2022-2023学年度高二（上）第一次段考数学答案（印）

第1页 佛山一中2022~2023 学年度上学期第一次段考 数学参考答案与评分标准 第一部分 选择题、填空题答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A A C A D BCD AB ACD ACD 题号 13 14 15 16 答案 7 2 3 32 1 2 − 12. 【解析】对于选项A，对任意点M，N，假设MN 与AD 共面，则M、N、A、D 四点共面， 因为BAM  ，则B 平面ADNM，同理得到C 平面ADNM， 则BC 平面ADNM，又AD 平面ADNM， 则A、B、C、D 四点共面，不符合条件，故MN 与AD 异面，故A 正 确； 将正四面体放入正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 (0,0,0) D ，(1,1,0) C ，(0,1,1) B ，(1,0,1) A ， 因为M， N分别是线段AB， ( CD 不含端点) 上的动点， 可设 (,,0) Naa ， (,1,1) Mbb − ，其中0 1 a   ，0 1 b  ， 则 ， ， ， 1 0 MNBCab  = −+  ，故MN 与BC 不垂直，故B 错误； 假设MN 与AD ，BC 共面，则存在实数x，y 满足MNxBCyAD = + ， 即 ，解得 ， 即对于任意实数b 且0 1 b  ，当 1 a b = − 时，总有 ， 即对于任意点M，存在点N，使得MN 与AD ，BC 共面，故C 正确； 设MN 与BC 的夹角为，MN 与AD 的夹角为， 则 ， ， 可知、均为锐角，则直线MN 与BC 所成角为，直线MN 与AD 所成角为， 当a b = 时， 1 1 abba −+ = −+ ，即MN BC MN AD  =  ， 即cos cos   = ，可得  = ，即MN 与AD，BC 所成的角相等，故D 正确. 故选 . ACD 16. 【解析】 (1),, POPMPNMON   = + −  解： 三点共线 2 ()()() PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON   = +  + = +  + +  2 2 2 2 3 3 3 1 3 1 ( ) 2 2 4 2 4 2 PO OM ON PO PO = +  = −  = −  − = − 第2页 第二部分 解答题答案与评分标准 17. 【解】(1)连接ON ，因为N 是棱BC 的中点， 所以 ( ) 1 2 = + OMON OP ， ------------------1 分 因为 M 是棱 OA 上靠近 A 的三等分点，所以 ( ) ( ) 121121111 232232344     = + + = + + = + +         OAOCOBacb O a P b c . ----------------------------5 分 (2) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 9 4 4 6 6 8 a b c a b c a P b a c c b O       = + + = + + + + +              ------7 分 因为 1 a b c = = = ， 2 ,,,, 2 3   = = = abcabc ， 所以 2 111125 9882144 OP = + −  = ，故 5 12 = OP . --------------------10 分 18. 【解】 （1） 记A=“甲家庭回答正确这道题”, B=“乙家庭回答正确这道题”, C=“丙家庭回答 正确这道题” -------------1 分 由于 , , ABC 相互独立，所以由于A 和C 相互独立， ---------------2 分 则 3 ( ) 4 1 ()()()(1())(1()) 12 1 ()()() 4 P A PACPAPCPAPC PBCPBPC  =    =  = − − =    = =   ，所以 3 ( ) 8 2 ( ) 3 P B P C  =     =   所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为3 2 , 8 3 ------------6 分 （2）因为 , , ABC 相互独立，且 , , ABC ABC ABC 相互互斥， ------------8 分 333323215 ()(1)(1)(1) 48348348332 2 3 PABCABCABC  + + =   − +  −  + −   = 所以恰有2 个家庭回答正确这道题的概率为 15 32 . -------------------12 分 19.【解】(1)证明： 1 2 3 DM AM AD AA AD = − = − ， -------------------2 分 1 1 1 1 1 2 3 NB C B C N AA AD = − = − ， 1 DM NB  = ， -------------------4 分 又 1 D NB  ， 1 DM NB  ∥ 1 D M B N ， ，， 共面． ---------------6 分 (2)设 1 AAcADbABa = = = ， ， ，当 1 ABADAA = = 时， 2 1 2 a b a c b c a  = = = ----7 分 第3页 2 1 1 ( ) 3 3 3 MN MA AC CN c a b c a b c = + + = − + − = −−+ -----------8 分 2222 11114 ( ) 32323 MNBCabcbaaaa   = −−+  = − − +  = − ， -----------9 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 2 3 9 3 3 1 1 1 22 9 3 3 9 MN a b c a b c a b a c b c a a a a a a a = −−+ = + + + − −  = + + + − − = -----------10 分 2 2 422222 cos,()/() 3311 |||| MNBC MNBCaa MNBC    = = − = −  ------------------11 分 异面直线MN 与BC 所成角的余弦值为222 11 -----------------12 分 20. 