2022-2023学年度高二（上）第一次段考数学答案（印）

第1 页 佛山一中2022~2023 学年度上学期第一次段考 数学参考答案与评分标准 第一部分 选择题、填空题答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A A C A D BCD AB ACD ACD 题号 13 14 15 16 答案 7 12. 【解析】对于选项A，对任意点M，N，假设MN 与AD 共面，则M、N、A、D 四点共面， 因为 ，则 平面ADNM，同理得到 平面ADNM， 则 平面ADNM，又 平面ADNM， 则A、B、C、D 四点共面，不符合条件，故MN 与AD 异面，故A 正 确； 将正四面体放入正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1 ，则 ， ， ， ，因为M，N 分别是线段AB， 不含端点 上的动点， 可设 ， ，其中 ， ， 则 ， ， ， ，故 与 不垂直，故B 错误； 假设 与 ， 共面，则存在实数x，y 满足 ， 即 ，解得 ， 即对于任意实数b 且 ，当 时，总有 ， 即对于任意点M，存在点N，使得 与 ， 共面，故C 正确； 设 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， 则 ， ， 可知 、 均为锐角，则直线MN 与BC 所成角为 ，直线MN 与AD 所成角为 ， 当 时， ，即 ， 即 ，可得 ，即MN 与AD，BC 所成的角相等，故D 正确. 故选 16. 【解析】 第2 页 第2 页 第二部分 解答题答案与评分标准 17. 【解】(1)连接 ，因为N 是棱BC 的中点， 所以 ， ------------------1 分 因为 M 是棱OA 上靠近 A 的三等分点，所以 . ----------------------------5 分 (2) ------7 分 因为 ， ， 所以 ，故 . --------------------10 分 18.【解】（1）记A=“甲家庭回答正确这道题”, B=“乙家庭回答正确这道题”, C=“丙家庭回 答正确这道题” -------------1 分 由于 相互独立，所以由于 和 相互独立， ---------------2 分 则 ，所以 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 ------------6 分 （2）因为 相互独立，且 相互互斥， ------------8 分 所以恰有2 个家庭回答正确这道题的概率为 . -------------------12 分 19.【解】(1)证明： ， -------------------2 分 ， ， -------------------4 分 又 ， 共面． ---------------6 分 第3 页 (2)设 ，当 时， ----7 分 第3 页 -----------8 分 ， -----------9 分 -----------10 分 ------------------11 分 异面直线MN 与BC 所成角的余弦值为 -----------------12 分 20. 【解】 (1)证明：连接BD，设AC 交BD 于点O，则AC⊥BD. --------------1 分 连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD. ---------------2 分 以O 为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C， OC＝，SD＝， --------------5 分 则OC·SD＝0. 故OC⊥SD. 从而AC⊥SD. ---------------6 分 (2)棱SC 上存在一点E，使BE∥平面PAC. ---------------7 分 理由如下：由已知条件知DS是平面PAC 的一个法向量，且DS ＝，---8 分 CS＝，BC＝. 设CE＝tCS，则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝， -------10 分 而BE·DS＝0⇒t＝. 即当SE∶EC＝2∶1 时，BE DS. -------------11 ⊥ 分 而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC. --------------------12 分 21.【解】Ω={(x，y)| x，y {1 ∈ ，2，3，4，5，6}}，n(Ω)=36 ------------2 分 (1) 用A 表示事件“ ”，即 ， -------------3 分 则 . ----------------5 分 ∴ . -------------------6 分 第4 页 (2) 用B 表示事件“小王赢”，则 表示事件“小李赢”． 设 ， 由题意知 ， ， 所以方程 在区间 上有实数根，等价于 ，即 ， -------------------------------------------8 分 . ， -------------------------10 分 ---------------------11 分 则小王赢的概率小于小李赢的概率，所以这个游戏规则不公平. --------------------12 分 --------------8 分