2022年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

1/17 2022 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分） 1. 双曲线x 2 9 −y 2=1的实轴长为 ． 2. 函数f (x )=cos 2 x−sin 2 x+1的周期为 ． 3. 已知a∈R，行列式| a 1 3 2|的值与行列式| a 0 4 1|的值相等，则a＝ ． 4. 已知圆柱的高为4，底面积为9 π，则圆柱的侧面积为 ． 5. x﹣y ≤0，x+ y ﹣1≥0，求z＝x+2 y的最小值 ． 6. 二项式 (3+x ) n的展开式中，x 2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ． 7. 若函数f (x )={ a 2 x−1 x<0 x+a x>0 0 x=0 ，为奇函数，求参数a的值为 ． 8. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的概率为 ． 9. 已知等差数列{an}的公差不为零，Sn 为其前n项和，若S5=0，则Si (i=0,1,2,…,100)中不同的数值有 个． 10. 若平面向量|a →|=|b →|=|c →|=λ，且满足a → ⋅b → =0，a → ⋅c → =2，b → ⋅c → =1，则λ＝ ． 11. 设函数f (x )满足f (x )=f ( 1 1+x) 对任意x∈¿都成立，其值域是Af ，已知对任何满足上述条件的f (x )都 有{ y∨y=f (x ),0≤x ≤a}=Af ，则a的取值范围为 ． 二、选择题（本题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项. 1. 若集合A ＝¿，B＝Z，则A ∩B＝（ ） A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1} C.{﹣1,0} D.{﹣1} 2. 若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A.a+b>2❑ √ab B.a+b<2❑ √ab C.a 2 +2b>2❑ √ab D.a 2 +2b<2❑ √ab 3. 如图正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC 、B B1 、CD 的中点，联结 A1S，B1 D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、 B1 D上，则称MN两点可视， 则下列选项中与点D1可视的为（ ） 1/17 A.点 P B.点 B C.点 R D.点 Q 4. 设集合Ω={(x , y )|(x−k ) 2+( y −k 2) 2=4|k∨,k ∈Z} ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ） A.①成立②成立 B.①成立②不成立 2/17 C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立 三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分）. 1. 如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC ＝2． （1）求三棱锥体积 V P−ABC ； （2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小． 2. f (x )=log3 (a+x )+log3 (6−x )． （1）若将函数f (x )图像向下移m (m>0)后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a，m的值． （2）若a>﹣3且a≠0，求解不等式f (x )≤f (6﹣x )． 3. 如图，在同一平面上，AD＝BC ＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等， ∠DAB＝∠ABC ＝120❑ ∘，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点 P 与点 C 重合，求 ∠POB 的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 4. 设有椭圆方程Γ : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a>b>0)，直线l: x+ y −4 ❑ √2=0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分 别为F1(−❑ √2,0)、F2(❑ √2,0) ． （1） a＝2 ， AM 中点在 x 轴上，求点 M 的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为3 5 ，求b； 2/17 （3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|P F1|+|P F2|+d=6，随a的变化，求d的最小值． 