专题53 一次函数背景下的搭桥模型（解析版）(1)

方法点拨 二、求线段之和的最小值 已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在 直线m 上要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： 过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时 P、Q 即为所求的点 m A B Q P m A B C Q P （2）点、B 在直线m 同侧： m A B Q P m A B B' E Q P 过点作E∥m,且E 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B’,连接B’E,交直线m 于Q,Q 向左 平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点 【例1】．如图，已知（3，1），B（1，0），PQ 是直线y＝x 上的一条动线段且PQ＝ 模型介绍 例题精讲 （Q 在P 的下方），当P+PQ+QB 取最小值时，点Q 坐标为 （ ， ） ． 解：作点B 关于直线y＝x 的对称点B'（0，1），过点作直线M，并沿M 向下平移 单 位后得'（2，0） 连接'B'交直线y＝x 于点Q 如图 理由如下：∵'＝PQ＝ ，'∥PQ， ∴四边形PQ'是平行四边形． ∴P＝'Q． ∵P+PQ+QB＝B'Q+'Q+PQ 且PQ＝ ． ∴当'Q+B'Q 值最小时，P+PQ+QB 值最小． 根据两点之间线段最短，即'，Q，B'三点共线时'Q+B'Q 值最小． ∵B'（0，1），'（2，0）， ∴直线'B'的解析式y＝﹣ x+1． ∴x＝﹣ x+1．即x＝ ， ∴Q 点坐标（ ， ）． 故答是：（ ， ）． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，E 的坐标分别为（0，4）， （8，0），（8，2），点P，Q 是边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形PQE 的周长 最小，则点P 的坐标为（ ） ．（2，0） B．（3，0） ．（4，0） D．（5，0） 解：如图，将点E（8，2）往左平移2 个单位得到F（6，2），则EF＝2＝PQ， EF∥PQ， ∴四边形EFPQ 是平行四边形， ∴FP＝QE， 作点F 关于x 轴的对称点F'，连接PF'， 则PF'＝PF，F'（6，﹣2）， ∴当点、P、F 在同一直线上上时，P+PF'最小， 即P+EQ 最小， ∵（0，4），F'（6，﹣2）， ∴直线F'解析式：y＝﹣x+4， ∴P（4，0）， 故选：． 【变1-2】．、B 两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥． （1）要使这两村、B 之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来． （2）若两村、B 到河边的距离分别为50 米和20 米，河宽为30 米，＝40 米，你能求出 两村的最短路程吗？若能，请求出来． 解：（1）桥应该建在如图所示M 处，四边形MK 是平行四边形． （2）作M⊥B 垂足为． 两村、B 之间的最短路程＝+K+BK， ∵四边形MK 是平行四边形， ∴＝MK， 在RT△BM 中，∵B＝70，M＝40， ∴BM＝ ＝10 ， + ∴K+BK＝BM+K＝10 +30， ∴两村的最短路程为（10 +30）米． 【例2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ x+8 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，点为B 的中点，点D 在第二象限，且四边形D 为矩形．