【解】 (1)证明：连接BD，设AC 交BD 于点O，则AC⊥BD. --------------1 分 连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD. ---------------2 分 以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系，如图．设底面边长为a，则高SO＝6 2 a，于是S      0，0，6 2 a ， D      －2 2 a，0，0 ，B      2 2 a，0，0 ，C      0，2 2 a，0 ， OC →＝      0，2 2 a，0 ，SD →＝      －2 2 a，0，－6 2 a ， --------------5 分 则OC →·SD →＝0. 故OC⊥SD. 从而AC⊥SD. ---------------6 分 (2)棱SC 上存在一点E，使BE∥平面PAC. ---------------7 分 理由如下：由已知条件知DS →是平面PAC 的一个法向量，且DS →＝      2 2 a，0，6 2 a ，---8 分 CS →＝      0，－2 2 a，6 2 a ，BC →＝      －2 2 a，2 2 a，0 . 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝      －2 2 a，2 2 a（1－t），6 2 at ， -------10 分 而BE →·DS →＝0⇒t＝1 3. 即当SE∶EC＝2∶1 时，BE⊥DS. -------------11 分 而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC. --------------------12 分 21.【解】Ω={(x，y)| x，y∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)=36 ------------2 分 (1) 用A 表示事件“m n ⊥ ”，即 210 a b − + = ， -------------3 分 则 {(1,1),(3,2),(5,3)},()3 AnA = = . ----------------5 分 ∴ 3 1 ( ) 36 12 P A = = . -------------------6 分 (2) 用B 表示事件“小王赢” ，则B 表示事件“小李赢” ． 第4页 设 2 ()21 fxaxbx = + −， 由题意知 0 a  ， (0)1 f = −， 所以方程 ()0 f x = 在区间(,3) −− 上有实数根，等价于 (3)0 f −  ，即9610 a b − − ， -------------------------------------------8 分 ( ) {(1,2),1,3,(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4) ,(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,6)}, B  = . ()12 n B  = 121 ( ) 363 P B  = = ， -------------------------10 分 1 2 ()1()1 3 3 PBPB = − = − = ---------------------11 分 则小王赢的概率小于小李赢的概率，所以这个游戏规则不公平. --------------------12 分 22. 1, , ,,// -----1 , // ----------------2 //= // CDEMENEMNPDABMEPC PCPBCMEPBCMEPBC NEPBCMENEEMENEMNE MNEPBC        解： （）取 中点 连接 分别是 中点 分 又 平面 平面 平面 分 同理 平面 ，又 ， ， 平面 平面 平面 --------- ----------------3 //. -------------------- ---------------------4 MNMNEMNPBC   分 平面 平面 分 2 3 (2)312312 3 PB = + −  = ， 222 ------------5 PBPCBCBCPB  = −  ⊥ 分 , , BCABPBABBPBABPABBCPAB ⊥  =   ⊥ 又 ， 平面 平面 -------- -------------6 BCABCDPABABCD   ⊥ 又 平面 平面 平面 分 1 1 2 1 1 , 1 1 ----------7 3 2 2 2 P ABCD P ABCD h V h h h − + =   = = = 设到面 的距离为 则 分 0 0, PPAABA ⊥ 过作 于 0 , = , PABABCDPAAB PABABCDAB ⊥   平面 平面 平面P 平面 平面 0 0 1 PAABCDPA  ⊥  = 面 --------------8 分 0 0 2, 1 -------9 PB BA BA A A = = =  与重合 分 , AC=CD=2, AD=2, ACCD -------------------------------10 AC  ⊥ 连接 分 , , PACDPAACAPAACPACCDPAC ⊥  =   ⊥ 又 ， 平面 平面 ------------------------11 PCDBPCA  − −  二面角 的平面角为 分 6 cos 3 AC PCA PC  = = 6 . -----------12 3 P CD B  − − 二面角 的余弦值为 分