5. 数列{an}对任意n∈N ∗且n≥2，均存在正整数i∈[1,n﹣1]，满an+1=2an−ai ，a1=1， a2=3． （1）求a4可能值； 3/17 （2）命题p：若a1,a2,⋯,a8成等差数列，则a9<30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真 是假，说明理由； （3）若a2m=3 m，(m∈N ∗)成立，求数列{an}的通项公式． 参考答案与试题解析 2022 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分） 1. 【答案】 6【考点】 双曲线的简单几何性质 【解析】 根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6． 【解答】 解：由双曲线x 2 9 −y 2=1，可知：a＝3， 所以双曲线的实轴长2a＝6． 故答案为：6． 2. 【答案】 π【考点】 三角函数的周期性 【解析】 由三角函数的恒等变换化简函数可得f (x )=cos2 x+1，从而根据周期公式即可求值． 【解答】 解：f (x )=cos 2 x−sin 2 x+1 ¿cos 2 x−sin 2 x+cos 2 x+sin 2 x¿2cos 2 x¿cos2 x+1, T=2π 2 =π. 故答案为：π. 3. 【答案】 3【考点】 二阶行列式的定义 【解析】 根据行列式所表示的值求解即可． 【解答】 解：因为| a 1 3 2|＝2a﹣3，| a 0 4 1|=a， 所以2a﹣3＝a，解得a＝3． 故答案为：3． 4. 【答案】 3/17 24 π【考点】 4/17 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】 由底面积为9 π解出底面半径R＝3，再代入侧面积公式求解即可． 【解答】 解：因为圆柱的底面积为9 π，即π R 2＝9 π， 所以R＝3， 所以S 侧＝2πRℎ＝24 π． 故答案为：24 π． 5. 【答案】 3 2 【考点】 简单线性规划 【解析】 根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可． 【解答】 解：如图所示： 由 x−y ≤0 ， x+ y −1≥0 ,可知可行域为直线 x﹣y ＝0 的左上方 和x+ y ﹣1＝0的右上方的公共部分， 联立{ x−y=0 x+ y −1=0 ，可得{ x=1 2 y=1 2 ，即图中点A( 1 2 , 1 2) ， 当目标函数z＝x+2 y沿着与正方向向量a → ＝(1,2)的相反向量平移时，离开区间时取最小值， 即目标函数z＝x+2 y过点A( 1 2 , 1 2) 时，取最小值：1 2 +2× 1 2=3 2 ． 故答案为：3 2 ． 6. 4/17 【答案】10 【考点】 二项式定理及相关概念 5/17 【解析】 由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值． 【解答】 解：∵二项式 (3+x ) n的展开式中，x 2项的系数是常数项的5倍， 即Cn 2×3 n−2=5Cn 0×3 n，即 n (n−1) 2 =5×9， ∴n＝10， 故答案为：10． 7. 【答案】 1【考点】 分段函数的应用 函数奇偶性的性质 【解析】 （1）由题意，利用奇函数的定义可得 f (−x )=−f (x )，故有f (−1)=−f (1)，由此求得a的值． 【解答】 解：∵函数f (x )={ a 2 x−1 x<0 x+a x>0 0 x=0 ，为奇函数，∴f (−x )=−f (x )， ∴f (−1)=−f (1)，∴−a 2−1=−(a+1)，即 a (a−1)=0，求得a=0或a=1． 当a=0时，f (x )={ −1, x<0 0, x=0 x , x>0 ，不是奇函数，故a≠0； 当a=1时，f (x )={ x−1, x<0 0, x=0 x+1, x>0 ,是奇函数，故满足条件， 综上，a=1， 故答案为：1． 8. 【答案】 3 7 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【解析】 由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果． 【解答】 解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共 有C1 1⋅C3 1⋅C4 2+C1 1⋅C3 2⋅C4 1种， 而所有的抽取方法共有C8 4种， 5/17 故每一类都被抽到的概率为C1 1⋅C3 1⋅C4 2+C1 1⋅C3 2⋅C4 1 C8 4 =30 70=3 7 ， 故答案为：3 7 ． 9. 