河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题

南阳一中2022 年秋期高一第一次月考 数学试题 一、单选题（每小题5 分，共40 分） 1.设全集 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.已知集合 ， ，若 ，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.若、、为实数，则下列命题正确的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 6.二次函数 在区间 上单调递增的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 7.已知 ， ， ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.或 8.定义在 上的函数 满足：对 、 ，且 ，都有 成立， 且 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，全部选对得5 分，选对但 不全的得3 分，有选错的得0 分） 9.已知正数， 满足 ，则下列选项不正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是2 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 10.已知函数 是 上的减函数，则实数的可能的取值有（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 11.已知函数 ，下列关于函数 的单调性说法正确的是（ ） A.函数 在 上不具有单调性 B.当 时， 在 上递减 C.若 的单调递减区间是 ，则的值为 D.若 在区间 上是减函数，则的取值范围是 12.已知 的解集是 ，则下列说法正确的是（ ） A.不等式 的解集是 B. 的最小值是 C.若 有解，则 的取值范围是 或 D.当 时， ， 的值域是 ，则 的取值范围是 三、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.已知 ， ，则 的取值范围__________. 14.函数 的单调递增区间为_______. 15.若正数，满足 ，则 的最小值为_______. 16. 已知函数 和函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数的取值范围是________. 三、解答题（共70 分） 17.命题 ：实数满足不等式 ；命题：实数满足不等式 其中 .若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 18.已知函数 ，且 ， （1）求 解析式； （2）判断并证明函数 在区间 的单调性. 19.已知 是二次函数，不等式 的解集是 ，且 在区间 上的最大值是28. （1）求 的解析式； （2）设函数 在 上的最小值为 ，求 的表达式. 20.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021 年，该种玻璃售价为25 欧元/平方米，销售量 为80 万平方米，销售收入为2000 万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1 欧元/平方米，则销售量将减少2 万平方米；要使销售收入不低于2000 万 欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022 年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提 高价格到 欧元/平方米（其中 ），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入500 万欧 元作为固定宣传费用，投入 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至 少达到多少时，才可能使2022 年的销售收入不低于2021 年销售收入与2022 年投入之和？并求出此时的售价. 21.已知函数 （1）解关于的不等式 ； （2）若对任意的 ， 恒成立，求实数的取值范围 22.已知函数 满足 . （1）求 的解析式，并求 在 上的值域； （2）若对 ， 且 ，都有 成立，求实数的取值范围. 南阳一中2022 年秋期高一第一次月考 数学答案 1.B 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 【详解】因为二次函数 在区间 上单调递增， 所以 解得 .因为只有C 是其真子集， 故选：C 7.B 【详解】∵ ， ， ， ∴ ， 当且仅当 即 取等号， 由 恒成立， ∴ ， ∴ . 故选：B. 8.D 【详解】根据题意，设 ， 对于任意 ， 对 、 ，且 ，都有 成立， 因为 ，即 ，则有 ， 又由 ，则 ， 即函数 在区间 上为增函数， ， 则 ， 即 ，必有 ， 即不等式 的解集为 . 