佛山一中2022-2023学年度上学期高一第一次段考数学参考答案

佛山一中2022-2023 学年度上学期高一第一次段考数学试题答案 一、单选：1-4 BCDA 5-8 CDAA 二、多选：9. BC 10. BD 11. ACD 12. CD 12. CD 【解析】解：例如1，2∈Z，1 2 ∉Z，故A 不正确； 令M=Q∪{π }，1，π ∈M，1+π ∉M，故B 不正确； 根据定义， 如果a，b 在P 中， 那么a+b，a+2b，a+3b，…，a+kb，…(k 是整数) 都 在P 中，由于整数有无穷多个，故数域必为无限集，故C 正确； 可以证明， 任何一个形如{a+b ❑ √k ，a，b∈Q}(k是质数) 的集合都是数域，而质数有无 穷多个，并且k 不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，D 正确．故选CD． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，计20 分. 13. 14.8 15. 16. 6 16. 6 【解析】由题得 ， 设 ，则 . 当且仅当 时取等.所以 的最小值为6.故答案为：6 四、解答题：本题共6 小题，计70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解】（Ⅰ）当 时，集合 ， ，……3 分 所以 ；………………………………………5 分 （Ⅱ）若选择①，则 ，则 ，………………………6 分 因为 ，所以 ，……………………7 分 又 ，所以 ，……………………8 分 解得 ，……………………………………………………9 分 所以实数 的取值范围是 ；………………………………10 分 若选择②，“ “是“ ”的充分不必要条件，则  ，……………6 分 因为 ，所以 ，又 ， 所以 ，……………8 分 解得 ，…………9 分 所以实数 的取值范围是 ；……………………………………10 分 若选择③， ，因为 ， ， 所以 或 ， 解得 或 ，………………9 分 所以实数 的取值范围是 ．……………………10 分 18. 【解】花坛的宽度为xm，所以绿草坪的长为(80−2 x)m，宽为(60−2 x)m，………1 分 草坪面积为(80−2 x )⋅(60−2 x )=4( x 2−70 x+1200) m 2………3 分 总面积1 2 ×80×60=2400 m 2 ………4 分 根据题意得4( x 2−70 x+1200)≥2400…………6 分 直接写为 (80−2 x)⋅(60−2 x)≥1 2 ×80×60，给6 分 整理得x 2−70 x+600≥0，解得x ≥60或x ≤10． ………………9 分 由题意知0<x<30， 所以x ≥60不符合题意，舍去 ………………10 分 所以0<x ≤10． ……………………………………………………11 分 答：当0<x ≤10时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．……12 分 19.【证明】（Ⅰ）因为a 2+3b 2−2b(a+b)=a 2−2ab+b 2=(a−b) 2≥0，…3 分 当且仅当a=b时，等号成立，……………………4 分 所以a 2+3b 2≥2b(a+b)．………………………………………5 分 （Ⅱ）因为a 3+b 3−(ab 2+a 2b)=a 3+¿ b 3−ab 2−a 2b ¿a 3−ab 2+b 3−a 2b=a(a 2−b 2)+b(b 2−a 2) ¿(a 2−b 2)(a−b)=(a+b)(a−b) 2，…………………8 分 因为a>0，b>0，所以(a+b)(a−b) 2≥0， ……………………9 分 当且仅当a=b时，等号成立， ………………………………………10 分 所以a 3+b 3−(ab 2+a 2b)≥0， …………………………………11 分 所以a 3+b 3≥ab 2+a 2b. ………………………………………12 分 20. 【解】 (Ⅰ)把a=2代入，得2 x 2−3 x+1>0，化简得(x−1) (2 x−1)>0， 该不等式的解为：{x|x< 1 2 , 或x>1}; ………………2 分 (Ⅱ)把a x 2−(a+1) x+1>0化简得，(x−1) (ax−1)>0， ………………3 分 ①当a=0时，不等式的解为{x|x<1}; ………………4 分 ②1 a >1，即a−1 a <0，得0<a<1，∴此时，不等式的解为{x|x<1, 或x> 1 a}; ………………6 分 ③1 a <1，即a−1 a >0，得a>1或a<0， 当a>1时，不等式的解为{x|x< 1 a 或x>1}， ………………8 分 当a<0时，不等式的解为{x|1 a <x<1};………………9 分 ④1 a=1，得a=1，此时，(x−1) 2>0，解得{x|x∈R 且x≠1}．………………10 分 综上所述，当a<0时，不等式的解为{x|1 a <x<1}， 当a=0 时，不等式的解为{x|x<1}， 当0<a<1时，不等式的解为{x|x<1 或x> 1 a}， 当a≥1时，不等式的解为{x|x< 1 a 或x>1}． ………………12 分 说明：综上所述写为五种情况 不扣分！ 21．【解】（Ⅰ）如图，∵ ，由矩形 的周长为 ， 可知 . 设 ，则 ，………1 分 ， ， ， ， .………………………………2 分 在 中，由勾股定理得 ，即 ，……3 分 解得 a= x 2−10 x+50 x ……………4 分 所以y=DP=x−a=x−x 2−10 x+50 x =10 x−50 x (5<x<10) 即y=10 x−50 x (5<x<10) ………………………………………6 分 （Ⅱ） 的面积为 …8 分 由基本不等式与不等式的性质，得 ，………….10 分 当且仅当 时，…………………………11 分 即当 时， 的面积最大，面积的最大值为 .…….12 分 22.【解】（Ⅰ）因为f (x )≥0解集为 ， 所以可设f ( x)=a( x+2)( x−3)=a(x 2−x−6)，且a<0，………………2 分 其图象对称轴为x=1 2，开口向下， 则f ( x)在区间[−1,1]上的最小值f ( x)min=f (−1)=−4 a=4，解得a=−1，……3 分 所以f ( x)=−x 2+x+6； ……………………………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得函数f ( x)的图象对称轴为x=1 2，开口向下，所以 当−2≤t ≤1 2时，最大值为f (t )=−t 2+t+6；……………………6 分 当t> 1 2时，最大值为f ( 1 2)=25 4 ；……………………………………8 分 （Ⅲ）由题意，g( x)=x+5+x 2−x−6=x 2−1， 因为g( x m)−g( x−1)≤4 [m 2 g( x)+g(m)]对任意 恒成立， 即x 2 m 2 −1−[( x−1) 2−1]≤4 [m 2(x 2−1)+m 2−1]对 恒成立， 则( 1 m 2 −4 m 2)x 2≤x 2−2 x−3，即1 m 2 −4 m 2≤−3 x 2 −2 x +1对 恒成立，……9 分 令s= 1 x ，则−4 3 ≤s<0，则y=−3 s 2−2s+1,−4 3 ≤s<0, ……………………10 分 该二次函数图象开口向下，对称轴为s=−1 3， 所以当s=−4 3 时，ymin=−5 3， 故1 m 2 −4 m 2≤−5 3 所以(3m 2+1)(4 m 2−3)≥0，解得m≤− ❑ √3 2 或m≥ ❑ √3 2 ． 实数m的取值范围为 ……………………12 分