6/17 【答案】 98【考点】 等差数列的前n 项和 【解析】 由等差数前n项和公式求出a1＝﹣2d，从而Sn=d 2 (n 2−5n)，由此能求出结果． 【解答】 解：∵等差数列{an}的公差不为零，Sn 为其前n项和，S5=0， ∴S5=5a1+ 5×4 2 d=0，解得a1=−2d， ∴Sn=na1+ n (n−1) 2 d=−2nd+ n (n−1) 2 d=d 2 (n 2−5n)， ∵d ≠0，∴Si (i=0,1,2,…,100)中S0=S5=0, S2=S3=−3d，S1=S4=−2d， 其余各项均不相等， ∴Si (i=0,1,2,…,100)中不同的数值有：101﹣3＝98． 故答案为：98． 10. 【答案】 4 √5【考点】 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果． 【解答】 解：由题意，有a → ⋅b → =0 ，则a → ⊥b →，设⟨a → , c → ⟩=θ ， { a → ⋅c → =2 b → ⋅c → =1 ⇒{ |a →||c →|cosθ=2,① |b →||c →|cos( π 2 −θ)=1,② 则② ①得，tanθ=1 2， 由同角三角函数的基本关系得：cosθ=2❑ √5 5 ， 则a → ⋅c → =|a →||c →|cosθ=λ⋅λ⋅2❑ √5 5 =2， λ 2=❑ √5 ，则λ= 4 √5 ． 故答案为:4 √5 . 11.【答案】 [ ❑ √5−1 2 ,+∞) 【考点】 6/17 函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】 由题可得{y ∣y=f (x ),0≤x ≤ ❑ √5−1 2 }=Af ，再根据a< ❑ √5−1 2 时不合题意，进而即得；或等价于 1 1+x+a ≤a 7/17 恒成立，即1 a −(1+a)≤x恒成立，进而即得． 【解答】 解：法一：令x= 1 x+1，解得x= ❑ √5−1 2 （负值舍去）， 当x1∈[0, ❑ √5−1 2 ] 时，x2= 1 x1+1 ∈[ ❑ √5−1 2 ,1] ， 当x1∈( ❑ √5−1 2 ,+∞) 时，x2= 1 x1+1 ∈(0, ❑ √5−1 2 ) ， 且当x1∈( ❑ √5−1 2 ,+∞) 时，总存在x2= 1 x1+1 ∈(0, ❑ √5−1 2 ) ，使得f (x1)=f (x2)， 故{y ∣y=f (x ),0≤x ≤ ❑ √5−1 2 }=Af ， 若a< ❑ √5−1 2 ，易得f ( ❑ √5−1 2 )∉{ y ∣y=f (x ),0≤x ≤a}， 所以a≥ ❑ √5−1 2 ， 即实数a的取值范围为[ ❑ √5−1 2 ,+∞) ； 法二：原命题等价于任意a>0，f (x+a)=f ( 1 1+x+a) ， 所以 1 1+x+a ≤a ⇒x≥1 a −(1+a)恒成立， 即1 a −(1+a)≤0恒成立，又a＞0， 所以a≥ ❑ √5−1 2 ， 即实数a的取值范围为[ ❑ √5−1 2 ,+∞) ． 故答案为：[ ❑ √5−1 2 ,+∞) ． 二、选择题（本题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项. 1. 【答案】 B【考点】 7/17 交集及其运算 【解析】 根据集合的运算性质计算即可． 【解答】 解：∵A ＝¿，B=Z， ∴A ∩B＝{﹣1,0,1}， 故选：B． 2. 【答案】 8/17 A 【考点】 基本不等式及其应用 【解析】 利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解． 【解答】 解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2❑ √ab，当且仅当a＝b时取等号， 又a＞b＞0，所以a+b>2❑ √ab，故A 正确，B 错误， a 2 +2b≥2❑ √ a 2 ×2b=2❑ √ab，当且仅当a 2=2b，即a＝4 b时取等号，故CD 错误， 故选: A． 3. 【答案】 D 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】 线段MN上不存在点在线段A1S、 B1 D上，即直线MN与线段A1S、 B1 D不相交，因此所求与D1可视的 点，即求哪条线段不与线段A1S、 B1 D相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断． 【解答】 解：线段MN上不存在点在线段A1S、 B1 D上，即直线MN与线段A1S、 B1 D不相交， 因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、 B1 D相交， 对A 选项，如图，连接A1 P、PS 、 D1S，因为P、S分别为AB、CD的中点，∴ 易证A1 D1/¿ PS，故A1、D1 、P 、S 四点共面，∴D1 P与A1S相交，∴A 错误； 对B、C 选项，如图，连接D1B、 DB，易证D1、B1 、B 、D四点共面， 故 D1B 、 D1 R 都与 B1 D 相交， ∴ B、C 错误； 对D 选项，连接D1Q，由A 选项分析知A1、D1 、P 、S 四点共面记为平面A1 D1 PS，∵D1∈ 平面A1 D1 PS，Q∉平面A1 D1 PS，且A1S⊂平面A1 D1 PS，点D1∉A1S，∴D1Q 与A1S为异面直线， 9/17 同理由B，C 选项的分析知D1、B1 、B 、D四点共面记为平面D1B1BD， ∵D1∈平面D1B1BD，Q∉平面D1B1BD，且B1 D⊂平面D1B1BD，点D1∉B1 D， ∴D1Q与B1 D为异面直线， 故D1Q与A1S，B1 D都没有公共点，∴D 选项正确． 