2022-2023学年度高二（上）第一次段考数学试题

第1 页，共4 页 佛山一中2022~2023 学年度高二上学期第一次段考试题 数 学 命题人：李晓明、简俊敏 一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 对于空间一点O 和不共线三点A，B，C，且有 6 2 3 OP OA OB OC = − − ，则( ) A. O，A，B，C 四点共面 B. P，A，B，C 四点共面 C. O，P，B，C 四点共面 D. O，P，A，B，C 五点共面 2. 点P’与P 关于平面xOy 对称，点P”与P’关于z 轴对称，则点P”与P 关于( )对称. A. x 轴 B. 平面yOz C. 原点O D. 不是以上答案 3. 如果A，B 是互斥事件，那么( ) A. A B 是必然事件 B . A 与B 一定是互斥事件 C. A与B 一定不是互斥事件 D. A B 是必然事件 4. 已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为 1 (2,3,1) n = − ， (1,0, AB = 2) − ， (1,1,1) AC = ，则( ) A. 平面 //  平面ABC B. 平面⊥平面ABC C. 平面、平面ABC 相交但不垂直 D. 以上均有可能 5. 甲、乙两人每人可以用手出0，5，10 三种数字，同时可以喊0，5，10，15，20 五种数 字。某人若所喊数字等于两人所出数字之和则胜。若甲喊10，乙喊15，则( ) A. 甲胜的概率大 B. 乙胜的概率大 C. 甲、乙胜的概率一样大 D. 不能确定 6. 一次数学测试某班成绩的频率分布直方图如图所示； 则此次测试成绩的班级平均数与中位数分别为( ) A. 115、115 B. 117.7、117.5 C. 114、117.5 D. 117.5、117.7 7. 如图，在一个60的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且 AB=AC=a，BD=2a ，则CD 的长为( ) A. 2a B. 5a C. a D. 3a 第2 页，共4 页 8. 如图，在平行四边形ABCD 中， 1 AB = ， 2 AD = ， 60 A   = ，沿对角线BD 将ABD  折起到PBD  的位 置，使得平面PBD ⊥平面BCD，过BC 的平面与PD 交 于M，则MBC  面积的最小值为( ) A. 7 7 B. 3 7 C. 2 5 7 D. 21 7 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 若 1 ( ) 9 PAB = ， 2 ( ) 3 P A = ， 1 ( ) 3 P B = ，则事件A 与B 的关系错误是( ) A. 事件A 与B 相互独立 B. 事件A 与B 对立 C. 事件A 与B 互斥 D. 事件A 与B 既互斥又独立 10. 下列说法正确的是( ) A. 用简单随机抽样的方法从含有50 个个体的总体中抽取一个容量为5 的样本，则个体 m 被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7 的平均数为4，则这组数据的方差是26 5 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 的第70 百分位数是23 D. 若样本数据 1 2 10 , , , x x x 的标准差为8，则数据 1210 21,21,,21 xxx − − −的标准差 为32 11. 已知正三棱柱 111 ABCABC − ， 1 1 ABAA = = ，P 点满足 1 BPBCBB   = + ，其中 0 1, 0 1   则下列说法正确的是( ) A. 当 1 = 时， 1 PBB  的面积是定值 B. 当 1 = 时， 1 PAB  的周长是定值 C. 当 1 = 时，PBC  的面积是定值 D. 当 1 = 时，三棱锥 1 PABC − 的体积为定值 12. 如图，在正四面体ABCD 中，M，N 分别是线段AB， ( CD 不 含端点) 上的动点，则下列说法正确的是( ) A. 对任意点M，N，都有MN 与AD 异面 B. 存在点M，N，使得MN 与BC 垂直 C. 对任意点M，存在点N，使得MN 与AD ，BC 共面 D. 对任意点M，存在点N，使得MN 与AD，BC 所成的角相等 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 若平面的一个法向量为 (2,6,) m s = − ，平面的一个法向量为 (1,,2) n t = ，且 //  ，则s t −= __________. 14. 将一个骰子先后抛掷两次，事件A 表示“第一次出现奇数点”，事件B 表示“第二次的 点数不小于5”，则 ( ) P A B + =__________ . 第3 页，共4 页 15. 如图，三棱锥PABD − 中，ABAD ⊥ ，PBPD ⊥ ，ABD  的面积为8，则三棱锥PABD − 外接球的表面积的最小值为 __________. 16. 正方体 1111 ABCDABCD − 棱长为1，M,N 为该正方体外接球 球O 表面上的两点，P 在正方体表面且不在直线MN 上，若 (1) POPMPN   = + − ，则PM PN  的最小值为__________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10 分） 如图，在四面体OABC 中， 2 OMMA = ，N 是棱BC 的中 点，P 是线段MN 的中点．设OAa = ，OBb = ，OCc = ． (1)用a ，b ，c 表示向量OP ； (2)已知 1 a b c = = = ， 2 ,,,, 2 3 abcabc    = =  = ， 求OP 的大小． 18. （本小题满分12 分） 在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回 答一道有关环保知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是3 4 ，甲、丙两个家庭都回 答错误的概率是1 12 ，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是1 4 . 若各家庭回答是否正确互不影 响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中恰有2 个家庭回答正确这道题的概率. 19. （本小题满分12 分） 如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD − 1 1 1 1 A BC D 中，M N ， 分别在棱 1 1 CC AA ， 上，且 1 1 3 CMCC = ，1 1 1 3 N AAA= ， 1 1 60 AADAABDAB    = = = ． (1)用向量法求证： 1 D M B N ， ， ， 共面； (2)当 1 ABADAA = = 时，求异面直线MN 与BC 所成角的 余弦值． N M D1 C1 B1 A1 D C B A 第4 页，共4 页 20. （本小题满分12 分） 如图所示， 四棱锥S­ABCD 的底面是正方形， 每条侧棱的长都是底面边长的2倍， 点 P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC 上是否存在一点E，使得 BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC 的值；若不存在，试说明 理由． 21. （本小题满分12 分） 小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一次骰子，向上 的点数记为a，小李再掷一次骰子，向上的点数记为b，(a,b)表示一次游戏的结果. （1）已知向量 1 1,2, 2 m   =    ， ( ) ,,2 nab = − , 求满足m n ⊥ 的概率； （2）规定：若方程 2 210 axbx + −= 在区间(,3) −− 上有实数根，则小王赢；否则小李赢。 试问这个游戏规则公平吗？请说明理由. 22. （本小题满分12 分） 如图，四棱锥P ABCD − 中，底面ABCD是直角梯形， 0 90. BAD  = （1）若M,N 分别是PD，AB 中点，求证： //; MNPBC 平面 （2）已知 222 ADABBC = = = ， 3 PC = ， 3 cos 3 PCB  = ，若 1 2 PABCD V − = ，求 二面角P CD B − − 的余弦值.