2023年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

1/13 2023 年上海高考数学真题及答案 考生注意: 1.本试卷共5 页,21 道试题,满分150 分.考试时间120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写（非选择题） 在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面消楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码 炶在指定位置上,在答题纸反面清超地填写姓名. 一、填空题（本大题共有12 题,满分54 分,第 题每题4 分,第 题每题5 分)考生应 在答题纸的相应位置填写结果. 1.不等式 的解集为 ； 2. 已知 ,求 ； 3.已知 为等比数列,且 ,求 ； 4.已知 ,求 ； 5.已知 ,则 的值域是 ； 6.已知当 ,则 ； 7.已知 的面积为,求 ； 8.在 中, ,求 ； 9.国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020 年间 经济高质量增长,GDP 稳步增长,第一季度和第四季度的GDP 分别为231 和242,且四个季度 GDP 的中位数与平均数相等,则2020 年GDP 总額为 ； 10.已知 ,其中 ,若 且 ,当 时, 的最大值是 ； 2/13 11.公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为,斜坡终点距离水平面的 垂直高度为4 米,游客每走一米消耗的体能为 ,要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所 消耗的总体能最少,则 ； 12.空间内存在三点 ,满足 ,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这 两点与 可以组成正四棱锥,求方案数为 ； 二、选择题（本题共有4 题,满分18 分, 每题4 分, 题每题5 分）每题有且只有 一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.已知 ,若 且 ,则 . A. B. C. D. 14.根据身高和体重散点图,下列说法正确的是(). A.身高越高,体重越重 B.身高越高,体重越轻 C.身高与体重成正相关 D.身高与体重成负相关 3/13 15.设 ,函数 在区间 上的最小值为 ,在 上的最小值为 ,当变化时, 以下不可能的情形是(). A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 16.在平面上,若曲线具有如下性质:存在点 ,使得对于任意点 ,都有 使得 .则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假(). (1) “ 所有椭圆都是自相关曲线". (2) “ ” 存在是自相关曲线的双曲线. A.(1)假命题；(2)真命题 B.(1)真命题；(2)假命题 C.(1)真命题；(2)真命题 D.(1)假命题；(2)假命题 三、解答题(本大题共有5 题,满分78 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤. 17.(本题满分14 分)本题共有2 个小题,第1 小邀满分6 分,第2 小题满分8 分. 直四棱柱 . (1)求证: 面 (2)若四棱柱体积为36,求二面角 的大小 18.(本题满分14 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8 分. 函数 (1)当 是,是否存在实数,使得 为奇函数 (2)函数 的图像过点 ,且 的图像轴负半轴有两个交点求实数的取值范围 (本题满分14 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分2 分,第2 小題满分6 分,第3 小题满分8 分. 21 世纪汽车博览会在上海2023 年6 月7 日在上海举行,下表为某汽车模型公司共有25 个汽 车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示: 4/13 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件为 小明取到的模型为红色外观,事件B 取到模型有棕色内饰 求 ,并据此判断事件和事件是否独立 (2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模 型,给出以下假设:1、拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观内饰都异 色、以及仅外观或仅内饰同色;2、按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;(3)奖金额为一等奖 600 元,二等奖300 元,三等奖150 元,请你分析奖项对应的结果,设为奖金额,写出的分布列 并求出的数学期望 19. (本题满分16 分)本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满 分6 分. 曲线 ,第一象限内点在上, 的纵坐标是. (1)若到准线距离为3,求; (2)若 在轴上, 中点在上,求点坐标和坐标原点到 距离; (3)直线 ,令是第一象限上异于的一点,直线 交于 是在上的投影,若点满 “ 足对于任意都有 "求的取值范围. (本题满分18 分)本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满分8 分. 令 ,取点 过其曲线 做切线交轴于 ,取点 过其做切线 交轴于 ,若 则停止,以此类推,得到数列 . (1)若正整数 ,证明 ; (2)若正整数 ,试比较 与 大小; (3)若正整数 ,是否存在使得 依次成等差数列?若存在,求出的所有取值,若不存 在,试说明理由. 1、参考答案（1,3） 4/13 2、4 5/13 3、189 4、 -3 9、946 10、49 11、 12、9 13、A 14、C 15、D 16、B 17、 （1）因为AB 平行于CD，所以AB 与平面 平行 又因为 平行 ，所以AA1 平行与平面 平行因为 与AB 相 交于点A，所以平面 与平面 平行 因为 属于平面 ，所以 平行于平面 6/13 （2）因为四棱柱体积为36，设AA1=h 所以 在底面内作AE 垂直BD 与E，连 因为BD 垂直AE，BD 垂直于 ，所以BD 垂直平面 ，所以BD 垂直 所以 即为所求二面角的平面角 在直角三角形 中， =4， 所以 18、 （1）当a=0 时， 7/13 定义域为 ， 假设 为奇函数，则 所以 ，此方程无解，故 不可能为奇函数 所以不存在实数c，使得 为奇函数 （2）因为 图像过（1,3），所以 所以c=1 所以 令 =0，则 =0（x 不等于-a） 因为 图像与x 轴负半轴有2 个交点所以 所以 所以a 的取值范围为 8/13 19、 （1） （2）设三种结果：内外均同，内同或外同，内外均不同 分别为事件 ，则 概率越小奖金越高 分布列 20、 9/13 （1）由题意得 ， ，准线 ，则 ； 当 时， ，B 在x 轴上，设 ，则线段AB 的中点为 在 上，则有 ，解得 ，即 ，则直线AB 的斜率 ，直线 10/13 ，一般式为 ， 则原点O 到AB 的距离 ； （3）设 由已知： 令x=-3， 即a 的取值范围为 11/13 21、 （1）由 ，则 ，当 时，曲线在 处的切线方程式为： ，由 题意令 ，得 ，命题得证； （2） 即 即 X=1 时 （3）假设存在k,使得 依次成等差数列，所以公差 ，构造函数 ，函数的定义域 ，则 12/13 ，易得 ， ， 严格递增； ， ， 严 格递减；所以 ，所以 ，即 ，即 ，计算 ， 若 成等差，则 ， 即 ，整理 ，令 ， ， ， 因为 ，即 在 上递增， 13/13 结 合 数 列 的 单 调 性 ， 因 为 ，则 函数 在 上必有唯一的零点 ，结合 ，运算停止，即存 在 成等差数列，此时