2 𝑎> 2𝑏−𝑎，所以D 错误， 故选：ABC 11．ACD 【详解】对于A 选项，由特称命题的否定形式可知，A 选项正确； 对于B 选项，若利用基本不等式有𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 16 + 9 √𝑥2+16 ≥2√√𝑥2 + 16 9 √𝑥2+16 = 6，等 号不能成立，故B 选项错误； 对于C 选项，因为函数𝑦= ( 1 2) 𝑡为递减函数，若𝑔(𝑥) = ( 1 2) √−𝑥2−𝑥+2递增时，只需使函数 𝑦= −𝑥2 −𝑥+ 2递减，且−𝑥2 −𝑥+ 2 ≥0，解得− 1 2 ≤𝑥≤1，故C 正确； 对于D 选项，设函数𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| = {𝑥2, 𝑥≥0 −𝑥2,𝑥< 0，则函数[0, +∞)上递增，在(−∞, 0)上也递 增，故𝑓(𝑥)为R 上的单调增函数，所以a b  时𝑎|𝑎| > 𝑏|𝑏|；当𝑎|𝑎| > 𝑏|𝑏|时，有a b  . 故 a b 的充要条件是𝑎|𝑎| > 𝑏|𝑏|，D 选项正确． 答案第3 页，共6 页 故选：ACD. 12．CD 【详解】令𝑦= (𝑥−𝑐)(𝑥−𝑑)，则二次函数𝑦= (𝑥−𝑐)(𝑥−𝑑)的图象与𝑥轴的交点为 (𝑐, 0),(𝑑, 0)， 又(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏) = (𝑥−𝑐)(𝑥−𝑑) −1， 所以𝑦= (𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)是由𝑦= (𝑥−𝑐)(𝑥−𝑑)的图象向下平移一个单位长度，且𝑦= (𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)的图象与𝑥轴的交点为(𝑎, 0), (𝑏, 0)， 所以可知𝑎< 𝑐< 𝑑< 𝑏. 故选：CD. 13．( ) 2,3 − 【详解】当 2 0 x + = ，即 2 x = −时，𝑓(−2) = 𝑎0 + 2 = 3， 所以函数𝑓(𝑥)的图象过定点( ) 2,3 − . 故答案为：( ) 2,3 − 14．[2, +∞) ##(2,+∞) 【详解】𝑥2 −3𝑥+ 2 ≥0，𝑥≤1 或𝑥≥2， 𝑦= √𝑢是增函数，𝑢= 𝑥2 −3𝑥+ 2在(−∞,1]上递减，在[2,+∞)上递增， 所以𝑓(𝑥)的增区间是[2, +∞)． 故答案为：[2,+∞)． 15．( 1 2 , 1) 【详解】由2𝑥𝑦= 𝑥+ 𝑦得 1 𝑥+ 1 𝑦= 2，且𝑥> 0, 𝑦> 0 ，故𝑥+ 𝑦= 1 2 (𝑥+ 𝑦) ( 1 𝑥+ 1 𝑦) = 1 2 (2 + 𝑦 𝑥+ 𝑥 𝑦) ≥ 1 2 (2 + 2√ 𝑦 𝑥⋅ 𝑥 𝑦) = 2， 当且仅当 𝑦 𝑥= 𝑥 𝑦即𝑥= 𝑦= 1时等号成立. 故问题转化为2𝑚2 −3𝑚+ 3 < 2，解得1 1 2 m  ，故实数m 的取值范围为( 1 2 , 1). 故答案为：( 1 2 , 1) 16．10 【详解】因为0 + 0 + 0 = 0，所以𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑐) = 0，此时是一个函数； 因为0 + 1 + (−1) = 0，所以𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏),𝑓(𝑐)的值为0,1, −1其中一个，这样的函数共有 答案第4 页，共6 页 3 × 2 = 6个； 因为−1 + (−1) + 2 = 0，所以𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑐)的值为2, −1, −1其中一个，这样的函数共有 3， 所以符合条件的函数共有1 + 6 + 3 = 10个， 故答案为：10 17． （1） 10 3 ； （2） 1 2. 