动点P 为D 上一点，P⊥，垂足为，点 Q 是点B 关于点的对称点，当BP+P+Q 值最小时，点P 的坐标为 （﹣ 4 ， 4 ） ． 解：BP+P+Q 有最小值， 理由是：∵直线y＝ x+8 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，点为B 的中点， ∴B＝8，＝6，＝4， 连接PB，，Q，则四边形PB 是平行四边形，如图， ∵四边形PB 是平行四边形， ∴PB＝， ∴BP+P+Q＝+Q+4， ∵BP+P+Q 有最小值，即+Q+4 有最小值， ∴只需+Q 最小即可， ∵两点之间线段最短， ∴当点，，Q 在同一直线上时，+Q 的值最小， 过点Q 作QM⊥y 轴，垂足为M， ∵点Q 是点B 关于点的对称点， ∴是△BQM 的中位线， ∴QM＝2＝12，M＝B＝8， ∴Q（﹣12，﹣8）， 设直线Q 的关系式为：y＝kx+b， 将（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得： ， 解得： ， ∴直线Q 的关系式为：y＝x+4， 令y＝0 得：x＝﹣4， ∴（﹣4，0）， ∵P∥y 轴， ∴P（﹣4，4）， 故答为：（﹣4，4）． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣ x+ 与x 轴，y 轴分别交于点， B，Q 为△B 内部一点，则Q+Q+BQ 的最小值等于（ ） ．2 B． ． D． 解：∵直线y＝﹣ x+ 与x 轴，y 轴分别交于点，B， 当x＝0 时，y＝ ；当y＝0 时，x＝1； ∴B＝ ，＝1， ∴B＝ ＝ ＝2， ∴∠B＝30°，∠B＝60°， 任取△B 内一点Q，连接Q、BQ、Q，将△BQ 绕点顺时针旋转60°得到△B′Q′，过B′作 B′⊥x 轴于，如图所示： ∴B′＝B＝2，Q＝Q′，BQ＝B′Q′，∠BB′＝∠QQ′＝60°， ∴△QQ′是等边三角形， ∴Q＝QQ′， ∴Q+Q+BQ＝Q+QQ′+Q′B′， ∴当Q、QQ′、Q′B′这三条线段在同一直线时最短，即Q+Q+BQ 的最小值＝B′， ∵∠B＝∠BB′＝60°， ∴∠B′＝60°， ∴＝ B′＝1，B′＝ ， ∴＝+＝2， ∴B′＝ ＝ ＝ ， ∴Q、Q、BQ 之和的最小值是 ； 故选：D． 【变2-2】．如图，在直角坐标系中，矩形B 的顶点在坐标原点，顶点，分别在x 轴，y 轴 上，B，D 两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF 在边上移动，保持EF＝ 3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为 （﹣ ， 0 ） ． 解：在B 上截取B＝3，作点D 关于x 轴的对称点D'，连接D'交于点E， ∴B＝EF＝3，B∥， ∴四边形BEF 是平行四边形， ∴BF＝E， ∵点D 与点D'关于x 轴对称， ∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4）， ∵四边形BDEF 的周长＝EF+BF+BD+DE， ∴四边形BDEF 的周长＝E+ED'+BD+EF， ∵EF 和BD 是定值， ∴当E+D'E 有最小值时，四边形BDEF 的周长有最小值， ∴当点E，点，点D'共线时，E+D'E 有最小值， ∵点B（﹣4，6）， ∴点（﹣1，6）， 设直线D'的解析式为y＝kx+b， 则 ， 解得： ， ∴直线D'的解析式为y＝﹣10x 4 ﹣， ∴当y＝0 时，x＝﹣ ， ∴点E（﹣ ，0）， 故答为：（﹣ ，0）． 1．如图，D 是直线y＝ x 上的一条动线段，且D＝2，点（2+ ，1），连接、D，则 △D 周长的最小值是 2 +2 ． 