佛山一中2022-2023学年度上学期高一第一次段考数学参考答案

佛山一中高一年级第一次段考数学试题第1页共4 页 佛山一中2022-2023 学年度上学期高一第一次段考数学试题答案 一、单选：1-4 BCDA 5-8 CDAA 二、多选：9. BC 10. BD 11. ACD 12. CD 12. ������【解析】解：例如1，2 ∈Z， 1 2 ∉Z，故A 不正确； 令M = Q ∪{π}，1，π ∈M，1 + π ∉M，故B 不正确； 根据定义，如果a， b 在P 中，那么���+ b， a + 2b， ���+ 3b， …， ���+ kb， …(k 是整数) 都在P 中， 由于整数有无穷多个，故数域必为无限集，故C 正确； 可以证明，任何一个形如{���+ b k ，���，b ∈Q}(k 是质数) 的集合都是数域，而质数有无穷多 个，并且k 不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，D 正确．故选CD． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，计20 分. 13. 1 | 1 2 x x         14.8 15.   | 3 k k  16. 6 16. 6 【解析】由题得 16 2 y x x x y    16 2 y y x x   ， 设 ( 0) y t t x   ，则 16 16 16 ( ) 2 2 2 ( 2) 2 8 2 6 2 2 2 f t t t t t t t               . 当且仅当 2 t  时取等.所以 16 2 y x x x y   的最小值为6.故答案为：6 四、解答题：本题共6 小题，计70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解】 （Ⅰ）当 2 a  时，集合   |1 3 A x x    ，   | 1 3 B x x    ，……3 分 所以   | 1 3 A B x x     ；………………………………………5 分 （Ⅱ）若选择①，则 A B B   ① ，则A B  ，………………………6 分 因为   | 1 1 A x a x a     ，所以A ，……………………7 分 又   | 1 3 B x x    ，所以 1 1 1 3 a a      ，……………………8 分 解得0 2 a   ，……………………………………………………9 分 所以实数a 的取值范围是  | 0 2 a a   ；………………………………10 分 若选择②，“ x A  “是“ x B  ”的充分不必要条件，则A B ，……………6 分 因为   | 1 1 A x a x a     ，所以A ，又   | 1 3 B x x    ， 佛山一中高一年级第一次段考数学试题第2页共4 页 所以 1 1 1 3 a a      ，……………8 分 解得0 2 a   ，…………9 分 所以实数a 的取值范围是  | 0 2 a a   ；……………………………………10 分 若选择③，A B   ，因为   | 1 1 A x a x a     ，   | 1 3 B x x    ， 所以 1 3 a  或 1 1 a ， 解得 4 a  或 2 a ，………………9 分 所以实数a 的取值范围是  | 2 4 a a a   或 ．……………………10 分 18. 【解】花坛的宽度为������，所以绿草坪的长为(80 −2���)���，宽为(60 −2���)���，………1 分 草坪面积为80 −2���⋅60 −2���= 4(���2 −70���+ 1200) ���2………3 分 总面积1 2 × 80 × 60 = 2400 ���2 ………4 分 根据题意得4(���2 −70���+ 1200) ≥2400…………6 分 直接写为 (80 −2���) ⋅(60 −2���) ≥1 2 × 80 × 60，给6 分 整理得���2 −70���+ 600 ≥0，解得���≥60 或���≤10． ………………9 分 由题意知0 < ���< 30，所以���≥60 不符合题意，舍去………………10 分 所以0 < ���≤10． ……………………………………………………11 分 答：当0 < ���≤10 时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．……12 分 19.【证明】（Ⅰ）因为���2 + 3���2 −2���(���+ ���) = ���2 −2������+ ���2 = (���−���)2 ≥0，…3 分 当且仅当���= ���时，等号成立，……………………4 分 所以���2 + 3���2 ≥2���(���+ ���)．………………………………………5 分 （Ⅱ）因为���3 + ���3 −(������2 + ���2���) = ���3 + ���3 −������2 −���2��� = ���3 −������2 + ���3 −���2���= ���(���2 −���2) + ���(���2 −���2) = (���2 −���2)(��� −���) = (���+ ���)(���−���)2，…………………8 分 因为���> 0，���> 0，所以(���+ ���)(���−���)2 ≥0， ……………………9 分 当且仅当���= ���时，等号成立， ………………………………………10 分 所以���3 + ���3 −(������2 + ���2���) ≥0， …………………………………11 分 所以���3 + ���3 ≥������2 + ���2���. ………………………………………12 分 佛山一中高一年级第一次段考数学试题第3页共4 页 20. 