2021—2022学年下期期中高二文数答案

1 河南省实验中学2021--2022 学年下期期中 高二年级 文科数学 参考答案 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共计60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C B D D C B B C B 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分） 13．1  14. 7 3, 4       15. 4043 16. 三、解答题 17(12 分）(1)由   3 0 x a a x    ，可得   3 0 x a x a    ，其中 0 a  ， 得 3 a x a   ，则 : 3 p a x a   ， 0 a  ，.......2 分 若 1 a ，则 :1 3 p x   ；.......3 分 由 2 0 1 x x    ，解得1 2 x   ........4 分 即 :1 2 q x   . 若p q  为真，则p ，q同时为真，即 1 3 1 2 x x       ，解得1 2 x   ，........5 分 所以实数x 的取值范围为  1,2 ........6 分 (2)由q是p 的充分不必要条件，  1,2 是  ,3 a a 的真子集．........8 分 所以 3 2 1 a a     或 3 2 1 a a     ，........10 分，解得2 1 3 a   ， 实数a 的取值范围为2 ,1 3      .........12 分 18.（12 分）(1)由频率分布直方图可知，(0.020 0.005) 10 100 25     ，........1 分 所以在抽取的100 人中，“围棋迷”有25 人， 从而2×2 列联表如下： 非围棋迷 围棋迷 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 2 K 的观测值 2 100 (30 10 15 45) 3.030 45 55 75 25         .........5 分 因为3.030 3.841  ，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.........6 分 3 3 2 (2)由（1）中列联表可知25 名“围棋迷”中有男生15 名，女生10 名， 所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5 名学生中， 有男生3 名，记为 1 B ， 2 B ， 3 B ；有女生2 名，记为 1 G ， 2 G . 则从5 名学生中随机抽取2 人出赛，基本事件有：   1 2 , B B ，  1 3 , B B ，  1 1 , B G ，  1 2 , B G ，  2 3 , B B ，  2 1 , B G ，   2 2 , B G ，  3 1 , B G ，  3 2 , B G ，  1 2 , G G ，共10 种；........9 分 其中2 人恰好一男一女的有：   1 1 , B G ，  1 2 , B G ，  2 1 , B G ，  2 2 , B G ，  3 1 , B G ，  3 2 , B G ，共6 种.........11 分 故2 人恰好一男一女的概率为 6 3 10 5 P   .........12 分 19.（12 分） （Ⅰ）因为 2 2 2 2 cos cos b c a ac C c A     ，所以由 2 2 cos cos cos bc A ac C c A   ， 即2 cos cos cos b A a C c A   ，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A   ，........2 分 即   2sin cos sin B A A C   ， ∵     sin sin sin A C B B      ， ∴2sin cos sin B A B  ，即   sin 2cos 1 0 B A  ，........4 分 ∵0 B    ，∴sin 0 B  ，∴ 1 cos 2 A  ，∵0 A    ，∴ 3 A   .........6 分 （Ⅱ）∵ 1 3 25 3 sin 2 4 4 ABC S bc A bc     ，∴ 25 bc  ，........8 分 ∵ 2 2 2 2 2 25 1 cos 2 2 25 2 b c a b c A bc         ， 2 2 50 b c   ， ∴  2 50 2 25 100 b c      ，即 10 b c   ，........10 分 ∴ sin sin sin sin A A B C b c a a       3 sin 2 10 3 5 A b c a     .........12 分 20.（12 分）(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1. ∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，........1 分 即ln x＋a＋1≥0 在[e2，＋∞)上恒成立．∴a≥－1－ln x. 令h(x)＝－ln x－1，∴a≥h(x)max，........3 分 当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)， ∴h(x)∈(－∞，－3]，........4 分 ∴a≥－3，即实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．........6 分 3 (2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xln x＋x2＋3， 又x＞0，∴m≤ 在x∈(0，＋∞)上恒成立．........8 分 记t(x)＝ ＝2ln x＋x＋.∴m≤t(x)min. ∵t′(x)＝＋1－ ＝ ＝ ， 令t′(x)＝0，得x＝1 或x＝－3(舍去)． 当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增，........10 分 ∴t(x)min＝t(1)＝4. ∴m≤t(x)min＝4，即m 的最大值为4.........12 分 21.（12 分） （1）由椭圆的对称性易知椭圆E ：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     必过点 2 1, 2         ， 2 1, 2          ，所以 2 2 1 1 1 2 a b  .........2 分 又短轴长为2 ，所以 1 b ，代入上式解得 2 a  .........3 分 所以椭圆E 的标准方程为 2 2 1 2 x y  .........4 分 (2)证明：设  0, 2 P x ，   1 1 , D x y ，直线DA 的方程为 1 y kx  . 由 2 2 1 1 2 y kx x y          ，消去y 可得  2 2 1 2 4 0 k x kx    ， 所以 1 2 4 1 2 k x k  ，代入直线方程 1 y kx  中，可得 2 1 2 1 2 1 2 k y k   ，........6 分 所以   2 2 1 1 2 0 1 0 0 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 4 2 1 2 k k y k k k x x kx x k                           .........8 分 因为直线DA ： 1 y kx  过点  0, 2 P x ，所以 0 2 1 kx  ，即 0 2 1 kx  ，........10 分 代入上式，可得   1 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 k k       ， 故 1 2 3 2 2 2 k k     为定值.........12 分 4 选做题：共10 分 22.解： （1）将曲线C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的1 3 ， 得到曲线 2 2 : (3 ) 9 C x y    ，即 2 2 1 9 x y  ．........2 分 把 cos sin x y          代入得 2 2 2 2 cos 9 sin 9       ，即 2 2 2 9 cos 9sin      ．........5 分 （2）设 , 6 A A         ， , 6 B B         ，曲线 2 2 : 9 C x y   的极坐标方程为 3  ，........7 分 则 3 A ， 2 2 9 3 cos 9sin 6 6 B       ．........9 分 所以 3 3 A B AB       ．........10 分 23.(1)  3 5, 1 2 6 1 7, 1 3 3 5, 3 x x f x x x x x x x                  .........1 分 当 1 x 时，3 5 5 x    ，解得 0 x  ，无实数解；........2 分 当1 3 x - < < 时， 7 5 x   ，解得 2 x  ，即2 3 x   ........3 分 当 3 x  时，3 5 5 x   ，解得 10 3 x  ，即 10 3 3 x   ........4 分 综上所述，不等式  5 f x  的解集为 10 2 3 x x         ........5 分 (2)由（1）可知函数 ( ) f x 在  ,3  上单调递减，在  3,上单调递增， 所以   min 3 4 f x f   ，........6 分 又   1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 b a b a a b a b a b a b a b                        ，........8 分 当且仅当 2 2 2 2 b a a b a b         ，即 1 2 1 a b       时，取等号，........9 分 所以 min 2 ( 1 1) 2a b   所以 x R ，一定存在 1 , 1 2 a b  ，使得  1 1 2 f x a b   成立，命题得证.........10 分