2018年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

2018年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4分）（2018•上海）行列式 的值为 18 ． 【考点】OM：二阶行列式的定义． 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式 =4×5﹣2×1=18． 故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查． 2．（4分）（2018•上海）双曲线 ﹣y2=1的渐近线方程为 ± ． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11 ：计算题． 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长， 最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线 的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线 的渐近线方程为y=± ∴双曲线 的渐近线方程为y=± 故答案为：y=± 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的 渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为 21 （结果用数值表示）． 【考点】DA：二项式定理． 【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为 Tr+1= •xr， 令r=2，得展开式中x2的系数为 =21． 故答案为：21． 【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题． 4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的 反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ． 【考点】4R：反函数． 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3）， 由此能求出a． 【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）． f（x）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3）， ∴log2（1+a）=3， 解得a=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位）， 则|z|= 5 ． 【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数 系的扩充和复数． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数 求模公式计算得答案． 【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i， 得 ， 则|z|= ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础 题． 6 ．（4 分）（2018• 上海）记等差数列{an} 的前n 项和为Sn ，若a3=0 ， a6+a7=14，则S7= 14 ． 【考点】85：等差数列的前n项和． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出 S7． 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14， ∴ ， 解得a1=﹣4，d=2， ∴S7=7a1+ =﹣28+42=14． 故答案为：14． 【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 7．（5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣ ，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【考点】4U：幂函 数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇 数，且a＜0，由此能求出a的值． 【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1， ，1，2，3}， 幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a是奇数，且a＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2， 0），E、F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 的最小值为 ﹣3 ． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用． 【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或 b=a+2，并可求得 ，将a=b+2带入上式即可求出 的最小值，同 理将b=a+2带入，也可求出 的最小值． 【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）； ∴ ； ∴a=b+2，或b=a+2； 且 ； ∴ ； 当a=b+2时， ；∵b2+2b﹣2的最小值为 ； ∴ 的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时， 的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以 及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式． 9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝 码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的 概率是 （结果用最简分数表示）． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然 后求解概率即可． 【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克 砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况， 所有的事件总数为： =10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是： = ， 故答案为：． 【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查． 10．（5分）（2018•上海）设等比数列{an}的通项公式为an=qn﹣1（n∈N*）， 前n项和为Sn．若 = ，则q= 3 ． 【考点】8J：数列的极限． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ： 点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求 解公比即可． 【解答】解：等比数列{an}的通项公式为a =qn﹣1（n∈N*），可得a1=1， 因为 = ，所以数列的公比不是1， ，an+1=qn． 可得 = = = = ， 可得q=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列 的简单性质的应用，是基本知识的考查． 11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）= 的图象经过点P （p，），Q（q， ）．若2p+q=36pq，则a= 6 ． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值． 【解答】解：函数f（x）= 的图象经过点P（p，），Q（q， ）． 则： ， 整理得： =1， 解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36， 由于a＞0， 故：a=6． 故答案为：6 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应 用． 12．（5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x1 2+y1 2=1 ， x2 2+y2 2=1，x1x2+y1y2= ，则 + 的最大值为 + ． 【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式． 【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2 ），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角 形，AB=1， + 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距 离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2）， 由x1 2+y1 2=1，x2 2+y2 2=1，x1x2+y1y2= ， 可得A，B两点在圆x2+y2=1上， 且 • =1×1×cos∠AOB= ， 即有∠AOB=60°， 即三角形OAB为等边三角形， AB=1， + 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之 和， 显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB：x+y+t=0，（t＞0）， 由圆心O到直线AB的距离d= ， 可得2 =1，解得t= ， 即有两平行线的距离为 = ， 即 + 的最大值为 + ， 故答案为： + ． 【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查 点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选 项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆 =1上的动点，则P到该椭圆的两个 焦点的距离之和为（ ） A．2 B．2 C．2 D．4 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义， 转化求解即可． 【解答】解：椭圆 =1的焦点坐标在x轴，a= ， P是椭圆 =1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距 离之和为2a=2 ．故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的 考查． 14．（5分）（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“ ＜1”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑． 【分析】“a＞1”⇒“ ”，“ ”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果． 【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“ ”， “ ”⇒“a＞1或a＜0”， ∴“a＞1”是“ ”的充分非必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于 底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六 棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是 （ ） A．4 B．8 C．12 D．16 【考点】D8：排列、组合的实际应用． 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分 析】根据新定义和正六边形的性质可得答案． 【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而 C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12， 当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意， 当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意， 故有12+2+2=16 故选：D． 【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱 柱的特征，属于中档题． 16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的 函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项 中，f（1）的可能取值只能是（ ） A． B． C． D．0 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值． 【分析】直接利用定义函数的应用求出结果． 【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时 针旋转 个单位后与下一个点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）= ， ，0时，此时得到的圆心角为 ， ，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的 定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x= ，此时旋转 ，此时满足 一个x只会对应一个y，因此答案就选：B． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应 位置写出必要的步骤. 17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2． （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如 图．求异面直线PM与OB所成的角的大小． 【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆 锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距 离；5G ：空间角． 【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4 能求出圆锥的体积． （2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出异面直线PM与OB所成的角． 【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长 为4， ∴圆锥的体积V= = = ． （2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点， ∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系， P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0）， M（1，1，0），O（0，0，0）， =（1，1，﹣4）， =（0，2，0）， 设异面直线PM与OB所成的角为θ， 则cosθ= = = ． ∴θ=arccos ． ∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos ． 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成 角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18．（14分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（ ）= +1，求方程f（x）=1﹣ 在区间[﹣π，π]上的解． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数． 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分 析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（ ）= +1， ∴asin +2cos2（ ）=a+1= +1， ∴a= ， ∴f（x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1， ∵f（x）=1﹣ ， ∴2sin（2x+ ）+1=1﹣ ， ∴sin（2x+ ）=﹣ ， ∴2x+ =﹣ +2kπ，或2x+ = π+2kπ，k∈Z， ∴x=﹣ π+kπ，或x= π+kπ，k∈Z， ∵x∈[﹣π，π]， ∴x= 或x= 或x=﹣ 或x=﹣ 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础 题． 19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成 员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式 通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤 时间为f（x）= （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性， 并说明其实际意义． 【考点】5B：分段函数的应用． 【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可； （2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时， f（x）=2x+ ﹣90＞40， 即x2﹣65x+900＞0， 解得x＜20或x＞45， ∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时 间； （2）当0＜x≤30时， g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣ ； 当30＜x＜100时， g（x）=（2x+ ﹣90）•x%+40（1﹣x%）= ﹣ x+58； ∴g（x）= ； 当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减； 当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增； 说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人 均通勤时间最少． 【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解 决问题的能力． 20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F （2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交 于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在， 求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系． 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求