解：在x 轴上取点B（2，0），连接B，B，作F⊥x 轴于点F， ∵点（2+ ，1）， Rt ∴ △BF 中，F＝1，BF＝ ， ∴B＝2，∠BF＝30°， ∵D 是直线y＝ x 上的一条动线段， ∴∠B＝30°， ∴B∥D，且B＝D， ∴四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B， 要使得△D 周长最小，只要+D 最小，也就是+B 最小， 作点B 关于直线D 的对称点E， 根据对称得E＝B，且∠EB＝60°， ∴△EB 是等边三角形， ∴点E 坐标为（1， ）， 当E，，三点共线时，E+最小，此时+B 最小， ∴E+的最小值＝ ＝ ＝2 ， + ∴D 最小值＝2 ， ∴△D 的周长＝2 +2． 2．如图，在直角坐标系中，直线y＝ x+4 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，为B 的中点，点 D 在第二象限，且四边形D 为矩形，P 是D 上一个动点，过点P 作P⊥于，Q 是点B 关 于点的对称点，则BP+P+Q 的最小值为 6 +2 ． 解：如图，连接， ∵直线y＝ x+4 分别交x 轴，y 轴于，B 两点， ∴B＝4，＝3， ∵是B 的中点， ∴B＝＝2， ∵∠P＝∠＝∠D＝90°， ∴四边形P 是矩形， ∴P＝＝B＝2， ∵P∥B， ∴四边形PB 是平行四边形， ∴BP＝， ∴BP+P+Q＝+Q+2， 要使+Q 的值最小，只需、、Q 三点共线即可， ∵点Q 是点B 关于点的对称点， ∴Q（﹣6，﹣4）， 又∵点（0，2）， 根据勾股定理可得Q＝ ＝6 ， 此时，BP+P+Q＝+Q+P＝Q+2＝6 +2， 即BP+P+Q 的最小值为6 +2； 故答为：6 +2． 3．如图，在平面直角坐标系中，有二次函数 ，顶点为，与x 轴交 于、B 两点（在B 左侧），易证点、B 关于直线l： 对称，且在直线l 上． 过点B 作直线BK∥交直线l 于K 点，M、分别为直线和直线l 上的两个动点，连接、M、 MK，则+M+MK 的最小值为 8 解：设 ＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∵B 点在点右侧， ∴点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（1，0）， ∵ ＝﹣ （x+1）2+2 ， ∴顶点的坐标是（﹣1，2 ）， 设直线的解析式为y＝kx+b，把和点的坐标代入求出k＝ ，b＝3 ， ∵过点B 作直线BK∥， ∴直线BK 的解析式为y＝mx+中的m＝ ， 又因为B 在直线BK 上，代入求出＝﹣ ， ∴直线BK 的解析式为：y＝ x﹣ ， 联立 解得： ， ∴交点K 的坐标是（3，2 ）， 则BK＝4， ∵点、B 关于直线K 对称，K（3，2 ）， + ∴M 的最小值是MMB，KD＝KE＝2 ， 过K 作KD⊥x 轴于D，作点K 关于直线的对称点Q，连接QK，交直线于E，KD＝KE＝ 2 ， 则QM＝MK，QE＝EK＝2 ，E⊥QK， ∴根据两点之间线段最短得出BM+MK 的最小值是BQ，即BQ 的长是+M+MK 的最小值， ∵BK∥， ∴∠BKQ＝∠EQ＝90°， 由勾股定理得QB＝ ＝8， + ∴M+MK 的最小值为8． 答：+M+MK 和的最小值是8． 故答为：8． 4．如图，已知点（4，0）、B（0，2），线段＝且点在y 轴负半轴上，连接． （1）如图1，求直线B 的解析式； （2）如图1，点P 是直线上一点，若S△B＝3S△BP，求满足条件的点P 坐标； （3）如图2，点M 为直线l：x＝ 上一点，将点M 水平向右平移6 个单位至点，连接 BM、M、．求BM+M+的最小值及此时点的坐标． 