故选：D． 4. 【答案】 B 【考点】 直线与圆的位置关系 【解析】 分k ＝0，k ＞0，k ＜0，求出动点的轨迹，即可判定． 【解答】 解：当k ＝0时，集合Ω={(x , y )|(x−k ) 2+( y −k 2) 2=4|k∨,k ∈Z}={(0,0)}， 当k ＞0时，集合Ω={(x , y )|(x−k ) 2+( y −k 2) 2=4|k∨,k ∈Z}， 表示圆心为(k ,k 2)，半径为r=2❑ √k的圆， 圆的圆心在直线y=x 2上，半径r=f (k )=2❑ √k单调递增， 相邻两个圆的圆心距d= ❑ √(k+1−k ) 2+[(k+1) 2−k 2] 2= ❑ √4 k 2+4 k+2，相邻两个圆的半径之和为 l=2❑ √k+2❑ √k+1， 因为d ＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离， 当k ＜0时，同k ＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确， 若直线l斜率不存在，显然不成立， 设直线l: y=mx+n，若考虑直线l与圆 (x−k ) 2+( y −k 2) 2=4|k|的焦点个数， d=|mk+n−k 2| ❑ √m 2+1 ，r=2❑ √|k|， 给定m，n，当k足够大时，均有d ＞r， 故直线l只与有限个圆相交，②错误． 故选: B. 三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分）. 1. 【答案】 9/17 解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC， 又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形， 10/17 又AP＝AC ＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形， ∴PO=❑ √3，三棱锥体积V P−ABC=1 3 S△ABC⋅PO=1 3 × ❑ √3 4 ×2 2×❑ √3=1． （2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则 P (0,0,❑ √3) ， B (❑ √3,0,0) ， C (0,1,0) ， M( ❑ √3 2 , 1 2 ,0) ， PM → =( ❑ √3 2 , 1 2 ,−❑ √3) ， 平面PAC的法向量OB → =(❑ √3,0,0)， 设直线PM与平面PAC所成角为θ， 则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ=| PM → ⋅OB → |PM →|⋅|OB →|| = 3 2 ❑ √3×2= ❑ √3 4 ， 所以PM与面PAC所成角大小为arcsin ❑ √3 4 . 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 直线与平面所成的角 【解析】 （1）直接利用体积公式求解； （2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量， 即可求解． 【解答】 解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC， 又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形， 又AP＝AC ＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形， ∴PO=❑ √3，三棱锥体积V P−ABC=1 3 S△ABC⋅PO=1 3 × ❑ √3 4 ×2 2×❑ √3=1． （2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 11/17 则 P (0,0,❑ √3) ， B (❑ √3,0,0) ， C (0,1,0) ， M( ❑ √3 2 , 1 2 ,0) ， PM → =( ❑ √3 2 , 1 2 ,−❑ √3) ， 平面PAC的法向量OB → =(❑ √3,0,0)， 设直线PM与平面PAC所成角为θ， 则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ=| PM → ⋅OB → |PM →|⋅|OB →|| = 3 2 ❑ √3×2= ❑ √3 4 ， 所以PM与面PA