2021—2022学年下期期中高二文数答案

河南省实验中学2021--2022学年下期期中 高二年级 文科数学 参考答案 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共计60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C B D D C B B C B 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分） 13． 14. 15. 16. 三、解答题 17(12 分）(1)由 ，可得 ，其中 ， 得 ，则 ， ，.......2 分 若 ，则 ；.......3 分 由 ，解得 ........4 分 即 . 若 为真，则 ，同时为真，即 ，解得 ，........5 分 所以实数 的取值范围为 ........6 分 (2)由是 的充分不必要条件， 是 的真子集．........8 分 所以 或 ，........10 分，解得 ， 实数 的取值范围为 .........12 分 18.（12 分）(1)由频率分布直方图可知， ，........1 分 所以在抽取的100 人中，“围棋迷”有25 人， 从而2×2 列联表如下： 非围棋迷 围棋迷 总计 男 30 15 45 3 3 女 45 10 55 总计 75 25 100 的观测值 .........5 分 因为 ，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.........6 分 (2)由（1）中列联表可知25 名“围棋迷”中有男生15 名，女生10 名， 所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5 名学生中， 有男生3 名，记为 ， ， ；有女生2 名，记为 ， . 则从5 名学生中随机抽取2 人出赛，基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10 种；........9 分 其中2 人恰好一男一女的有： ， ， ， ， ， ，共6 种.........11 分 故2 人恰好一男一女的概率为 .........12 分 19.（12 分）（Ⅰ）因为 ，所以由 ， 即 ，由正弦定理得 ，........2 分 即 ， ∵ ， ∴ ，即 ，........4 分 ∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ .........6 分 （Ⅱ）∵ ，∴ ，........8 分 ∵ ， ， ∴ ，即 ，........10 分 ∴ .........12 分 20.（12 分）(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1. ∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x [e ∈ 2，＋∞)时，g′(x)≥0，........1 分 即ln x＋a＋1≥0 在[e2，＋∞)上恒成立．∴a≥－1－ln x. 令h(x)＝－ln x－1，∴a≥h(x)max，........3 分 当x [e ∈ 2，＋∞)时，ln x [2 ∈ ，＋∞)， h(x) ( ∴ ∈－∞，－3]，........4 分 a≥ ∴ －3，即实数a 的取值范围是[－3，＋∞)． ........6 分 (2) 2f(x)≥ ∵ －x2＋mx－3，即mx≤2xln x＋x2＋3， 又x＞0，∴m≤ 在x (0 ∈ ，＋∞)上恒成立．........8 分 记t(x)＝ ＝2ln x＋x＋. m≤t(x) ∴ min. t′(x) ∵ ＝＋1－＝ ＝ ， 令t′(x)＝0，得x＝1 或x＝－3(舍去)． 当x (0,1) ∈ 时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单调递减； 当x (1 ∈ ，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增，........10 分 t(x) ∴ min＝t(1)＝4. m≤t(x) ∴ min＝4，即m 的最大值为4.........12 分 21.（12 分）（1）由椭圆的对称性易知椭圆 ： 必过点 ， ，所以 .........2 分 又短轴长为 ，所以 ，代入上式解得 .........3 分 所以椭圆 的标准方程为 .........4 分 (2)证明：设 ， ，直线 的方程为 . 由 ，消去 可得 ， 所以 ，代入直线方程 中，可得 ，........6 分 所以 .........8 分 因为直线 ： 过点 ，所以 ，即 ，........10 分 代入上式，可得 ， 故 为定值.........12 分 选做题：共10 分 22.解：（1）将曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的 ， 得到曲线 ，即 ．........2 分 把 代入得 ，即 ．........5 分 （2）设 ， ，曲线 的极坐标方程为 ，........7 分 则 ， ．........9 分 所以 ．........10 分 23.(1) .........1 分 当 时， ，解得 ，无实数解；........2 分 当 时， ，解得 ，即 ........3 分 当 时， ，解得 ，即 ........4 分 综上所述，不等式 的解集为 ........5 分 (2)由（1）可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，........6 分 又 ，........8 分 当且仅当 ，即 时，取等号，........9 分 所以 所以 ，一定存在 ，使得 成立，命题得证.........10 分