解：（1）直线B 的解析式为y＝kx+2，得 4k+2＝0， 解得k＝﹣ ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2； （2）由＝＝4，得点的坐标为（0，﹣4）， 设直线的解析式为y＝k'x 4 ﹣，得 4k' 4 ﹣＝0， 解得k'＝1， ∴直线的解析式为y＝x 4 ﹣， 由题意得，∠＝∠＝45°，＝ ＝4 ， ∵S△B＝3S△BP， ∴P＝ ＝ ， 则点P 的纵坐标应为 或﹣ ， 当点P 的纵坐标应为 时， 得x 4 ﹣＝ ， 解得x＝ ； 当点P 的纵坐标应为﹣ 时， 得x 4 ﹣＝﹣ ， 解得x＝ ． ∴满足条件的点P 坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）． （3）设点M 的坐标为（ ，y），则的坐标为（ ，y）， 由点B 离直线x＝ 的距离是 ， 故在处向右平移 个单位长度出作直线x＝11，在该直线上取B′（11，2），连接B'， 则BM＝B′，M＝6， 设直线B'的解析式为y＝k″x 4 ﹣，得 11k″ 4 ﹣＝2， 解得k″＝ ， ∴直线B'的解析式为y＝ x 4 ﹣， 将x＝ 代入得 y＝＝ × 4 ﹣＝ ， 即此时点的坐标为（ ， ）， BM+M+的最小值为M+B'＝6+ ＝6+ ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝﹣ x+4，与x 轴交于点，直线l 上有一点B 的横坐标为 ，点是的中点． （1）求直线B 的函数表达式； （2）在直线B 上有两点P、Q，且PQ＝4，使四边形PQ 的周长最小，求周长的最小值； （3）直线B 与y 轴交于点，将△B 沿B 翻折得到△BG，M 为直线B 上一动点，为平面内 一点，是否存在这样的点M、，使得以、M、、G 为顶点的四边形是菱形，若存在，直 接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）对于y＝﹣ x+4，令y＝0，则y＝﹣ x+4＝0，解得x＝4 ， 故点（4 ，0）， ∵点是的中点，则点（2 ，0）， 当x＝ 时，y＝﹣ x+4＝3，故点B（ ，3）， 设直线B 的表达式为y＝sx+t，则 ，解得 ， 故直线B 的表达式为y＝﹣ x+6； （2）过点作点关于直线B 的对称点′，将点′沿B 方向平移4 个单位得到点″， 连接″交B 于点P，将点P 沿B 方向平移4 个单位得到Q，此时四边形PQ 的周长最小． 由点、B、的坐标知，＝B＝B＝2 ，故△B 为等边三角形，由直线B 的表达式知∠B＝ 30°， 则∠′＝60°，故∠B′＝60°＝∠B+∠B＝30°+∠B，故∠B′＝60°，故△B′为等边三角形， 则′B＝B＝2 且′B∥x 轴，故点′（3 ，3）； 将点′沿B 方向平移4 个单位，相等于沿x 轴负半轴方向平移2 个单位向上平移3 个单 位，故点″（ ，5）； 由点的平移知，″′＝PQ 且′″∥PQ，故四边形QP 为平行四边形，故′Q＝″P， 此时，四边形QP 的周长＝+PQ+Q+P＝+4+′Q+P＝2 +4+″为最小， 而″＝2 ， 故以四边形QP 的最小周长为2 +4+2 ； （3）存在，理由： 对于y＝﹣ x+6，令x＝0，则y＝6，故点（0，6）， 如图2，按照（2）方法同理可得点G（3 ，3），则G＝ ＝6， 设点（，b），点M（m，6﹣ m）， ①当G 是边时， 点向右平移3 个单位向下平移3 个单位得到点G， 同样点M（）向右平移3 个单位向下平移3 个单位得到点（M）， 当点在点M 的下方时， 由题意得：m+3 ＝，6﹣ m 3 ﹣＝b①且G＝M， 而G＝M，即36＝m2+（6﹣ m 6 ﹣）2②， 联立①②并解得m＝±3， 故点M（3，6 3 ﹣ ）或（﹣3，6+3 ）； 当点在点M 的下方时， 同理可得点M（3 ，﹣3）； ②当G 是对角线时， 由中点公式得： （0+3 ）＝ （+m）， （6+3）＝ （b+6﹣ m）③， 由M＝得：m2+（6﹣ m 6 ﹣）2＝2+（b 6 ﹣）2④， 联立③④并解得：m＝ ， 故点M（ ，3）； 综上，点M 的坐标为（3，6 3 ﹣ ）或（﹣3，6+3 ）或（3 ，﹣3）或（ ， 3）． