2020年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

1/14 2020 年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷） 一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分） 1．已知集合 ，2， ，集合 ，4， ，则 ． 2．计算： ． 3．已知复数 为虚数单位），则 ． 4．已知函数 ， 是 的反函数，则 ． 5．已知 、 满足 ，则 的最大值为 ． 6．已知行列式 ，则 ． 7．已知有四个数1，2， ， ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 ． 8．已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则 ． 9．从6 个人挑选4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排1 个人，第二天安排1 个人， 第三天安排2 个人，则共有 种安排情况． 10．已知椭圆 的右焦点为 ，直线经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、 两点（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线的方 1/14 程是 ． 11．设 ，若存在定义域为 的函数 同时满足下列两个条件：（1）对任意的 ， 的值为 或 ； 2/14 （2）关于 的方程 无实数解， 则 的取值范围是 ． 12 ．已知 ， ， ， ， ， 是平面内两两互不相等的向量，满足 ，且 ， （其中 ，2， ，2， ， ，则 的最大值是 ． 二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分） 13．下列等式恒成立的是 A． B． C． D． 14．已知直线方程 的一个参数方程可以是 A． 为参数） B． 为参数） C． 为参数） D． 为参数） 15．在棱长为10 的正方体 中， 为左侧面 上一点，已知点 到 的距离为3， 到 的距离为2，则过点 且与 平行的直线相交的面是 2/14 A． B． C． D． 16．命题 ：存在 且 ，对于任意的 ，使得 （a）； 3/14 命题 单调递减且 恒成立； 命题 单调递增，存在 使得 ， 则下列说法正确的是 A．只有 是 的充分条件 B．只有 是 的充分条件 C． ， 都是 的充分条件 D． ， 都不是 的充分条件 三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分） 17．（14 分）已知 是边长为1 的正方形，正方形 绕 旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积； （2）正方形 绕 逆时针旋转 至 ，求线段 与平面 所成的角． 18．（14 分）已知函数 ， ． （1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集； （2）已知 ， ， ， ，求 的值域． 19．（14 分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数 除以时间，车辆密度是该路段一定 3/14 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车 辆密度． 4/14 ． （1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围； （2）已知道路密度 ，交通流量 ，求车辆密度 的最大值． 20．（16 分）已知双曲线 与圆 交于点 ， （第一象限），曲线 为 、 上取满足 的部分． （1）若 ，求 的值； （2）当 ， 与 轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求 ； （3）过点 斜率为 的直线与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示 ，并求 的取值范围． 21．（18 分）已知数列 为有限数列，满足 ，则称 满足性质 ． （1）判断数列3、2、5、1 和4、3、2、5、1 是否具有性质 ，请说明理由； （2）若 ，公比为 的等比数列，项数为10，具有性质 ，求 的取值范围； 4/14 （3）若 是1，2，3， ， 的一个排列 ， 符合 ，2， ， ， 、 都具有性质 ，求所有满足条件的数列 ．参考答案 1． ， 【解析】因为 ，2， ， ，4， ，则 ， ．故答案为： ， ． 5/14 2． 【解析】 ，故答案为： ． 3． 【解析】由 ，得 ．故答案为： ． 4． 【解析】由 ，得 ，把 与 互换，可得 的反函数为 ． 故答案为： ． 5．-1 【解析】由约束条件 作出可行域如图阴影部分， 5/14 化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的 截距最大，联立 ，解得 ，即 ． 6/14 有最大值为 ．故答案为： ． 6．2 【解析】行列式 ，可得 ，解得 ． 故答案为：2． 7．36 【解析】因为四个数的平均数为4，所以 ， 因为中位数是3，所以 ，解得 ，代入上式得 ， 所以 ，故答案为：36． 8． 【解析】根据题意，等差数列 满足 ，即 ，变形可得 ，所以 ．故答案为： ． 9．180 【解析】根据题意，可得排法共有 种． 故答案为：180． 10． 6/14 【解析】椭圆 的右焦点为 ， 直线经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、 两点（点 在第二象限）， 7/14 若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ， 可知直线的斜率为 ，所以直线的方程是： ， 即 ． 