故选：D. 9.BC 【详解】因为正数， 满足 ， 由 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立，所以A 正确； 由 ，可得 ，即 ， 当且仅当 时成立，所以B 错误； 由 ， 当且仅当 时成立，所以C 错误； 由正数， 满足 ，可得 ， 则 ，当且仅当 时， 即 ， 时，等号成立，即 的最大值是 ，所以D 正确. 故选：BC. 10.ABC 【详解】因为函数 是 上的减函数，所以 . 故选：ABC. 11.BD 【详解】当 时， ，在 上是减函数，A 错误； 当 时， ，其单调递减区间是 ， 因此 在 上递减，B 正确； 由 的单调递减区间是 得 ，的值不存在，C 错误； 在D 中，当 时， ，在 上是减函数； 当 时，由 ，得 ， 所以的取值范围是 ，D 正确； 故选：BD 12.ABD 【详解】因 的解集是 ， 则 是关于的方程 的二根，且 ， 于是得 ， ， 即 ， ， 对于A，不等式 化为： ，解得 ，A 正确； 对于B， ， 当且仅当 ，即 时取“=”，B 正确； 对于C， ，令 ，则 在 上单调递增， 即有 ，因 有解，则 ，解得 或 ，C 不正确； 对 于 D ， 当 时 ， ， 则 ， 依题意， ，由 得， 或 ，因 在 上的最小值为 ， 从而得 ， 或 ， ，因此 ，D 正确. 故选：ABD 13. 【详解】设 ， 则 ， 则 ，解得 ， 则 ， ∵ ，∴ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 的取值范围是 . 故答案为： . 14. 【详解】由题意可得 ，即 ，解得： ， 所以函数 的定义域是 ， 是由 和 复合而成， 因为 对称轴为 ，开口向下， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 而 单调递增， 所以 的单调递增区间是 ， 故答案为： . 15.16 【详解】解：因为正数，满足 ， 则有 ， 则有 ， ，即有 ， 则有 ， 当且仅当 即有 ，又 ， 即有 ， ，取得最小值，且为16. 故答案为：16. 16. 【详解】对任意的 ，总存在 ，使得 ，即 ， 因对勾函数 在 上递减，在 上递增， 故当 时， ， 函数 在 上递减，所以 ， 由 得 ，即 . 故答案为： . 17.【答案】 或 . 【详解】因为 ，所以 ， 解得 ，即 ； 可化为 ， 当 时，所以 ，即 ， 当 时，所以 ，即 ，（5 分） 因为 是的充分不必要条件， 所以当 时， ，则 ， 所以 ， 当 时， ，则 ， 所以 ， 综上，实数的取值范围为 或 .（10 分） 18.【答案】（1） ； （2）单调递增，证明见解析. （1）解：∵ ， ， 且 ， 解得 ， . 所以函数的解析式为 .（4 分） （2）解：函数 在 单调递增. 证明：任取 ，且 ∴ ∵ ，∴ . ∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ，所以 ， 所以 ，所以函数 在 单调递增.（12 分） 19.【答案】（1） （2） 解（1）∵ 是二次函数，且 的解集是 ， ∴可设 ，对称轴为 ， ∴ 在区间 上的最大值是 . 由已知得 ， ∴ ， ∴ .（4 分） （2）由（1）得 ，函数图象的开口向上，对称轴为 ①当 时，即 时， 在 上单调递减，（对称轴在区间右侧） 此时 的最小值 ； ②当 时， 在 上单调递增，（对称轴在区间左侧） 此时 的最小值 ； ③当 时，函数 在对称轴处取得最小值（对称轴在区间中间） 此时， （10 分） 综上所述，得 的表达式为： .（12 分） 20.【答案】（1）40 （2）该种玻璃的销售量至少达到102 万平方米时，才可能使2022 年的销售收入不低于2021 年销售收入与 2022 年投入之和，此时求出此时的售价为30 欧元. 解（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米 解得： 所以该种玻璃的售价最多提高到40 欧元/平方米（4 分） （2） 整理得： 除以 得： 由基本不等式得： ， 当且仅当 ， 即 时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102 万平方米时，才可能使2022 年的销售收入不 低于2021 年销售收入与2022 年投入之和，此时求出此时的售价为30 欧元/平方米.（12 分） 21.（1）当 时，解集为 ， 当 时，解集为 ； （2） 解：（1）因为函数 ， 所以 ，即为 ， 所以 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， 综上，当 时，不等式的解集为 ， 当 时，不等式的解集为 （6 分） （2）因为对任意的 ， 恒成立，所以对任意的 ， 恒 成立， 当 时， 恒成立， 所以对任意的 时， 恒成立， 令 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，所以实数的取值范围是 （12 分） 22.【答案】（1） ， （2） 解：（1）因为 ①， 所以 ②，联立①②解得 . 当 时 为增函数， 时 为减函数， 因为 ， ， 所以 （5 分） （2）对 ， ，都有 ， 不 妨 设 ， 则 由 恒成立，也即可得函数 在区间 递增； 当 ，即 时，满足题意； 当 ，即 时， 为两个在 上单调递增函数的和， 则可得 在 单调递增，从而满足 在 递增，符合题意； 当 ，即 时， ， 其在 递减，在 递增， 若使 在 递增，则只需 ； 综上可得： （12 分）