【详解】 （1）原式= (23) 1 4 × 2 1 4 + ( 2 3) 1 3 × ( 4 9) 1 3 + 2 3 = 2 + 2 3 + 2 3 = 10 3 ； （2）原式= √(𝑙𝑔2)2 −4 𝑙𝑔2 + 4 − 1 2 𝑙𝑔2 − 3 2 𝑙𝑔5 = 2 −𝑙𝑔2 − 1 2 𝑙𝑔2 − 3 2 𝑙𝑔5 3 3 3 1 2 lg2 lg5 2 2 2 2 2 = − − = − = . 18．(1)𝐴∪𝐵= {𝑥| −3 ≤𝑥< 4}; 𝐴∩𝐶𝑅𝐵= {𝑥| −3 ≤𝑥< 1 或2 < 𝑥< 4}; (2){𝑚|𝑚≥−1} 【详解】 （1）当𝑚= 1时，𝐵= {𝑥|1 ≤𝑥≤2} ,所以𝐴∪𝐵= {𝑥| −3 ≤𝑥< 4}， 因为∁𝑅𝐵 ={𝑥|𝑥< 1 或𝑥> 2}， 所以𝐴∩𝐶𝑅𝐵= {𝑥| −3 ≤𝑥< 1 或2 < 𝑥< 4}. （2）①当B 为空集时， 1 2 1, 2 m m m +  −  成立. ②当B 不是空集时，∵𝐵⊆𝐴，{ 𝑚+ 1 ≥2𝑚−1 2𝑚−1 ≥−3 𝑚+ 1 < 4 ，∴−1 ≤𝑚≤2 综上①②，𝑚≥−1. 19． （1）{𝑎|0 ≤𝑎≤1}； （2）答案见解析. 【详解】 （1）𝑎𝑥2 −(1 −2𝑎)𝑥−2 ≥−𝑥−3恒成立，即𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 1 ≥0恒成立. 当𝑎= 0时，1 0  ，满足题意； 当𝑎≠0时，知{𝑎> 0 𝛥≤0 即{𝑎> 0 4𝑎2 −4𝑎≤0解得0 < 𝑎≤1. 综上，实数𝑎的取值范围为{𝑎|0 ≤𝑎≤1}. （2）若𝑎= 0，则原不等式可化为−𝑥−2 < 0，解得 2 x −. 若𝑎> 0，则原不等式可化为(𝑥− 1 𝑎) (𝑥+ 2) < 0，解得−2 < 𝑥< 1 𝑎. 若𝑎< 0，则原不等式可化为(𝑥− 1 𝑎) (𝑥+ 2) > 0， 当 1 𝑎< −2，即− 1 2 < 𝑎< 0时，解得𝑥< 1 𝑎或 2 x −； 答案第5 页，共6 页 当 1 𝑎= −2，即𝑎= − 1 2时，解得𝑥< −2或 2 x −； 当 1 𝑎> −2，即𝑎< − 1 2时，解得𝑥< −2 或𝑥> 1 𝑎. 综上所述，当𝑎< − 1 2时，不等式的解集为{𝑥|𝑥< −2 或𝑥> 1 𝑎}； 当𝑎= − 1 2时，不等式的解集为{𝑥|𝑥≠−2}； 当− 1 2 < 𝑎< 0时，不等式的解集为{𝑥|𝑥< 1 𝑎或𝑥> −2}； 当𝑎= 0时，不等式的解集为{ | 2} x x − ； 当𝑎> 0时，不等式的解集为{𝑥| −2 < 𝑥< 1 𝑎}. 20． （1）有效治污的时间可达8 天； （2）𝑚的最小值为1 【详解】(1)∵𝑚= 4 ∴𝑦= { 64 8−𝑥(0 ≤𝑥≤4) 20 −2𝑥(4 < 𝑥≤10) ． 当0 ≤𝑥≤4时，由 64 8−𝑥≥4，解得𝑥≥−8，此时0 ≤𝑥≤4； 当4 < 𝑥≤10时，由20 −2𝑥≥4，解得𝑥≤8，此时4 < 𝑥≤8． 综上，得0 ≤𝑥≤8．故若一次投放4 个单位的药剂，则有效治污的时间可达8 天． (2)当6 ≤𝑥≤10时，𝑦= 2 × (5 − 1 2 𝑥) + 𝑚[ 16 8−(𝑥−6)] = 10 −𝑥+ 16𝑚 14−𝑥= 14 −𝑥+ 16𝑚 14−𝑥−4， 又14 −𝑥∈[4,8] ， 𝑚∈[1,4] ，则𝑦≥2√16𝑚−4 = 8√𝑚−4． 当且仅当14 −𝑥= 16𝑚 14−𝑥，即14 −𝑥= 4√𝑚∈[4,8]时取等号. 令8√𝑚−4 ≥4，解得𝑚≥1 ，故所求𝑚的最小值为1 ． 21．(1){𝑎= −2 𝑏= −3，𝑓(𝑥) = −2𝑥2 −𝑥+ 4; (2)𝑔(𝑡) = { −2𝑡2 −5𝑡+ 1, 𝑡≤− 5 4 33 8 , − 5 4 < 𝑡≤− 1 4 −2𝑡2 −𝑡+ 4, 𝑡> − 1 4 （1）依题意得{𝑓(−2) = −2 𝑓(1) = 1 ，即{4𝑎−2(𝑏+ 2) + 4 = −2 𝑎+ 𝑏+ 2 + 4 = 1 ， 解