【解】(Ⅰ)把���= 2 代入，得2���2 −3���+ 1 > 0，化简得���−1 2���−1 > 0， 该不等式的解为：������< 1 2 , 或���> 1 ; ………………2 分 (Ⅱ)把������2 −���+ 1 ���+ 1 > 0 化简得，���−1 ������−1 > 0， ………………3 分 ①当���= 0 时，不等式的解为������< 1 ; ………………4 分 ② 1 a > 1，即 ���−1 ���< 0，得0 < ���< 1，∴此时，不等式的解为������< 1, 或���> 1 ���; ………………6 分 ③ 1 a < 1，即 ���−1 ���> 0，得���> 1 或���< 0， 当���> 1 时，不等式的解为������< 1 a 或���> 1 ， ………………8 分 当���< 0 时，不等式的解为��� 1 a < x < 1 ; ………………9 分 ④ 1 a = 1，得���= 1，此时，���−1 2 > 0，解得������∈R 且���≠1 ．………………10 分 综上所述，当���< 0 时，不等式的解为��� 1 a < ���< 1 ， 当���= 0 时，不等式的解为������< 1 ， 当0 < ���< 1 时，不等式的解为������< 1 或���> 1 ���， 当���≥1 时，不等式的解为������< 1 ���或���> 1 ． ………………12 分 说明：综上所述写为五种情况不扣分！ 21．【解】（Ⅰ）如图，∵ cm AB x  ，由矩形   ABCD AB AD  的周长为20cm ， 可知   10 cm AD x   . 设 cm PC a  ，则  cm DP x a   ，………1 分 APD CPB    ， 90 ADP CB P     ， AD CB  ， Rt ADP Rt CB P      ， cm AP PC a    .………………………………2 分 在Rt ADP △ 中，由勾股定理得 2 2 2 AD DP AP   ，即    2 2 2 10 x x a a     ，……3 分 解得���= ���2−10���+50 ��� ……………4 分 所以���= ������= ���−���= ���− ���2−10���+50 ��� = 10���−50 ��� (5 < ���< 10) 即���= 10���−50 ��� (5 < ���< 10) ………………………………………6 分 （Ⅱ） ADP △ 的面积为 佛山一中高一年级第一次段考数学试题第4页共4 页   2 1 1 10 50 15 50 50 10 5 5 15 2 2 x x x S AD DP x x x x x                            …8 分 由基本不等式与不等式的性质，得 50 5 2 15 75 50 2 S x x              ，………….10 分 当且仅当 50 x x  时，…………………………11 分 即当 5 2 x  时， ADP △ 的面积最大，面积的最大值为  2 75 50 2 cm  .…….12 分 22.【解】 （Ⅰ）因为������≥0 解集为  | 2 3 x x   ， 所以可设���(���) = ���(���+ 2)(���−3) = ������2 −���−6 ，且���< 0，………………2 分 其图象对称轴为���= 1 2，开口向下， 则���(���)在区间−1,1 上的最小值���(���)min = ���( −1) =−4���= 4，解得���=−1，……3 分 所以���(���) =−���2 + ���+ 6； ……………………………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得函数���(���)的图象对称轴为���= 1 2，开口向下，所以 当−2 ≤t ≤ 1 2 时，最大值为������=−t2 + t + 6；……………………6 分 当t > 1 2 时，最大值为��� 1 2 = 25 4 ；……………………………………8 分 （Ⅲ）由题意，g(���) = ���+ 5 + ���2 −���−6 = ���2 −1， 因为g x m −g(���−1) ≤4 m2g(x) + g(m) 对任意 3 4 x  恒成立， 即x2 m2 −1 −(���−1)2 −1 ≤4 m2 x2 −1 + m2 −1 对 3 4 x  恒成立， 则 1 m2 −4m2 ���2 ≤���2 −2���−3，即 1 m2 −4m2 ≤− 3 x2 − 2 x + 1 对 3 4 x  恒成立，……9 分 令s = 1 ���，则− 4 3 ≤s < 0，则y =−3s2 −2s + 1, − 4 3 ≤s < 0, ……………………10 分 该二次函数图象开口向下，对称轴为s =− 1 3， 所以当s =− 4 3 时，ymin =− 5 3， 故 1 m2 −4m2 ≤− 5 3 所以3m2 + 1 4m2 −3 ≥0，解得m ≤− 3 2 或m ≥ 3 2 ． 实数m 的取值范围为 3 3 | 2 2 m m m             或 ……………………12 分