故答案为： ． 11． ， ， ， 【解析】根据条件（1）可得 或 （1） ， 又因为关于 的方程 无实数解，所以 或1，故 ， ， ， ， 故答案为： ， ， ， ． 12．6 【解析】如图，设 ， ， 7/14 由 ，且 ， ，分别以 ， 为圆心，以1 和2 为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6 个．故满足条件的 8/14 的最大值为6．故答案为：6． 13．B 【解析】 ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误； ． ， ， ，故 正确； ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误； ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误． 故选： ． 14．B 【解析】 为参数）的普通方程为： ，即 ，不正确； 为参数）的普通方程为： ，即 ，正确； 为参数）的普通方程为： ，即 ，不正确； 为参数）的普通方程为： ，即 ，不正确；故选： ． 15．D 【解析】如图， 9/14 由点 到 的距离为3， 到 的距离为2， 可得 在△ 内，过 作 ，且 于 ， 于 ， 在平面 中，过 作 ，交 于 ，则平面 平面 ． 连接 ，交 于 ，连接 ， 平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， ． 在 中，过 作 ，且 于 ，则 ． 线段 在四边形 内， 在线段 上， 在四边形 内． 过点 且与 平行的直线相交的面是 ．故选： ． 16．C 【解析】对于命题 ：当 单调递减且 恒成立时， 当 时，此时 ，又因为 单调递减，所以 又因为 恒成立时，所以 （a），所以 （a）， 9/14 所以命题 命题 ，对于命题 ：当 单调递增，存在 使得 ， 当 时，此时 ， （a） ， 10/14 又因为 单调递增，所以 ，所以 （a）， 所以命题 命题 ，所以 ， 都是 的充分条件，故选： ． 17．【解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1 的圆面和一个长为 、宽为1 的矩 形组成， ．故该圆柱的表面积为 ． （2） 正方形 ， ， 又 ， ， ，且 、 平面 ， 平面 ，即 在面 上的投影为 ， 连接 ，则 即为线段 与平面 所成的角， 而 ， 线段 与平面 所成的角为 ．18． 【解析】（1）由于 的周期是 ，所以 ，所以 ． 令 ，故 或 ，整理得 或 ． 故解集为 或 ， ． （2）由于 ，所以 ．所以 10/14 由于 ， ，所以 ． ，故 ，故 ． 11/14 所以函数 的值域为 ． 19．【解析】（1） ， 越大， 越小， 是单调递减函数， ， 当 时， 最大为85， 于是只需令 ，解得 ， 故道路密度 的取值范围为 ． （2）把 ， 代入 中， 得 ，解得 ． ， 当 时 ， 单 调 递 增 ， ； 当 时， 是关于 的二次函数，开口向下，对称轴为 ， 此时 有最大值，为 ． 故车辆密度 的最大值为 ． 11/14 20．【解析】（1）由 ，点 为曲线 与曲线 的交点，联立 ， 解得 ， ； （2）由题意可得 ， 为曲线 的两个焦点， 12/14 由双曲线的定义可得 ，又 ， ， 所以 ，因为 ，则 ， 所以 ，在△ 中，由余弦定理可得 ，由 ，可得 ； （3）设直线 ，可得原点 到直线的距离 ， 所以直线是圆的切线，设切点为 ， 所以 ，并设 与圆 联立，可得 ， 可得 ， ，即 ，注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当 时，直线才能与曲线 有两个交点， 由 ，可得 ， 所以有 ，解得 或 （舍去）， 因为 为 在 上的投影可得， ， 所以 ，则 ， ． 12/14 21．【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有 ， ， ，满足题意， 该数列满足性质 ； 对于第二个数列4、3、2、5、1， ， ， 13/14 ．不满足题意，该数列不满足性质 ． （2）由题意： ，可得： ， ，3， ， ， 两边平方可得： ， 整理可得： ，当 时，得 此时关于 恒成立， 所以等价于 时， ， 所以， ，所以 ，或 ，所以取 ， 当 时，得 ，此时关于 恒成立，所以等价于 时， ，所以 ，所以 ，所以取 ． 当 时： ， 当 为奇数时，得 ，恒成立，当 为偶数时， ，不恒成立； 故当 时，矛盾，舍去． 当 时，得 ，当 为奇数时，得 ，恒成立， 当 为偶数时， ，恒成立；故等价于 时， ， 所以 ，所以 或 ，所以取 ， 13/14 综上 ， ． （3）设 ， ，4， ， ， ， 因为 ， 可以取 ，或 ， 可以取 ，或 ， 14/14 如果 或 取了 或 ，将使 不满足性质 ；所以 的前5 项有以下组合： ① ， ； ； ； ； ② ， ； ； ； ； ③ ， ； ； ； ； ④ ， ； ； ； ； 对于①， ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去； 对于②， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去； 对于③， ， ， ， 与 满足性质 矛盾，舍去； 对于④ ， ， ，与 满足性质 矛盾，舍去； 所以 ，4， ， ， ，均不能同时使 、 都具有性质 ． 当 时，有数列 ，2，3， ， ， 满足题意． 当 时，有数列 ， ， ，3，2，1 满足题意． 当 时，有数列 ，1，3， ， ， 满足题意． 当 时，有数列 ， ， ， ， ，3，2，1 满足题意． 14/14 所以满足题意的数列 只有以上四种。