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ 与x 轴，y 轴分别交于点，D，直 线l2与直线y＝﹣ x 平行，交x 轴于点B（7，0），交l1于点． （1）直线l2的解析式为 y ＝﹣ x + ， ，点的坐标为 （ 1 ， 3 ） ； （2）若点P 是线段B 上一动点，当S△PB＝ 时，在x 轴上有两动点M、（M 在 的左侧），且M＝2，连接DM，P，当四边形DMP 周长最小时，求点M 的坐标； （3）在（2）的条件下，将D 绕点顺时针旋转60°得到G，点E 是y 轴上的一个动点， 点F 是直线l1上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F 为顶点的四边形 是平行四边形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵直线l2与直线y＝﹣ x 平行， ∴设直线l2的解析式为y＝﹣ x+b， ∵直线l2交x 轴于点B（7，0）， ∴﹣ ×7+b＝0， 解得b＝ ， ∴直线l2的解析式为y＝﹣ x+ ， ∵直线l2交l1于点， ∴ ， 解得 ， ∴（1，3 ）， 故答为：y＝﹣ x+ ，（1，3 ）； （2）∵S△PB＝ S△B， ∴ B•yP＝ × B•y， 即yP＝ ， ∴P（5， ）， ∵l1：y＝ 与y 轴交于点D， ∴D（0，2 ）， ∴PD＝ ＝2 ， ∴四边形DMP＝2 +2+DM+P， 当DM+P 最小时，四边形DMP 的周长最小，将DM 向右平移两个单位至D'， 则D'（2，2 ）， 过x 轴作点P 的对称点P'（5，﹣ ），连接D'P'交x 轴于点， 此时D'+P'最小，即DM+P 最小， 设直线D'P'的解析式为y＝mx+， 代入D'、P'坐标，得 ， 解得 ， ∴直线D'P'的解析式为y＝﹣ x+4 ， ∴（4，0）， ∴M（2，0）； （3）存在， 过G 作G⊥x 轴， 由题知，G＝D＝2 ， ∵∠DG＝60°， ∴∠G＝30°， ∴G＝ ，＝3， ∴G（3， ）， 设E（0，），F（b， ）， 当GM 为对角线时， ， ， 解得 ， ∴F（5，7 ）， 当GE 为对角线时， ， ∴ ， 解得 ， ∴F（1，3 ）， 当GF 为对角线时， ， ∴ ， 解得 ， ∴F（﹣1，3 ）， 综上，F 点的坐标为（5，7 ）或（1，3 ）或（﹣1， ）． 7．如图1，直线l： 交x 轴于点，交轴y 于点B，交直线m：y＝x+3 于点，直线 m 交x 轴于点D． （1）求点、点的坐标； （2）如图1，点E 为第一象限内直线l 上一点，满足△E 的面积为6． ①求点E 的坐标； ②线段PQ＝1（点P 在点Q 的上方）为直线x＝﹣1 上的一条动线段，当EP+PQ+Q 的 值最小时，求这个最小值及此时点P 的坐标． （3）如图2，将直线l 绕点旋转，在旋转过程中，直线l 交x 轴于点M，是否存在某个 时刻，使得△DM 为等腰三角形？若存在，求出线段M 的长度；若不存在，请说明理由． 解：（1）由﹣ x+ ＝0 得， x＝3， ∴（3，0）， 由 得， ， ∴（﹣1，2）； （2）①如图1， 过点作B 的平行线交D 于G，作EF⊥G 于F， 设点E（x，x+3） ∵（﹣1，2），（3，0）， ∴PE＝x+1，P＝x+1，G＝2，G＝4， ∵S△E＝S 梯形EPG﹣S△PE﹣S△G， ∴ （G+PE）•PG﹣ ﹣ ＝6， ∴x＝1， ∴E（1，4）； ②如图2， 作E 点关于x＝﹣1 的对称点，将向下平移1 个单位至，连接，交x＝﹣1 于Q，Q 点向 上平移1 个单位是点P， ∴EP＝P， ∵＝PQ，∥PQ， ∴四边形PQ 是平行四边形， ∴P＝Q， EP＝Q， 此时EP+PQ+Q 最小， ∵E（1，4）， ∴（﹣3，4），（﹣3，3）， ∴K＝6，K＝3， ∴＝ ＝3 ， ∴EP+PQ+Q ＝Q+Q+1 ＝+1 ＝3 +1， ∴EP+PQ+Q 最小＝3 +1， ∵的解析式是：y＝﹣ x ， ∴P（﹣1， ）； （3）∵D（﹣3，0），（﹣1，2